2023-2024学年人教A版数学必修第一册同步检测第四章 4.4.1对数函数的概念（含解析）

4.4　对数函数
4．4.1　对数函数的概念
一、单项选择题(每题5分共40分)
1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝loga(2x) B．y＝lg 10x
C．y＝loga(x2＋x) D．y＝lg x
2．已知f(x4)＝log2x，则f(8)＝(　　)
A. B. C．6 D．18
3．设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B为函数y＝lg (x－1)的定义域，则A∩B＝(　　)
A．(1,2) B．[－1，＋∞)
C．(1,2] D．[1,2)
4．在y＝log(x－3)(x＋1)中，要使函数有意义，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，3] B．(3,4)∪(4，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(3,4)
5．函数f(x)＝＋lg (2x－1)的定义域为(　　)
A．(－5，＋∞) B.
C．(－5,0) D.
6．函数f(x)＝ln |x|＋的定义域为(　　)
A．[－1，＋∞) B．[－1,0)∪(0，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1,0)∪(0，＋∞)
7．函数f(x)＝ln 2＋的定义域为(　　)
A. B．(－2，＋∞)
C.∪ D.
8．若函数y＝lg (x－1)＋lg (x－2)的定义域为M，函数y＝lg (x2－3x＋2)的定义域为N，则(　　)
A．M?N B．N?M
C．M＝N D．M∩N＝
二、多项选择题（20分）
9．下列函数中，与函数y＝|x|相等的是(　　)
A．y＝()2 B．y＝
C．y＝2log2x D．y＝log22|x|
10．下列给出的函数中是对数函数的是(　　)
A．y＝log5x＋1 B．y＝logax2(a>0，且a≠1)
C．y＝log(－1)x D．y＝logx
11．已知集合A＝{x|2x>2}，集合B为函数f(x)＝lg (m－x)的定义域，且A∪B＝R，那么m的值可以是(　　)
A．－1 B．6 C．1 D．2
12．已知集合M＝{x|y＝}，N＝{x|y＝log2(2－x)}，则下列各集合是 R(M∩N)的子集的是(　　)
A．[1,2) B．[2，＋∞) C. D．(－∞，3)
三、填空题（20分）
13．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．
14．已知函数f(x)＝log2在区间(2,3)上有意义，则实数a的取值范围是________．
15．记函数y＝log|x－1|的定义域为A，则A＝________，若集合B＝{x|2x＋a<0}，且A∩B＝，则a＝________.
16．设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(x1x2·…·x2020)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x) ＝________.
四、解答问题（70分）
17．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝log(2x＋3)(x＋2)；
(3)已知函数y＝f[lg (x＋1)]的定义域为(0,99]，求函数y＝f[log2(x＋2)]的定义域．
18．函数y＝lg (3－4x＋x2)的定义域为M，x∈M，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值．
19．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中1000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
20．设函数f(x)＝lg (x2－3x)的定义域为集合A，函数g(x)＝的定义域为集合B(其中a∈R，且a>0)．
(1)当a＝2时，求集合B；
(2)若A∩B＝ ，求实数a的取值范围．
4.4　对数函数
4．4.1　对数函数的概念
一、单项选择题(每题5分共40分)
1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝loga(2x) B．y＝lg 10x
C．y＝loga(x2＋x) D．y＝lg x
答案　D
解析　由对数函数的概念，知D正确．
2．已知f(x4)＝log2x，则f(8)＝(　　)
A. B. C．6 D．18
答案　A
解析　令x4＝8，则x＝8 eq \s\up15( ) ，∴f(8)＝log28 eq \s\up15( ) ＝log28＝.
3．设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B为函数y＝lg (x－1)的定义域，则A∩B＝(　　)
A．(1,2) B．[－1，＋∞)
C．(1,2] D．[1,2)
答案　C
解析　由－3≤2x－1≤3，得－1≤x≤2，故A＝{x|－1≤x≤2}，由x－1>0，得x>1，故B＝{x|x>1}，所以A∩B＝(1,2]．
4．在y＝log(x－3)(x＋1)中，要使函数有意义，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，3] B．(3,4)∪(4，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(3,4)
答案　B
解析　由得x>3且x≠4，故x的取值范围是(3,4)∪(4，＋∞)．
5．函数f(x)＝＋lg (2x－1)的定义域为(　　)
A．(－5，＋∞) B.
C．(－5,0) D.
答案　B
解析　由得x>.
6．函数f(x)＝ln |x|＋的定义域为(　　)
A．[－1，＋∞) B．[－1,0)∪(0，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1,0)∪(0，＋∞)
答案　B
解析　由得x≥－1且x≠0，故选B.
7．函数f(x)＝ln 2＋的定义域为(　　)
A. B．(－2，＋∞)
C.∪ D.
答案　C
解析　对于函数f(x)＝ln 2＋，有解得x>－2且x≠，故定义域为∪.
8．若函数y＝lg (x－1)＋lg (x－2)的定义域为M，函数y＝lg (x2－3x＋2)的定义域为N，则(　　)
A．M?N B．N?M
C．M＝N D．M∩N＝
答案　A
解析　由得x>2，即M＝{x|x>2}，由x2－3x＋2>0，得x>2或x<1，即N＝{x|x>2或x<1}，则M?N.故选A.
二、多项选择题（20分）
9．下列函数中，与函数y＝|x|相等的是(　　)
A．y＝()2 B．y＝
C．y＝2log2x D．y＝log22|x|
答案　BD
解析　函数y＝|x|的定义域为R，函数y＝()2的定义域为{x|x≥0}，A错误；y＝＝|x|，B正确；y＝2log2x的定义域为{x|x>0}，C错误；y＝log22|x|＝|x|，D正确，故选BD.
10．下列给出的函数中是对数函数的是(　　)
A．y＝log5x＋1 B．y＝logax2(a>0，且a≠1)
C．y＝log(－1)x D．y＝logx
答案　CD
解析　A中对数式后面加1，所以不是对数函数；B中真数不是自变量x，所以不是对数函数；C，D符合对数函数的概念，是对数函数．
11．已知集合A＝{x|2x>2}，集合B为函数f(x)＝lg (m－x)的定义域，且A∪B＝R，那么m的值可以是(　　)
A．－1 B．6 C．1 D．2
答案　BD
解析　A＝{x|2x>2}＝{x|x>1}，由m－x>0，得x1，则m的值可以是2,6.故选BD.
12．已知集合M＝{x|y＝}，N＝{x|y＝log2(2－x)}，则下列各集合是 R(M∩N)的子集的是(　　)
A．[1,2) B．[2，＋∞) C. D．(－∞，3)
答案　BC
解析　由题意可得M＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，N＝{x|2－x>0}＝{x|x<2}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}＝[1,2)，∴ R(M∩N)＝(－∞，1)∪[2，＋∞)．故选BC.
三、填空题（20分）
13．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．
答案　128
解析　由2log4x－2＝5，得x＝128.
14．已知函数f(x)＝log2在区间(2,3)上有意义，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　∵函数f(x)＝log2在区间(2,3)上有意义，∴解得a≤.∴实数a的取值范围是.
15．记函数y＝log|x－1|的定义域为A，则A＝________，若集合B＝{x|2x＋a<0}，且A∩B＝，则a＝________.
答案　{x|x<1或x>1}　－1
解析　∵函数y＝log|x－1|，∴|x－1|>0，即x≠1，即A＝{x|x<1或x>1}．B＝{x|2x＋a<0}＝，由A∩B＝，得－＝，即a＝－1.
16．设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(x1x2·…·x2020)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x) ＝________.
答案　16
解析　∵f(x)＋f(x)＋f(x)＋…＋f(x)
＝logax＋logax＋logax＋…＋logax
＝loga(x1x2x3…x2020)2＝2loga(x1x2x3…x2020)
＝2f(x1x2x3…x2020)，
∴原式＝2×8＝16.
四、解答问题（70分）
17．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝log(2x＋3)(x＋2)；
(3)已知函数y＝f[lg (x＋1)]的定义域为(0,99]，求函数y＝f[log2(x＋2)]的定义域．
解　(1)要使函数有意义，则有
即x>－1且x≠7，
故该函数的定义域为(－1,7)∪(7，＋∞)．
(2)要使函数有意义，则有
解得x>－且x≠－1，
故该函数的定义域为∪(－1，＋∞)．
(3)∵0∴0即1故该函数的定义域为(－1,2]．
18．函数y＝lg (3－4x＋x2)的定义域为M，x∈M，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值．
解　由3－4x＋x2>0，解得x<1或x>3，
所以M＝(－∞，1)∪(3，＋∞)，
f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2，
令2x＝t，由x∈M得08，则原函数可化为
g(t)＝4t－3t2＝－32＋，其对称轴为t＝，所以当0当t>8时，g(t)∈(－∞，－160)．
所以当t＝，即x＝log2时，g(t)取得最大值，即函数f(x)取得最大值，函数g(t)无最小值，故函数f(x)无最小值．
19．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中1000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
解　(1)M＝lg A－lg A0＝lg ＝lg ＝lg 104＝4.
即这次地震的震级为4级．
(2)由题意得
所以lg A8－lg A5＝3，
即lg ＝3.所以＝103＝1000.
即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍．
20．设函数f(x)＝lg (x2－3x)的定义域为集合A，函数g(x)＝的定义域为集合B(其中a∈R，且a>0)．
(1)当a＝2时，求集合B；
(2)若A∩B＝ ，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝2时，函数g(x)＝
＝，
令－x2－8x－12≥0，化为x2－8x－12≤0，
解得2≤x≤6，
其定义域为集合B＝[2,6]．
(2)当a>0时，由－x2－4ax－3a2≥0，
化为x2－4ax＋3a2≤0，
解得a≤x≤3a.
所以B＝[a,3a]．
函数f(x)＝lg (x2－3x)，
由x2－3x>0，解得x<0或x>3，
可得函数f(x)的定义域为集合A＝(－∞，0)∪(3，＋∞)，
因为A∩B＝ ，
所以3a≤3，a>0，
解得0