2022-2023学年四川省南充市蓬安县九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省南充市蓬安县九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在，，，四个数中，最小的数是( )
A. B. C. D.
2.年春节以来，趁着晴好天气，人们纷纷走出家门，来到景区，感受浓浓的年味儿据统计，春节长假万人次游蓬安，旅游收入达亿，则数据亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.在学校开展的劳动实践活动中，生物兴趣小组个同学采摘到西红柿的质量单位：分别是：，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.买两种布料共米，花了元，其中蓝布料每米元，黑布料每米元，两种布料各买了多少米？设买黑布料米，列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，是的直径，弦，，，则( )
A.
B.
C.
D.
8.若是二元一次方程组的解，则平方根为( )
A. B. ， C. D. ，
9.如图，在中，，点为延长线上的一点，，过点作，交的延长线于点，若，则的长为( )
A. B. C. D.
10.抛物线的对称轴为，经过点，顶点为，下列四个结论：
若，则；
方程一定有两个不相等的实数解；
若与异号，则抛物线与轴有两个不同的交点；
设抛物线交轴于点，不论为何值，直线始终过定点．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.分解因式： ．
12.定义新运算“”，规则：如，若的两根分别为，，则 ______ ．
13.若分式的值为，则 ______ ．
14.如图，是正五边形的外接圆，点为上的一点，则的度数为______．
15.如图，直线与双曲线交于、两点，则的值为______ ．
16.如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：；若，则；；若点为的中点，则，其中一定正确的序号是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
如图，已知点、、、在同一直线上，，，．
求证：≌；
判断四边形的形状，并证明．
19.本小题分
我县某学校根据南充市中小学生课后服务实施意见，积极开展课后延时服务活动，提供了“合唱，舞蹈，科创，书法，美术，课本剧，棋类”等课程供学生自由选择半学期后，该校为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“满意；比较满意；基本满意；不满意”四个等级绘制成如图所示的两幅不完整统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
将条形统计图补充完整；
表示等级的扇形的圆心角是______ 度；
由于学校条件限制，“课本剧”课程仅剩下一个名额，而学生小华和小亮都想参加，他们决定采用抽纸牌的方法来确定，规则是：“将背面完全相同，正面分别标有数字，，，的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽若小华抽得的数字比小亮抽得的数字大，名额给小华，否则给小亮”请用画树状图或列表的方法计算出小华和小亮获得该名额的概率，并说明这个规则对双方是否公平．
20.本小题分
已知关于的一元二次方程有，两实数根．
若，求及的值；
是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，且点的横坐标为．
求反比例函数的解析式；
点的坐标是，若点在轴上，且的面积与的面积相等，求点的坐标．
22.本小题分
如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．
求证：是的切线；
如果，，求的长．
23.本小题分
蓬安县新园乡宽敞沟村为了发展特色产业，花费元集中采购了“文君桃”树苗和“相如李”树苗共株，已知“相如李”树苗单价是元，“文君桃”树苗单价是“相如李”树苗单价的倍．
求“文君桃”、“相如李”两种树苗各买了多少株？
宽敞沟村决定再购买同样的树苗株用于补充栽种，其中“相如李”树苗不多于株，在单价不变，总费用不超过元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
24.本小题分
在矩形中，点在上，，，．
如图，连接，过点作，交于点，连接，证明：是等腰三角形；
如图，点在矩形的边上点不与点、重合，连接，过点作，交于点，连接求证：∽；
如图，若交于点，，其他条件不变，且的面积是，求的长．
25.本小题分
如图，平面直角坐标系中的≌，直角边、在轴上已知点的坐标为，过、两点的直线分别交轴、轴于点、，抛物线经过、、三点．
写出点的坐标并求该抛物线的函数解析式；
点为抛物线上位于线段所在直线上方部分的一动点，求到直线的最大距离和此时点的坐标；
点为线段上一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，交轴于点，问是否存在这样的点，使得四边形的边与边相等？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
在，，，四个数中，最小的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】
【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知二者的定义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，，，，
故选：．
分别根据合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法法则求解．
本题考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：这组数据中，出现次数最多的是，共出现次，因此众数是，
将这组数据从小到大排列：、、、、、、，处在中间位置的一个数是，因此中位数是，
故选：．
根据中位数、众数的定义进行解答即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：黑布料米，则蓝布料，
根据题意可得：，
故选：．
首先设黑布料米，则蓝布料，进而利用买两种布料共花了元得出等式求出即可．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程．
7.【答案】
【解析】解：连接，设与交于点，
是的直径，，
，，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
≌，
故选：．
连接证明，推出即可解决问题．
本题考查扇形的面积，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
8.【答案】
【解析】解：是二元一次方程组的解，
，
得，，
，
将代入得，
，
的平方根为．
故选：．
将代入，然后用加减消元法求出方程组的解，再求的平方根即可．
本题考查了二元一次方程组的解和平方根，掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系，并能准确求平方根是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
∽，
．
，
∽，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
即的长是．
故选：．
首先判断出∽，推得；然后根据∽，推得，所以；最后根据，求出的值，进而求出的值即可．
此题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确求出线段的长度．
10.【答案】
【解析】解：的对称轴为，
，
，
抛物线经过，
，即，，
若，则，
，
故正确．
，
，
，
与异号，
，
抛物线与轴有个不同交点，
故正确．
，
，
方程中，
时，方程有两个相同实数解，
故错误．
抛物线对称轴为直线，
把代入得，
抛物线顶点坐标为，
把代入得，
点坐标为，
设解析式为，
把，代入，得，
解得，
．
把代入，得，
直线经过，
故正确．
故选：．
由抛物线对称轴为直线，抛物线经过可得，，与的关系，从而判断，由一元二次方程根与系数的关系判断，用含和代数式表示直线，将代入解析式求解可判断．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了用提取公因式法和平方差公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：，
，
或，
所以，，
所以．
故答案为：．
先利用因式分解法解方程得到，，然后根据新运算规则求解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．
13.【答案】
【解析】解：分式的值为，
且，
解得：．
故答案为：．
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，进而得出答案．
此题主要考查了分式值为零的条件，正确把握分母不为零是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
是正五边形，
，
，
故答案为：．
连接，，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15.【答案】
【解析】解：，双曲线上的点，
，，
直线与双曲线交于，两点，
，，
，，
．
故答案为：．
先根据，双曲线上的点可知，，再根据反比例函数与正比例函数均关于原点对称可知，，故可知，，把此关系式代入所求代数式求解即可．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意得出，是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：是的内心，
平分，
，故结论正确；
如图，连接，，
是的内心，
，，
，
，
，故结论正确；
如图，连接，，，，
平分，
，
，
，
，
，故结论正确；
，
，
，，
点为的中点，
一定在上，
，
，故结论正确．
综上所述，一定正确的结论为，
故答案为：．
利用三角形内心的性质得到，则可对进行判断；直接利用三角形内心的性质对进行判断；通过证明得到，对进行判断；根据垂径定理则可对进行判断．
本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心，灵活运用所学知识是解决问的关键．
17.【答案】解：
．
【解析】先计算乘方、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
18.【答案】证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
四边形是平行四边形，
理由：由知，≌，
，，
，
四边形是平行四边形．
【解析】根据，可以得到，根据平行线的性质，可以得到，然后根据可以证明结论成立；
先判断，然后根据中的结论可以得到，，从而可以得到，再根据平行四边形的判定方法即可说明判断是正确的．
本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所证结论需要的条件．
19.【答案】
【解析】解：调查的总人数是：人，
等级的人数有：人，
补全统计图如下：
等级的扇形的圆心角是：；
故答案为：；
根据题意画图如下：
共有种等可能的情况数，其中小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况有种，
则名额给小华的概率是，名额给小亮的概率是，
，
这个规则对双方不公平．
由等级人数及其所占百分比求出总人数，总人数减去、、等级人数求出等级人数，从而补全图形；
用乘以等级所占的百分比即可得出答案；
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况数，然后根据概率公式求出名额给小华和小亮的概率，最后进行比较，即可得出答案．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：根据根与系数的关系得，，
解得，；
存在．
理由如下：
根据题意得，
解得，
由根与系数的关系得，，
，
即，
即，
方程化为，
解得，，
经检验，都是原方程的解，
，
．
【解析】利用根与系数的关系得到，，然后解方程组即可；
先利用根的判别式的意义得到，再由根与系数的关系得，，所以，接着解分式得到，，然后利用的取值范围得到满足条件的的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
21.【答案】解一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，点的横坐标为，
当时，，
，
，
，
反比例函数的解析式为；
设，
的面积与的面积相等，
，
，
或．
【解析】首先确定点的坐标，再利用待定系数法求出即可；
设，构建方程求解．
本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法，属于中考常考题型．
22.【答案】证明：如图，连接，
是的直径，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
是半径，
是的切线；
是的直径，，
，
在中，，，
，
，
设，则，，
，即，
，
即．
【解析】根据垂径定理、圆周角定理以及三角形内角和定理得出即可；
根据勾股定理求出，进而求出，利用勾股定理列方程求解即可．
本题考查切线的判定与性质，圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，掌握切线的判定方法，圆周角定理、垂径定理以及勾股定理是正确解答的前提．
23.【答案】解：设“文君桃”树苗购买了株，“相如李”树苗购买了株，
由题意可得：，
解得，
答：“文君桃”树苗购买了株，“相如李”树苗购买了株；
设“文君桃”树苗购买了株，则“相如李”树苗购买了株，
由题意可得：，
解得，
为整数，
，，，，，，
共有种购买方案，
“相如李”树苗单价是元，“文君桃”树苗单价是元，
购买的“相如李”树苗越多费用越低，
当购买株“文君桃”树苗和株“相如李”树苗时费用最低，
最低费用为：元，
答：共有种购买方案，当购买株“文君桃”树苗和株“相如李”树苗时费用最低，最低费用是元．
【解析】根据题意，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式组，从而可以得到相应的购买方案，然后求出最低费用即可．
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
24.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
是等腰三角形；
证明：由同理可得，
，
∽；
解：过点作于点，则四边形是矩形，
由同理可得∽，
，
设，则，
的面积是，
，
，
解得负值舍去，
，
在中，由勾股定理得，，
．
【解析】根据矩形的性质可得，，，再利用同角的余角相等得，最后利用证明≌，可得；
由同理可得，且，则∽；
过点作于点，则四边形是矩形，由同理可得∽，则，设，则，利用的面积是，可得关于的方程，即可得出的长，再用勾股定理求出，即可解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键．
25.【答案】解：，
，，
≌，
，，
，
抛物线经过，，三点，
，
解得：，
抛物线解析式为；
如图，连接，，过点作轴的垂线交于点，于点，
令点的横坐标为，则
设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
当时，的值最大为，此时的值为最大，
，
，
，
点到直线的最大距离为，此时；
存在，如图所示，过点作于点，过点作于点，
，
，
由题意：，
四边形是矩形，
，
，
≌，
，
设点的横坐标为，则
由知：直线的解析式为，则，
，，
，
当时，解得：，舍，
当时，无实数解．
，此时，
点的坐标为
【解析】根据≌，可得出，再运用待定系数法即可求得答案；
如图，连接，，过点作轴的垂线交于点，于点设点的横坐标为，则运用待定系数法求出直线的解析式为，得出，进而得出，运用二次函数的性质可求得答案；
如图所示，过点作于点，过点作于点，先证明≌，得出，设点的横坐标为，则，，进而可得：，，建立方程求解即可．
本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等是解题的关键．
第1页，共1页