2023-2024学年人教A版数学必修第一册同步检测第四章4.2.2指数函数的图象和性质（含解析）

4.2.2　指数函数的图象和性质
一、单项选择题(共40分)
1．函数f(x)＝是(　　)
A．偶函数，在(0，＋∞)上是增函数
B．奇函数，在(0，＋∞)上是增函数
C．偶函数，在(0，＋∞)上是减函数
D．奇函数，在(0，＋∞)上是减函数
2．已知a＝－1.1，b＝π0，c＝30.9，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c3．已知f(x)＝a－x(a>0且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(0,1)
4．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是减函数，则函数g(x)＝(a－2)x3在R上的单调性为(　　)
A．单调递增
B．在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增
C．单调递减
D．在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减
5．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．(1,8) C．(4,8) D．[4,8)
6．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是(　　)
7．设0＜a＜1，使不等式ax2－2x＋1＞ax2－3x＋5成立的x的集合为(　　)
A．(－∞，－4) B．(4，＋∞)
C．(－∞，4) D．(－4,4)
8．已知函数f(x)＝a2－x(a＞0，且a≠1)，当x＞2时，f(x)＞1，则f(x)在R上(　　)
A．是增函数
B．是减函数
C．当x＞2时是增函数，当x＜2时是减函数
D．当x＞2时是减函数，当x＜2时是增函数
二、多项选择题（共20分）
9．下列判断正确的是(　　)
A．2.52.5>2.53 B．0.82<0.83
C．π2>π D．0.90.3>0.90.5
10．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，当f(x)＝2－x时，下列结论中正确的是(　　)
A．f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0
D．f<
11．若指数函数y＝ax在区间[－1,1]上的最大值和最小值的和为，则a的值可能是(　　)
A．2 B. C．3 D.
12．若实数a，b满足2a＋3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是(　　)
A．0C．1三、填空题（每题5分，共20分）
13．函数f(x)＝2ax＋1－3(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是________．
14．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________．
15. 图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝ax的图象，而a∈，则图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是________，________，________，________.
16．若函数y＝2－x2＋ax－1在区间(－∞，3)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
四、解答题（17题16分，18-20题各18分，共70分）
17．设0≤x≤2，y＝4 eq \s\up15(x－) －3·2x＋5，试求该函数的最值．
18．已知指数函数f(x)的图象过点.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围．
19．已知函数f(x)＝a3－ax(a>0且a≠1)．
(1)当a＝2时，f(x)<4，求x的取值范围；
(2)若f(x)在[0,1]上的最小值大于1，求a的取值范围．
20．若定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
4.2.2　指数函数的图象和性质
一、单项选择题(共40分)
1．函数f(x)＝是(　　)
A．偶函数，在(0，＋∞)上是增函数
B．奇函数，在(0，＋∞)上是增函数
C．偶函数，在(0，＋∞)上是减函数
D．奇函数，在(0，＋∞)上是减函数
答案　B
解析　因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，又因为y＝2x是增函数，y＝2－x为减函数，故f(x)＝为增函数，故选B.
2．已知a＝－1.1，b＝π0，c＝30.9，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c答案　D
解析　b＝π0＝1.又30<30.9<31，则13，即有a>c>b，即b3．已知f(x)＝a－x(a>0且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(0,1)
答案　D
解析　因为f(x)＝a－x＝x在R上为单调函数，又f(－2)>f(－3)，所以f(x)为增函数，故有>1，所以04．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是减函数，则函数g(x)＝(a－2)x3在R上的单调性为(　　)
A．单调递增
B．在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增
C．单调递减
D．在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减
答案　C
解析　因为指数函数f(x)＝ax在R上是减函数，所以05．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．(1,8) C．(4,8) D．[4,8)
答案　D
解析　由题意可知，f(x)在R上是增函数，
所以解得4≤a＜8，故选D.
6．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是(　　)
答案　A
解析　直线g(x)＝－x＋a的斜率为－1，故排除C，D；对于A，B，由图可知y＝ax单调递增，则a>1，当x＝0时，g(0)＝a>1.结合选项可知选A.
7．设0＜a＜1，使不等式ax2－2x＋1＞ax2－3x＋5成立的x的集合为(　　)
A．(－∞，－4) B．(4，＋∞)
C．(－∞，4) D．(－4,4)
答案　C
解析　∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是单调减函数，∴x2－2x＋1＜x2－3x＋5，即x＜4.故选C.
8．已知函数f(x)＝a2－x(a＞0，且a≠1)，当x＞2时，f(x)＞1，则f(x)在R上(　　)
A．是增函数
B．是减函数
C．当x＞2时是增函数，当x＜2时是减函数
D．当x＞2时是减函数，当x＜2时是增函数
答案　A
解析　令2－x＝t，则t＝2－x是减函数．因为当x＞2时，f(x)＞1，所以当t＜0时，at＞1.所以0＜a＜1，所以f(x)在R上是增函数，故选A.
二、多项选择题（共20分）
9．下列判断正确的是(　　)
A．2.52.5>2.53 B．0.82<0.83
C．π2>π D．0.90.3>0.90.5
答案　CD
解析　∵y＝2.5x在R上是增函数，且2.5<3，∴2.52.5<2.53，A错误；∵y＝0.8x在R上是减函数，且2<3，∴0.82>0.83，B错误；∵y＝πx在R上是增函数，且<2，∴π<π2，C正确；∵y＝0.9x在R上是减函数，且0.5>0.3，∴0.90.3>0.90.5，D正确．故选CD.
10．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，当f(x)＝2－x时，下列结论中正确的是(　　)
A．f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0
D．f<
答案　ACD
解析　f(x)＝2－x，f(x2＋x2)＝2－(x1＋x2)，f(x1)·f(x2)＝2－x1·2－x2＝2－(x1＋x2)，故A正确；f(x1·x2)＝2－(x1·x2)≠2－x1＋2－x2＝f(x1)＋f(x2)，故B错误；∵f(x)＝2－x＝x为减函数，所以当x1>x2时，有f(x1)11．若指数函数y＝ax在区间[－1,1]上的最大值和最小值的和为，则a的值可能是(　　)
A．2 B. C．3 D.
答案　AB
解析　指数函数y＝ax在区间[－1,1]上的最大值和最小值的和为，当a>1时，可得ymin＝，ymax＝a，那么＋a＝，解得a＝2；当012．若实数a，b满足2a＋3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是(　　)
A．0C．1答案　ABD
解析　由2a＋3a＝3b＋2b，设f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，易知f(x)，g(x)都是递增函数，画出f(x)，g(x)的图象如下：实线、虚线分别是f(x)，g(x)的图象，
根据图象可知：当x＝0,1时，f(x)＝g(x)．当0三、填空题（每题5分，共20分）
13．函数f(x)＝2ax＋1－3(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是________．
答案　(－1，－1)
解析　因为y＝ax的图象过定点(0,1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(－1)＝－1，故f(x)＝2ax＋1－3的图象过定点(－1，－1)．
14．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________．
答案　(－1,0)∪(0,1)
解析　当x<0时，f(x)＝2x∈(0,1)；当x>0时，f(x)＝－2－x∈(－1,0)，所以函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．
15. 图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝ax的图象，而a∈，则图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是________，________，________，________.
答案　　　π　
解析　作直线x＝1，与各曲线交点的纵坐标即为底数a的值，而<<<π，故C1，C2，C3，C4对应函数的底数依次是，，π，.
16．若函数y＝2－x2＋ax－1在区间(－∞，3)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案　[6，＋∞)
解析　y＝2－x2＋ax－1在(－∞，3)上递增，即二次函数y＝－x2＋ax－1在(－∞，3)上递增，因此需要对称轴x＝≥3，解得a≥6.
四、解答题（17题16分，18-20题各18分，共70分）
17．设0≤x≤2，y＝4 eq \s\up15(x－) －3·2x＋5，试求该函数的最值．
解　令t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4.
则y＝22x－1－3·2x＋5＝t2－3t＋5.
又y＝(t－3)2＋，t∈[1,4]，
∴y＝(t－3)2＋，在t∈[1,3]上是减函数；
在t∈[3,4]上是增函数，
∴当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝.
故函数的最大值为，最小值为.
18．已知指数函数f(x)的图象过点.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围．
解　(1)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)．
将点代入得＝a2.
解得a＝.故f(x)＝x.
(2)由(1)知f(x)＝x，显然f(x)在R上是减函数，又f(|x|)>f(1)，所以|x|<1，解得－1即x的取值范围为(－1,1)．
19．已知函数f(x)＝a3－ax(a>0且a≠1)．
(1)当a＝2时，f(x)<4，求x的取值范围；
(2)若f(x)在[0,1]上的最小值大于1，求a的取值范围．
解　(1)当a＝2时，f(x)＝23－2x<4＝22，
则3－2x<2，得x>，即x∈.
(2)y＝3－ax在定义域内单调递减，
当a>1时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，
f(x)min＝f(1)＝a3－a>1＝a0，得1当0f(x)min＝f(0)＝a3>1，不成立．
综上可得a∈(1,3)．
20．若定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
解　(1)因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，得b＝1.
又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
因为x10，
又(2 x1＋1)(2 x2＋1)>0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)为R上的减函数．