新疆乌鲁木齐实验学校2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·乌鲁木齐开学考）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·乌鲁木齐开学考）将抛物线 先向右平移3个单位，再向下平移5个单位得到的抛物线解析式是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·乌鲁木齐开学考）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
4．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 设一元二次方程的两个实数为和，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象与轴的交点坐标为
B．图象的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小
D．的最小值为
6．（2023九上·乌鲁木齐开学考）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
7．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 如图，抛物线的对称轴是直线，关于的方程的一个根为，则另一个根为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·乌鲁木齐开学考）已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11．（2023九上·乌鲁木齐开学考）函数是二次函数，则m的值为 ．
12．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 抛物线的对称轴是 ．
13．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 已知二次函数，则的最小值是 ．
14．（2023九上·乌鲁木齐开学考）某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= ．
15．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 已知二次函数的图象的顶点在轴下方，则实数的取值范围是 ．
16．（2023九上·乌鲁木齐开学考）已知抛物线与轴交于点，点是抛物线上的动点，，若是以为底的等腰三角形，则点的坐标为 ．
三、计算题（本大题共2小题，共9.0分）
17．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 已知一个二次函数的图象经过点和．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
18．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 丁丁推铅球的出手高度为，在如图所示的直角坐标系中，铅球运动轨迹是抛物线，求铅球的落点与丁丁的距离．
四、解答题（本大题共5小题，共37.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2023九上·乌鲁木齐开学考）解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
20．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 关于的一元二次方程为．
（1）求证：方程总有两个不等实数根；
（2）若方程的两根为、，是否存在？如果存在，请求的值；如果不存在，请说明理由．
21．（2023九上·乌鲁木齐开学考）某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元
22．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点为．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）求点的坐标及的面积．
23．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 如图，在中，，，点、点同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为的面积的？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 抛物线的顶点坐标是（-3，4），
故答案为：B.
【分析】根据所给的抛物线解析式求顶点坐标即可。
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：y=(x-1)2+2，
先向右平移3个单位得y=(x-1-3)2+2， 即y=(x-4)2+2，
再向下平移5个单位得y=(x-4)2+2-5， 即y=(x-4)2-3，
故答案为：B.
【分析】根据函数图象平移变换规则，“横坐标左加右减，纵坐标上加下减”，将解析式分步变换即可.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程，
∴（-1）2-4×1×2=-7＜0，
∴一元二次方程无实数根，
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出（-1）2-4×1×2=-7＜0，再判断求解即可。
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两个实数为和，
∴，，
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。
5．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A.∵二次函数，
∴当x=0时，y=-1，
∴图象与轴的交点坐标为，
∴选项A说法错误，不符合题意；
B.二次函数的对称轴为直线x=-1，
则图象的对称轴在y轴的左侧，
∴选项B说法错误，不符合题意；
C.∵当x＜-1时，y随x的增大而减小，
∴选项C说法错误，不符合题意；
D.∵当x=-1时，y取得最小值，
∴y的最小值为-3，
∴选项D说法正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的性质，二次函数的最值等对每个选项逐一判断求解即可。
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：代x=0入原式
得a2-1=0
解得a=1
一元二次方程有意义，a-10，即a1
∴a=-1
故答案为：B
【分析】题目中明确说是关于x的一元二次方程，因此要保证二次项系数不为0.
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线，a=-2＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵点的对称点为，5＞3＞2，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的性质先求出抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，再比较大小求解即可。
8．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴a＜0，b＜0，
∴二次函数的的图象开口向下，对称轴为直线，
∴观察图象，可得，选项C符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出a＜0，b＜0，再求出 二次函数的的图象开口向下，对称轴为直线，最后对每个选项逐一判断即可。
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得：b=-2a，
∴，
解得：x=-2，
∴方程的另一个根是x=-2，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的对称轴求出，再利用根与系数的关系求出，最后计算求解即可。
10．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数对称轴为，
由题意得，二次函数经过点，，，
结合图象可知：①当时，最小值为时y的值，最大值为5；
②当时，最小值为，最大值为5；
③当时，最小值为，最大值为时y的值；
∴m的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=2，二次函数经过点（0，5）、（2，-4a+5）、（4，5），然后分011．【答案】3
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数是二次函数，
∴且，
解得：．
则m的值为3．
故答案为：3．
【分析】利用二次函数的定义可得且，再求出m的值即可。
12．【答案】直线
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
故答案为：直线x=-1.
【分析】根据所给的二次函数，结合对称轴的公式计算求解即可。
13．【答案】3
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解： ∵二次函数，
∴当x=2时，y取最小值，最小值为3，
故答案为：3.
【分析】根据题意先求出，再求最值即可。
14．【答案】100（1+x）2
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵一月份新产品的研发资金为100元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为100（1+x），
∴三月份的研发资金为y=100（1+x）×（1+x）=100（1+x）2．
故答案为：100（1+x）2．
【分析】根据三月份的研发资金为y=一月份的研发资金×（1+增长率）2，就可得出结果。
15．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象的顶点在轴下方，1＞0，
∴二次函数的图象开口向上，
∴（-4）2-4×1×k＞0，
解得：k＜4，
故答案为：k＜4.
【分析】根据二次函数先求出二次函数的图象开口向上，再判断求解即可。
16．【答案】或
【知识点】点的坐标；二次函数图象与坐标轴的交点问题；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当时，，则，
是以为底的等腰三角形，
点为直线与抛物线的交点，
当时，，解得，，
点坐标为或．
故答案为：或．
【分析】根据题意先求出，再求出点为直线与抛物线的交点，最后计算求解即可。
17．【答案】（1）解：由题意得，
解这个方程组得，
所以所求二次函数的解析式是；
（2）解：，
所以顶点坐标是，对称轴是直线．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求解即可。
18．【答案】解：由题意知，点在抛物线上，
所以，
解这个方程，得或舍去，
所以该抛物线的解析式为，
当时，有，
解得，舍去，
所以铅球的落点与丁丁的距离为．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】根据题意先求出 ， 再求出k=3，最后将y=0代入函数解析式计算求解即可。
19．【答案】（1）解：，
，
，
，
，；
（2）解：，
，
，
，
，；
（3）解：，
，
，
，；
（4）解：，
，
或，
，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可；
（3）利用直接开平方法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可。
20．【答案】（1）证明：，
方程总有两个不等实数根；
（2）解：不存在，理由如下：
根据题意得，，
若存在，
则，
即，
，
整理得，
，
若方程的两根为、，不存在．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出 ，， 再求出 ， 最后计算求解即可。
21．【答案】解：设每张贺年卡应降价 元，根据题意得：
（0.3- ）（500+ ）=120，
整理，得： ，
解得： （不合题意，舍去），
∴ ，
答：每张贺年卡应降价0.1元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每张贺年卡应降价 元，等量关系为：（原来每张贺年卡盈利-降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=120，把相关数值代入求得正数解即可．
22．【答案】（1）解：二次函数的图象与轴交于，两点，
，
此二次函数的解析式为．
（2）解：，
点的坐标为，
点到的距离为，
，，
，
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出 点的坐标为， 再求出AB=4，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
23．【答案】解：设秒后，，
由题意得，
即，
解之，得，，
米，
，
不合题意，舍去，
答：当秒后，．
【知识点】三角形的面积；一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】根据三角形的面积公式先求出 ， 再求出 ，， 最后求解即可。
1 / 1新疆乌鲁木齐实验学校2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·乌鲁木齐开学考）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 抛物线的顶点坐标是（-3，4），
故答案为：B.
【分析】根据所给的抛物线解析式求顶点坐标即可。
2．（2023九上·乌鲁木齐开学考）将抛物线 先向右平移3个单位，再向下平移5个单位得到的抛物线解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：y=(x-1)2+2，
先向右平移3个单位得y=(x-1-3)2+2， 即y=(x-4)2+2，
再向下平移5个单位得y=(x-4)2+2-5， 即y=(x-4)2-3，
故答案为：B.
【分析】根据函数图象平移变换规则，“横坐标左加右减，纵坐标上加下减”，将解析式分步变换即可.
3．（2023九上·乌鲁木齐开学考）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程，
∴（-1）2-4×1×2=-7＜0，
∴一元二次方程无实数根，
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出（-1）2-4×1×2=-7＜0，再判断求解即可。
4．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 设一元二次方程的两个实数为和，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两个实数为和，
∴，，
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。
5．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象与轴的交点坐标为
B．图象的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小
D．的最小值为
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A.∵二次函数，
∴当x=0时，y=-1，
∴图象与轴的交点坐标为，
∴选项A说法错误，不符合题意；
B.二次函数的对称轴为直线x=-1，
则图象的对称轴在y轴的左侧，
∴选项B说法错误，不符合题意；
C.∵当x＜-1时，y随x的增大而减小，
∴选项C说法错误，不符合题意；
D.∵当x=-1时，y取得最小值，
∴y的最小值为-3，
∴选项D说法正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的性质，二次函数的最值等对每个选项逐一判断求解即可。
6．（2023九上·乌鲁木齐开学考）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：代x=0入原式
得a2-1=0
解得a=1
一元二次方程有意义，a-10，即a1
∴a=-1
故答案为：B
【分析】题目中明确说是关于x的一元二次方程，因此要保证二次项系数不为0.
7．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线，a=-2＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵点的对称点为，5＞3＞2，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的性质先求出抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，再比较大小求解即可。
8．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴a＜0，b＜0，
∴二次函数的的图象开口向下，对称轴为直线，
∴观察图象，可得，选项C符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出a＜0，b＜0，再求出 二次函数的的图象开口向下，对称轴为直线，最后对每个选项逐一判断即可。
9．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 如图，抛物线的对称轴是直线，关于的方程的一个根为，则另一个根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得：b=-2a，
∴，
解得：x=-2，
∴方程的另一个根是x=-2，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的对称轴求出，再利用根与系数的关系求出，最后计算求解即可。
10．（2023九上·乌鲁木齐开学考）已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数对称轴为，
由题意得，二次函数经过点，，，
结合图象可知：①当时，最小值为时y的值，最大值为5；
②当时，最小值为，最大值为5；
③当时，最小值为，最大值为时y的值；
∴m的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=2，二次函数经过点（0，5）、（2，-4a+5）、（4，5），然后分0二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11．（2023九上·乌鲁木齐开学考）函数是二次函数，则m的值为 ．
【答案】3
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数是二次函数，
∴且，
解得：．
则m的值为3．
故答案为：3．
【分析】利用二次函数的定义可得且，再求出m的值即可。
12．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 抛物线的对称轴是 ．
【答案】直线
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
故答案为：直线x=-1.
【分析】根据所给的二次函数，结合对称轴的公式计算求解即可。
13．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 已知二次函数，则的最小值是 ．
【答案】3
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解： ∵二次函数，
∴当x=2时，y取最小值，最小值为3，
故答案为：3.
【分析】根据题意先求出，再求最值即可。
14．（2023九上·乌鲁木齐开学考）某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= ．
【答案】100（1+x）2
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵一月份新产品的研发资金为100元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为100（1+x），
∴三月份的研发资金为y=100（1+x）×（1+x）=100（1+x）2．
故答案为：100（1+x）2．
【分析】根据三月份的研发资金为y=一月份的研发资金×（1+增长率）2，就可得出结果。
15．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 已知二次函数的图象的顶点在轴下方，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象的顶点在轴下方，1＞0，
∴二次函数的图象开口向上，
∴（-4）2-4×1×k＞0，
解得：k＜4，
故答案为：k＜4.
【分析】根据二次函数先求出二次函数的图象开口向上，再判断求解即可。
16．（2023九上·乌鲁木齐开学考）已知抛物线与轴交于点，点是抛物线上的动点，，若是以为底的等腰三角形，则点的坐标为 ．
【答案】或
【知识点】点的坐标；二次函数图象与坐标轴的交点问题；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当时，，则，
是以为底的等腰三角形，
点为直线与抛物线的交点，
当时，，解得，，
点坐标为或．
故答案为：或．
【分析】根据题意先求出，再求出点为直线与抛物线的交点，最后计算求解即可。
三、计算题（本大题共2小题，共9.0分）
17．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 已知一个二次函数的图象经过点和．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【答案】（1）解：由题意得，
解这个方程组得，
所以所求二次函数的解析式是；
（2）解：，
所以顶点坐标是，对称轴是直线．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求解即可。
18．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 丁丁推铅球的出手高度为，在如图所示的直角坐标系中，铅球运动轨迹是抛物线，求铅球的落点与丁丁的距离．
【答案】解：由题意知，点在抛物线上，
所以，
解这个方程，得或舍去，
所以该抛物线的解析式为，
当时，有，
解得，舍去，
所以铅球的落点与丁丁的距离为．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】根据题意先求出 ， 再求出k=3，最后将y=0代入函数解析式计算求解即可。
四、解答题（本大题共5小题，共37.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2023九上·乌鲁木齐开学考）解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，；
（2）解：，
，
，
，
，；
（3）解：，
，
，
，；
（4）解：，
，
或，
，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可；
（3）利用直接开平方法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可。
20．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 关于的一元二次方程为．
（1）求证：方程总有两个不等实数根；
（2）若方程的两根为、，是否存在？如果存在，请求的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：，
方程总有两个不等实数根；
（2）解：不存在，理由如下：
根据题意得，，
若存在，
则，
即，
，
整理得，
，
若方程的两根为、，不存在．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出 ，， 再求出 ， 最后计算求解即可。
21．（2023九上·乌鲁木齐开学考）某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元
【答案】解：设每张贺年卡应降价 元，根据题意得：
（0.3- ）（500+ ）=120，
整理，得： ，
解得： （不合题意，舍去），
∴ ，
答：每张贺年卡应降价0.1元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每张贺年卡应降价 元，等量关系为：（原来每张贺年卡盈利-降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=120，把相关数值代入求得正数解即可．
22．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点为．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）求点的坐标及的面积．
【答案】（1）解：二次函数的图象与轴交于，两点，
，
此二次函数的解析式为．
（2）解：，
点的坐标为，
点到的距离为，
，，
，
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出 点的坐标为， 再求出AB=4，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
23．（2023九上·乌鲁木齐开学考） 如图，在中，，，点、点同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为的面积的？
【答案】解：设秒后，，
由题意得，
即，
解之，得，，
米，
，
不合题意，舍去，
答：当秒后，．
【知识点】三角形的面积；一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】根据三角形的面积公式先求出 ， 再求出 ，， 最后求解即可。
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