2023-2024学年人教A版数学必修第一册同步检测第四章 4.3.1对数的概念（含解析）

4.3　对数
4．3.1　对数的概念
一、单项选择题(每题5分，共40分)
1．logab＝1成立的条件是(　　)
A．a＝b B．a＝b且b>0
C．a>0，a≠1 D．a>0，a＝b≠1
2．log3等于(　　)
A．4 B．－4 C. D．－
3．2x＝3化为对数式是(　　)
A．x＝log32 B．x＝log23
C．2＝log3x D．2＝logx3
4．化简0.7log0.78等于(　　)
A．2 B．8 C. D．2
5．方程2log3x＝的解是(　　)
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9
6．已知log3(log5a)＝log4(log5b)＝0，则的值为(　　)
A．1 B．－1 C．5 D.
7．若loga＝c，则下列等式正确的是(　　)
A．b5＝ac B．b＝a5c C．b＝5ac D．b＝c5a
8．若log2(logx9)＝1，则x＝(　　)
A．3 B．±3 C．9 D．2
二、多项选择题（共20分）
9．下列四个命题，其中正确的是(　　)
A．对数的真数是非负数
B．若a>0且a≠1，则loga1＝0
C．若a>0且a≠1，则logaa＝1
D．若a>0且a≠1，则aloga2＝2
10．以下四个结论中，正确的是(　　)
A．lg (lg 10)＝0 B．ln (ln e)＝0
C．若10＝lg x，则x＝10 D．若e＝ln x，则x＝e2
11．下列指数式与对数式互化正确的是(　　)
A．e0＝1与ln 1＝0
B．8 eq \s\up15(－) ＝与log8 eq \s\up15( ) ＝－
C．log39＝2与9 eq \s\up15( ) ＝3
D．log77＝1与71＝7
12．对于a>0且a≠1，下列说法正确的是(　　)
A．若M＝N，则logaM＝logaN
B．若logaM＝logaN，则M＝N
C．若logaM3＝logaN3，则M＝N
D．若M＝N，则logaM2＝logaN2
三、填空题（共20分）
13．已知log2x＝2，则x eq \s\up15(－) ＝________.
14．若lg (ln x)＝0，则x＝________.
15．若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________.
16．已知f(x)＝则f(3)＝________，满足f(x)＝的x的值为________．
四、解答题（17题16分，18-20题各18分，共70分）
17．将下列指数式、对数式互化．
(1)35＝243；(2)2－5＝；(3)log81＝－4；
(4)log2128＝7.
18．求下列各式中x的值．
(1)log8x＝－；(2)logx27＝；(3)log3(2x＋2)＝1.
19．(1)已知log189＝a，log1854＝b，求182a－b的值；
(2)若log23＝x，求.
20．求下列各式中x的值：
(1)log4(log3x)＝0；(2)lg (log2x)＝1；
(3)log2[log (log2x)]＝0.
4.3　对数
4．3.1　对数的概念
一、单项选择题(每题5分，共40分)
1．logab＝1成立的条件是(　　)
A．a＝b B．a＝b且b>0
C．a>0，a≠1 D．a>0，a＝b≠1
答案　D
解析　由logab＝1得a>0，且a＝b≠1.故选D.
2．log3等于(　　)
A．4 B．－4 C. D．－
答案　B
解析　因为3－4＝，所以log3＝－4.
3．2x＝3化为对数式是(　　)
A．x＝log32 B．x＝log23
C．2＝log3x D．2＝logx3
答案　B
解析　由2x＝3得x＝log23，选B.
4．化简0.7log0.78等于(　　)
A．2 B．8 C. D．2
答案　B
解析　由对数恒等式alogaN＝N，得0.7log0.78＝8.∴选B.
5．方程2log3x＝的解是(　　)
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9
答案　A
解析　∵2 log3x＝，∴2 log3x＝2 eq \s\up15(log2) ，∴log3x＝log2＝－2，∴x＝3－2＝.故选A.
6．已知log3(log5a)＝log4(log5b)＝0，则的值为(　　)
A．1 B．－1 C．5 D.
答案　A
解析　由log3(log5a)＝0得log5a＝1，即a＝5，同理b＝5，故＝1.
7．若loga＝c，则下列等式正确的是(　　)
A．b5＝ac B．b＝a5c C．b＝5ac D．b＝c5a
答案　B
解析　根据指数式和对数式的互化关系可知，若loga＝c，则ac＝，所以b＝a5c.故选B.
8．若log2(logx9)＝1，则x＝(　　)
A．3 B．±3 C．9 D．2
答案　A
解析　∵log2(logx9)＝1，∴logx9＝2，即x2＝9，又x>0，∴x＝3.
二、多项选择题（共20分）
9．下列四个命题，其中正确的是(　　)
A．对数的真数是非负数
B．若a>0且a≠1，则loga1＝0
C．若a>0且a≠1，则logaa＝1
D．若a>0且a≠1，则aloga2＝2
答案　BCD
解析　对数的真数为正数，A错误；∵a0＝1，∴loga1＝0，B正确；∵a1＝a，∴logaa＝1，C正确；由对数恒等式alogaN＝N，得aloga2＝2，D正确．
10．以下四个结论中，正确的是(　　)
A．lg (lg 10)＝0 B．ln (ln e)＝0
C．若10＝lg x，则x＝10 D．若e＝ln x，则x＝e2
答案　AB
解析　lg (lg 10)＝lg 1＝0，ln (ln e)＝ln 1＝0，故A，B正确；若10＝lg x，则x＝1010，故C错误；若e＝ln x，则x＝ee，故D错误．
11．下列指数式与对数式互化正确的是(　　)
A．e0＝1与ln 1＝0
B．8 eq \s\up15(－) ＝与log8 eq \s\up15( ) ＝－
C．log39＝2与9 eq \s\up15( ) ＝3
D．log77＝1与71＝7
答案　ABD
解析　log39＝2 32＝9,9 eq \s\up15( ) ＝3 log93＝，C不正确，A，B，D均正确．
12．对于a>0且a≠1，下列说法正确的是(　　)
A．若M＝N，则logaM＝logaN
B．若logaM＝logaN，则M＝N
C．若logaM3＝logaN3，则M＝N
D．若M＝N，则logaM2＝logaN2
答案　BC
解析　对于A，若M，N小于或等于0时，logaM＝logaN不成立；B，C正确；对于D，当M＝N＝0时不正确．故选BC.
三、填空题（共20分）
13．已知log2x＝2，则x eq \s\up15(－) ＝________.
答案　
解析　∵log2x＝2，∴x＝22＝4,4 eq \s\up15(－) ＝ eq \s\up15( ) ＝.
14．若lg (ln x)＝0，则x＝________.
答案　e
解析　∵lg (ln x)＝0，∴ln x＝1，∴x＝e.
15．若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________.
答案　－3
解析　由题意知1－x＝(1＋x)2，解得x＝0或x＝－3.验证知，当x＝0时，log(1－x)(1＋x)2无意义，故x＝0时不符合题意，应舍去．所以x＝－3.
16．已知f(x)＝则f(3)＝________，满足f(x)＝的x的值为________．
答案　　3
解析　∵当x>1时，f(x)＝log81x，∴f(3)＝log813＝，由题意得①或②解①得x＝2，与x≤1矛盾，故舍去，解②得x＝3，符合x>1.所以x＝3.
四、解答题（17题16分，18-20题各18分，共70分）
17．将下列指数式、对数式互化．
(1)35＝243；(2)2－5＝；(3)log81＝－4；
(4)log2128＝7.
解　(1)log3243＝5.
(2)log2＝－5.
(3)－4＝81.
(4)27＝128.
18．求下列各式中x的值．
(1)log8x＝－；(2)logx27＝；(3)log3(2x＋2)＝1.
解　(1)由log8x＝－，得x＝8 eq \s\up15(－) ＝(23) eq \s\up15(－) ＝23×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1( eq \s\up15(－) ))＝2－2＝.
(2)由logx27＝，得x eq \s\up15( ) ＝27.∴x＝27 eq \s\up15( ) ＝(33) eq \s\up15( ) ＝34＝81.
(3)由log3(2x＋2)＝1，得2x＋2＝3，所以x＝.
19．(1)已知log189＝a，log1854＝b，求182a－b的值；
(2)若log23＝x，求.
解　(1)18a＝9,18b＝54,182a－b＝＝＝＝.
(2)由log23＝x，得2x＝3，即2－x＝，
∴＝＝2x＋2－x＝3＋＝.
20．求下列各式中x的值：
(1)log4(log3x)＝0；(2)lg (log2x)＝1；
(3)log2[log (log2x)]＝0.
解　(1)∵log4(log3x)＝0，∴log3x＝40＝1，
∴x＝31＝3.
(2)∵lg (log2x)＝1，∴log2x＝10，∴x＝210＝1024.
(3)由log2[log (log2x)]＝0，得log (log2x)＝1，
log2x＝，x＝.