2023-2024学年人教A版数学必修第一册同步检测第四章4.1.1、n次方根与分数指数幂+4.1.2无理数指数幂及其运算性质（含解析）

第四章　指数函数与对数函数
4.1　指数
4．1.1　n次方根与分数指数幂
4．1.2　无理数指数幂及其运算性质
一、单项选择题(每题5分，共40分)
1．已知x5＝6，则x等于(　　)
A. B. C．－ D．±
2．若(1－2x) eq \s\up15(－) 有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x∈R B．x∈R且x≠
C．x＞ D．x＜
3．化简eq \f(\r(a3b2\r(3,ab2)), a eq \s\up15( ) b eq \s\up15( ) 4·\r(3,\f(b,a)))(a，b＞0)的结果是(　　)
A. B．ab C. D．a2b
4．若xn＝a(x≠0)，则下列说法中正确的个数是(　　)
①当n为奇数时，x的n次方根为a；
②当n为奇数时，a的n次方根为x；
③当n为偶数时，x的n次方根为±a；
④当n为偶数时，a的n次方根为±x.
A．1 B．2 C．3 D．4
5.＋的值是(　　)
A．0 B． 2(a－b)
C．0或2(a－b) D．a－b
6．化简4·4的结果是(　　)
A．a16 B．a8 C．a4 D．a2
7．将 eq \s\up15(－) 化成分数指数幂为(　　)
A．x－ B．x C．x－ D．x
8．已知am＝4，an＝3，则 的值为(　　)
A. B．6 C. D．2
二、多项选择题（每题 5分共20分）
9．若xy≠0，则使 ＝－2xy成立的条件可能是(　　)
A．x<0，y>0 B．x>0，y<0
C．x≥0，y≥0 D．x<0，y<0
10．下列各式中正确的是(　　)
A．()3＝a B．()4＝a
C.＝a D.＝a
11．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A．－＝(－x) eq \s\up15( ) (x>0)
B.＝y eq \s\up15( ) (y<0)
C．x eq \s\up15(－) ＝ (x>0)
D．x eq \s\up15(－) ＝(x≠0)
12．下列各式中正确的是(　　)
A．(－)4＝a－b B．()4＝a＋b
C.－＝a－b D. ＝|a＋b|
三、填空题（共20分）
13．若 ＝，则实数a的取值范围为________．
14．已知2x＋2－x＝5，则4x＋4－x＝________，2x－2－x＝________.
15．如果a＝3，b＝384，那么aeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a))) eq \s\up15( ) ))n－3＝________.
16．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y＝________.
四、解答题（17，18题各16分，19，20题各19分，共70分）
17．求下列各式的值：
(1) ；
(2) － ＋ ；
(3)(0.027) eq \s\up15( ) － eq \s\up15( ) ＋256 eq \s\up15( ) ＋(2) eq \s\up15( ) －3－1＋π0；
(4)(a eq \s\up15() ·b eq \s\up15(－) ) eq \s\up15(－) ·÷(a＞0，b＞0)．
18．设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，求证：＝＋.
19．若a eq \s\up15( ) ＋a eq \s\up15(－) ＝，求eq \f(1,1－a eq \s\up15( ) )＋eq \f(1,1＋a eq \s\up15( ) )＋eq \f(2,1＋a eq \s\up15( ) )＋的值．
20．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
第四章　指数函数与对数函数
4.1　指数
4．1.1　n次方根与分数指数幂
4．1.2　无理数指数幂及其运算性质
一、单项选择题
1．已知x5＝6，则x等于(　　)
A. B. C．－ D．±
答案　B
解析　∵5是奇数．∴x＝.
2．若(1－2x) eq \s\up15(－) 有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x∈R B．x∈R且x≠
C．x＞ D．x＜
答案　D
解析　∵(1－2x) eq \s\up15(－) ＝，∴1－2x＞0，得x＜.
3．化简eq \f(\r(a3b2\r(3,ab2)), a eq \s\up15( ) b eq \s\up15( ) 4·\r(3,\f(b,a)))(a，b＞0)的结果是(　　)
A. B．ab C. D．a2b
答案　C
解析　原式＝[a3b2(ab2) eq \s\up15( ) ] eq \s\up15( ) ÷(a1b2b eq \s\up15( ) a eq \s\up15(－) )
＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋ eq \s\up15( ) )) eq \s\up15(×) beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋ eq \s\up15( ) )) eq \s\up15(×) ÷(a eq \s\up15( ) b eq \s\up15( ) )＝a eq \s\up15(－) ×b eq \s\up15(－) ＝.
4．若xn＝a(x≠0)，则下列说法中正确的个数是(　　)
①当n为奇数时，x的n次方根为a；
②当n为奇数时，a的n次方根为x；
③当n为偶数时，x的n次方根为±a；
④当n为偶数时，a的n次方根为±x.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　当n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；当n为偶数时，由于(±x)n＝xn＝a，所以a的n次方根有2个，为±x.所以说法②④是正确的，选B.
5.＋的值是(　　)
A．0 B． 2(a－b)
C．0或2(a－b) D．a－b
答案　C
解析　＋＝|a－b|＋(a－b)＝故选C.
6．化简4·4的结果是(　　)
A．a16 B．a8 C．a4 D．a2
答案　C
解析　4·4＝a eq \s\up15( ) a eq \s\up15( ) ＝a2×a2＝a4，故选C.
7．将 eq \s\up15(－) 化成分数指数幂为(　　)
A．x－ B．x C．x－ D．x
答案　B
解析　原式＝(x eq \s\up15( ) ·x eq \s\up15(×) ) eq \s\up15(－) ＝(x eq \s\up15(－) ) eq \s\up15(－)
＝x eq \s\up15(－) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1( eq \s\up15(－) ))＝x eq \s\up15() .故选B.
8．已知am＝4，an＝3，则 的值为(　　)
A. B．6 C. D．2
答案　A
解析　∵am＝4，an＝3，∴a2n＝(an)2＝32＝9，∵am－2n＝＝，∴ ＝＝.故选A.
二、多项选择题
9．若xy≠0，则使 ＝－2xy成立的条件可能是(　　)
A．x<0，y>0 B．x>0，y<0
C．x≥0，y≥0 D．x<0，y<0
答案　AB
解析　＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0，∵xy≠0，∴xy<0.故选AB.
10．下列各式中正确的是(　　)
A．()3＝a B．()4＝a
C.＝a D.＝a
答案　ABC
解析　()3＝a，()4＝a，＝a，＝|a|，故选ABC.
11．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A．－＝(－x) eq \s\up15( ) (x>0)
B.＝y eq \s\up15( ) (y<0)
C．x eq \s\up15(－) ＝ (x>0)
D．x eq \s\up15(－) ＝(x≠0)
答案　CD
解析　对于A，－＝－x eq \s\up15( ) ，故A错误；对于B，当y<0时，>0，y eq \s\up15( ) <0，故B错误；对于C，x eq \s\up15(－) ＝＝ (x>0)，故C正确；对于D，x eq \s\up15(－) ＝，故D正确．故选CD.
12．下列各式中正确的是(　　)
A．(－)4＝a－b B．()4＝a＋b
C.－＝a－b D. ＝|a＋b|
答案　BD
解析　对于A，可令a＝16，b＝81，则＝2，＝3，式子左边为(2－3)4＝1，右边为16－81＝－65，左边≠右边，不成立；对于B，由n次方根的定义，可知()n＝a，则()4＝a＋b恒成立，故B正确；对于C，可令a＝－2，b＝－3，则＝2，＝3，式子左边为2－3＝－1，右边为(－2)－(－3)＝1，左边≠右边，不成立；对于D，由n次方根的性质可知，当n为偶数时，＝|a|，当n为奇数时，＝a，则＝|a＋b|，故D正确．故选BD.
三、填空题
13．若 ＝，则实数a的取值范围为________．
答案　a≤
解析　＝|2a－1|, ＝1－2a，
∴|2a－1|＝1－2a，即2a－1≤0，∴a≤.
14．已知2x＋2－x＝5，则4x＋4－x＝________，2x－2－x＝________.
答案　23　±
解析　由2x＋2－x＝5，得4x＋2＋4－x＝25，∴4x＋4－x＝23，∴(2x－2－x)2＝4x＋4－x－2＝21，∴2x－2－x＝±.
15．如果a＝3，b＝384，那么aeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a))) eq \s\up15( ) ))n－3＝________.
答案　3×2n－3
解析　aeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a))) eq \s\up15( ) ))n－3＝3eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(384,3))) eq \s\up15( ) ))n－3
＝3[(128)]n－3＝3×2n－3.
16．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y＝________.
答案　27
解析　由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，
所以x＝3y＋3.①
由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，
所以2y＝x－9.②
由①②联立方程组，
解得x＝21，y＝6，
所以x＋y＝27.
四、解答题
17．求下列各式的值：
(1) ；
(2) － ＋ ；
(3)(0.027) eq \s\up15( ) － eq \s\up15( ) ＋256 eq \s\up15( ) ＋(2) eq \s\up15( ) －3－1＋π0；
(4)(a eq \s\up15() ·b eq \s\up15(－) ) eq \s\up15(－) ·÷(a＞0，b＞0)．
解　(1) ＝|x－y|，
当x≥y时， ＝x－y；
当x＜y时， ＝y－x.
(2)原式＝ －＋
＝＋－(2－)＋2－＝2.
(3)原式＝[(0.3)3] eq \s\up15( ) － eq \s\up15( ) ＋(44) eq \s\up15( ) ＋(2) eq \s\up15( ) －＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝.
(4)原式＝a eq \s\up15() eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1( eq \s\up15(－) ))·b eq \s\up15() eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1( eq \s\up15(－) ))·a eq \s\up15() ÷b eq \s\up15()
＝a eq \s\up15(－) ·b eq \s\up15() ·a eq \s\up15() ÷b eq \s\up15() ＝a eq \s\up15(＋) ·b eq \s\up15(－) ＝a0b0＝1.
18．设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，求证：＝＋.
证明　令3a＝4b＝6c＝t(t>0)，则3＝t eq \s\up15() ，2＝t eq \s\up15() ，6＝t eq \s\up15() .
因为3×2＝6，所以t eq \s\up15() ·t eq \s\up15() ＝t eq \s\up15() ，即＋＝.
所以＝＋.
19．若a eq \s\up15( ) ＋a eq \s\up15(－) ＝，求eq \f(1,1－a eq \s\up15( ) )＋eq \f(1,1＋a eq \s\up15( ) )＋eq \f(2,1＋a eq \s\up15( ) )＋的值．
解　eq \f(1,1－a eq \s\up15( ) )＋eq \f(1,1＋a eq \s\up15( ) )＋eq \f(2,1＋a eq \s\up15( ) )＋＝eq \f(2,1－a eq \s\up15( ) )＋eq \f(2,1＋a eq \s\up15( ) )＋＝＋＝，
∵a＋a－＝，
∴a＋a－1＋2＝，化为2a2－5a＋2＝0，解得a＝2或.
∴＝－或.
20．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
解　解法一：∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
∴∵a>b>0，∴>，
又2＝＝＝＝，
∴＝＝.
解法二：∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b，
而由x2－6x＋4＝0，得x1＝3＋，x2＝3－，
∴a＝3＋，b＝3－，
∴＝＝＝＝＝.