北师大版五年级上册第三单元倍数与因数（知识梳理+提高训练）（含答案）

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北师大版五年级上册第三单元倍数与因数（知识梳理+提高训练）二
知识点一：倍数与因数
1、倍数与因数的意义。
（1）如果a×b=c(A.B.c都是不为0的自然数)，那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数，倍数与因数是乘法算式中积和乘数的关系，是相互依存的，没有倍数就不存在因数，没有因数也不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数。
（2）一个数的倍数大于或等于这个数的因数，一个数的因数小于或等于这个数的倍数。
（3）只在自然数（0除外）的范围内研究倍数和因数。
2、求一个数的倍数的方法。
用这个数分别乘1，2，3，4，…所得的积都是这个数的倍数。
3、判断两个数成倍数关系的方法。
(1)列乘法算式，用积判断。
(2)列除法算式，如果商是整数且没有余数就是倍数关系，反之不是。
知识点二：探索活动：2、5的倍数的特征
1、2的倍数的特征。
位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
2、5的倍数的特征。
个位上是0或5的数，都是5的倍数。判断一个数是不是5的倍数，就看这个数的个位上是不是0或5。
3、偶数和奇数。
像2，4，6，8，…这样的数，是2的倍数，叫作偶数。
像1，3，5，7，…这样的数，不是2的倍数，叫作奇数。
4、同时是2，5的倍数的特征。
个位上是0的数。
知识点三：探索活动：3的倍数的特征
1、一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
2、同时是2，3的倍数的特征。
个位上的数必须是0，2，4，6，8且各个数位上数字之和是3的倍数。
3、同时是3和5的倍数的特征。
个位上必须是0或5，且各个数位上数字之和是3的倍数。
4、同时是2、3、5的倍数的特征。
各个数位上数字之和是3的倍数，且个位上是0。
知识点四：找因数
1、找一个数的全部因数，看哪两个数相乘等于这个数，这两个数就是这个数的因数。
2、最小因数都是1。
3、最大因数是自己。
4、写出一个数的全部因数要按顺序从小到大写出，做到不重复，不遗漏。
5、因数在实际生活中应用很多，如装修房子时粘地板砖，需要 根据地板砖的大小计算粘几行、几列，学生们战队的时候要计算站几行，每行几人等。
知识点五：找质数
1、质数。
一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。最小的质数是2。
2、一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。最小的合数是4。
3、判断一个数是质数还是合数的方法:看这个数的因数的个数，只有2个因数的数是质数，有3个或3个以上因数的数是合数。
4、100以内的质数:2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个。
一、选择题（共16分）
1．在下面各组数中，第二个数是第一个数的因数的是（ ）。
A．12和36 B．5 和 7 C．18和 9 D．16 和 9
2．一个比1大的数除了1和它本身之外，没有其他的因数，这个数是（ ）。
A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数
3．要使四位数43□□同时是2、3、5的倍数，这个数可能是（ ）。
A．4310 B．4320 C．4330 D．4340
4．小华行李箱上密码锁的密码是1□44，这个数是3的倍数，她忘记了密码中的一个数字，这个密码一共有（ ）种可能。
A．2 B．4 C．3 D．5
5．要使三位数35□是3的倍数，方框里的填法有（ ）种。
A．1 B．2 C．3 D．4
6．边长为整数厘米，面积为165平方厘米的形状不相同的长方形共有（ ）种。
A．2 B．3 C．4 D．无数
7．在108、97、2、9873、1、360、75这七个数中，合数有（ ）个。
A．3 B．4 C．5 D．6
8．“任何一个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和。”下列式子中能表达这个猜想的是（ ）。
A． B． C． D．
二、填空题（共16分）
9．一个数既是21的倍数，又是21的因数，这个数是( )。
10．猜数游戏。

我俩是( )和( )。
11．一个九位数最高位是最小的合数，千万位上是5的倍数，万位上是最小的质数，其余各位上都是0，这个数写作( )，省略亿后面的尾数约是( )。
12．把24个球装在盒子里（所有的球不能同时装在1个盒子里），每个盒子装得同样多，有( )种装法，最少需要( )个盒子。
13．一个长方形的面积是18平方厘米，如果长和宽都是自然数，这样的长方形有( )个，其中周长最短的一个是( )厘米。
14．一个三位数（各个数位上的数字不相同），百位上的数字既是质数又是偶数，个位上的数字既不是质数也不是合数，十位上的数字既不是正数又不负数。则这个数是( )。
15．同时是2、3和5的倍数的最小两位自然数是( )。
16．某表演队72人需要安排队列，要求每列或每行不少于3人且每行的人数要比每列的人数少，那么有( ) 种排法。
三、判断题（共8分）
17．12的所有因数中，有3个质数。( )
18．找因数可以通过加减法进行寻找。( )
19．100以内15的倍数有6个。( )
20．3个连续的自然数不可能都是合数。( )
四、连线题（共6分）
21．（6分）连一连。
五、作图题（共6分）
22．（6分）请在下面的方格纸上画出面积是20cm2的长方形(图中每个小方格的面积是1cm2)，你有几种不同的画法？
六、解答题（共48分）
23．（6分）一个六位数，个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，万位上的数既是质数又是偶数，十万位上的数是一位数中最大的自然数，其余数位上的数是0，这个六位数是多少？
24．（6分）李老师和同学们折纸鹤，每人折的只数相同，一共折了473只纸鹤。这个班有学生多少人？每人折纸鹤多少只？
25．（6分）小林和小华去看十四运的比赛，他们两个的座位号之和是20，差不超过10，已知他们的座位号都是质数，他们的座位号分别是多少？
26．（6分）五（1）班有32名同学参加广播操比赛，要使每行人数都相等，可以排几行？共有几种排法？（每行或每列不少于2人）
27．（6分）罗汉果茶具有清热润肺等功效。药店新到225个罗汉果，如果每2个包装成一袋，能正好包完吗？如果每5个包装成一袋呢？
28．（6分）张奶奶家摘了64个苹果，每5个装一袋，能正好装完吗？每2个装一袋，能正好装完吗？
29．（6分）一个三位数，百位上是最小的合数，十位上是最小的合数与最小的质数的商，个位上是最小的质数，写出这个三位数。
30．（6分）校运动会开始了，万老师为运动员买了80瓶饮料，选择下面哪种包装方式正好能把这些饮料全部装完？选择的每种包装方式分别需要多少个包装盒？（列表表示）
参考答案
1．C
【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；由此解答即可。
【详解】A．12和36；36÷12＝3，36是12的倍数，不符合题意；
B．5和7；7÷5＝1.4；1.4是小数，不符合因数的意义，不符合题意；
C．18和9；18÷9＝2；18是9的倍数，9是18的因数，符合题意；
D．16和9；9÷18＝0.5；0.5是小数，不符合因数的意义，不符合题意。
在下面各组数中，第二个数是第一个数的因数的是18和9。
故答案为：C
【点睛】解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行分析、解答即可。
2．A
【详解】根据质数和合数的概念：除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；除了1和它本身外，还含有其它因数的数是合数；据此解答即可。由次可知：一个比1大的数除了1和它本身之外，没有其他的因数，这个数是质数；
故答案为：A
3．B
【分析】同时是2、3、5的倍数，则该四位数个位上是0且各数位上数字之和是3的倍数；据此逐项分析即可。
【详解】A．个位上是0，4＋3＋1＋0＝8，8不是3的倍数，所以4310不是3的倍数，不符合题意；
B．个位上是0，4＋3＋2＋0＝9，9是3的倍数，所以同时是2、3、5的倍数，符合题意；
C．个位上是0，4＋3＋3＋0＝10，10不是3的倍数，所以4330不是3的倍数，不符合题意；
D．个位上是0，4＋3＋4＋0＝11，11不是3的倍数，所以4340不是3的倍数，不符合题意；
故答案为：B
【点睛】本题主要考查2、3、5的倍数特征的灵活运用。
4．B
【分析】根据3的倍数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；由此找出□内可能的数字。
【详解】□内如果是0；1＋0＋4＋4＝9；9能被3整数，是3的倍数，□内可能是0；
□内如果是1；1＋1＋4＋4＝10；10不能被3整除，不是3的倍数，□内不是1；
□内如果是2；1＋2＋4＋4＝11；11不能被3整除，不是3的倍数，□内不是2；
□内如果是3；1＋3＋4＋4＝12；12能被3整除，是3的倍数，□内可能是3；
□内如果是4；1＋4＋4＋4＝13；13不能被3整除，不是3的倍数，□内不是4；
□内如果是5；1＋5＋4＋4＝14；14不能被3整除，不是3的倍数，□内不是5；
□内如果是6；1＋6＋4＋4＝15；15能被3整除，是3的倍数，□内可能是6；
□内如果是7；1＋7＋4＋4＝16；16不能被3整除，不是3的倍数，□内不是7
□内如果是8；1＋8＋4＋4＝17；17不能被3整除，不是3的倍数，□内不是8；
□内如果是9；1＋9＋4＋4＝18；18能被3整除，是3 倍数，□内可能是9。
□内可能是0，3，6，9一共四种可能。
小华行李箱上密码锁的密码是1□44，这个数是3的倍数，她忘记了密码中的一个数字，这个密码一共有4种可能。
故答案为：B
【点睛】熟练掌握3的倍数特征是解答本题的关键。
5．C
【分析】3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此，3＋5＋1＝9，3＋5＋4＝12，3＋5＋7＝15，9、12和15都是3的倍数，则三位数351、354、357是3的倍数。据此解答。
【详解】要使三位数35□是3的倍数，方框里可以填1、4或7，有3种填法。
故答案为：C
【点睛】掌握3的倍数的特征是解题的关键。
6．C
【分析】根据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。据此可知长方形的长和宽是165的因数，根据长方形的面积＝长×宽，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数，能写出几组算式就是有几种这样的长方形。据此解答。
【详解】165＝1×165＝3×55＝5×33＝11×15
边长为整数厘米，面积为165平方厘米的形状不相同的长方形共有4种。
故答案为：C
【点睛】此题是考查因数的意义和找因数的方法，注意不要忽略a、b、c为非0自然数这点。
7．B
【分析】一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数；据此解答。
【详解】在108、97、2、9873、1、360、75这七个数中，合数有：108、9873、360、75共4个。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查合数的意义，解题时注意1既不是质数也不是合数。
8．D
【分析】由题意知：“任何一个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和。”包含两个信息，一是和数必须是偶数，二是和数等于两个质数相加。据此判断。
【详解】A．，1既不是质数也不是合数。说法错误。
B．，5不是偶数。说法错误。
C．，91不是质数，是合数。说法错误。
D．，20是偶数，7和13是质数。说法正确。
故答案为：D
【点睛】此题要反映这个猜想必须具备两个条件：一个是大于2的偶数，并且表示出两个此质数的和。
9．21
【分析】根据找一个数的因数的方法：一个数的因数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1；根据找一个数的倍数的方法，一个数的倍数是无限的，最小的一个倍数是它本身，可见一个数的本身既是其最大约数又是其最小倍数。
【详解】由分析得：
一个数既是21的倍数，又是21的因数，这个数是21。
【点睛】根据找一个数的因数、倍数的方法进行解答即可。
10． 5 7
【分析】根据题意，两个质数的积是35，则这两个数是35的质因数，那么把35分解质因数即可解答。
【详解】35＝5×7，而5＋7＝12，则这两个数是5和7。
【点睛】掌握质因数和分解质因数的意义是解题的关键。
11． 450020000 5亿
【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。5的倍数特征：个位数是0或5；根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，据此可写出此数；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，再在数的后面写上“亿”字，据此写出。
【详解】最小的合数是4；5的倍数的一位数是5；最小的质数是2；
这个九位数写作：450020000；
450020000≈5亿
【点睛】本题主要考查了合数、质数、5的倍数认识以及整数的写法和近似数，注意整数的近似数要带计数单位。
12． 7 2
【分析】先找出24的所有因数，根据哪两个因数相乘是24，再根据这两个因数来确定每盒装几个，装几盒，注意所有的球不能同时装在1个盒子里。
【详解】24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；装法有：
24＝1×24，一盒24个，装1盒（排除）；或每盒装1个，装24盒；
24＝2×12，一盒装12个，装2盒；或每盒装2个，装12盒；
24＝3×8，一盒装8个，装3盒；或每盒装3个，装8盒；
24＝4×6，一盒装6个，装4盒；或每盒装4个，装6盒
所以有7种装法，最少需要2个盒子。
【点睛】此题主要考查求一个数的因数的方法，关键根据题意找出符合条件的数。
13． 3 18
【分析】长方形的面积＝长×宽，则积是18的两个自然数就是长方形的长与宽；将数据代入长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2求出最小值即可。
【详解】18＝1×18＝2×9＝3×6
这样的长方形有长是18厘米宽是1厘米、长是9厘米宽是2厘米、长是6厘米宽是3厘米，共3个。
周长：（18＋1）×2
＝19×2
＝38（厘米）
（9＋2）×2
＝11×2
＝22（厘米）
（6＋3）×2
＝9×2
＝18（厘米）
38＞22＞18
周长最小是18厘米。
综上可得：这样的长方形有3个，，其中周长最短的一个是18厘米。
【点睛】本题主要考查找一个数因数的方法。
14．201
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；除了1和它本身外，还有别的因数的数叫合数；不能被2整除的数叫做奇数，能被2整除的数叫做偶数；根据质数、合数、奇数和偶数的意义，0～9中，既是质数又是偶数的数是2，这个数的百位上的数是2；既不是质数也不是合数的数是1；这个数的个位上的数是1；正数：数字前面有“﹢”号或没有符号的数；负数：数字前面有“﹣”号的数，0既不是正数也不是负数；由此可知，这个数是十位上的数是0，这个数是201，据此解答。
【详解】根据分析可知，一个三位数（各个数位上的数字不相同），百位上的数字既是质数又是偶数，个位上的数字既不是质数也不是合数，十位上的数字既不是正数又不负数。则这个数是201。
【点睛】熟练掌握质数、合数、奇数、偶数、正数、负数的意义是解答本题的关键。
15．30
【分析】2的倍数特点：个位上是0、2、4、6、8，5的倍数特点：个位上是0或5，3的倍数特点：各个数位上数字之和是3的倍数，根据2、3、5的倍数特征可知，同时是2、3、5的倍数，个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数，据此解答即可。
【详解】同时是2、3和5的倍数的最小两位自然数是30。
【点睛】本题主要考查2、3、5的倍数特征，注意个位是0的数同时是2和5的倍数，3的倍数特征是：各个数位上的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
16．4
【分析】由于每行的人数×每列的人数＝总人数，先找出72的因数，可以一对一对的找，进而根据题意确定可能每行排的人数和排的列数。
【详解】72的因数有：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72。
因为每列或每行不少于3人，且每行的人数要比每列的人数少，因此符合这些条件的因数有：3，4，5，8，9，12，18，24。
每列24人，排3行；
每列18人，排4行；
每列12人，排6行；
每列9人，排8行。
一共有4种排法。
某表演队72人需要安排队列，要求每列或每行不少于3人且每行的人数要比每列的人数少，那么有4种排法。
【点睛】熟练掌握求一个数的因数的方法是解答本题的关键。
17．×
【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。根据求一个数的因数的方法求出12的因数；再根据质数的意义，一个自然数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。据此解答即可。
【详解】12的因数有1、2、3、4、6、12。
在这些因数中质数有2和3两个。
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×
【点睛】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数的方法及应用，质数的意义及应用。
18．×
【分析】找一个因数的方法：把一个因数写出两个整数相乘的形式，这两个整数就是这个数的因数，根据此方法即可找出这个数的所有因数。
【详解】由分析可知：
找因数是通过乘法进行寻找，原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查找因数的方法，学会找因数的方法并灵活运用。
19．√
【分析】求一个数倍数的方法：用这个数分别乘自然数：1、2、3、4、5、……，就得到这个数的1倍、2倍、3倍、4倍、5倍、……据此求出100以内15的所有倍数即可。
【详解】15×1＝15
15×2＝30
15×3＝45
15×4＝60
15×5＝75
15×6＝90
15×7＝105
100以内15的倍数有：15、30、45、60、75、90，共有6个。
故答案为：√
【点睛】列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。
20．×
【分析】根据合数的意义：除了1和它本身还有别的因数的数是合数；据此解答。
【详解】如3个连续的自然数：8、9、10（答案不唯一），都是合数；3个连续的自然数有可能都是合数。
原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】熟练掌握合数的意义是解答本题的关键。
21．见详解
【分析】根据质数与合数的意义，在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了1和它本身，还有别的因数的数为合数，据此解答。
【详解】
【点睛】本题考查质数与合数的意义，根据质数与合数的意义进行解答。
22．
【解析】略
23．这个六位数是920042
【分析】根据题意，逐一判断出每个数位上的数字各是多少，然后求出这个六位数是多少即可。
【详解】因为个位上是最小的质数
所以个位上是2
因为十位上是最小的合数
所以十位上是4
因为万位上的数既是质数又是偶数
所以万位上是2
因为十万位上的数是一位数中最大的自然数
所以十万位上是9
所以这个六位数是920042。
答：这个六位数是920042。
【点睛】（1）此题主要考查了整数的读法和写法，要熟练掌握，解答此题的关键是逐一判断出每个数位上的数字各是多少；
（2）此题还考查了奇数、偶数的特征，以及质数和合数的特征，要熟练掌握。
24．42人；11只
【分析】因为每人折纸鹤的只数乘这个班师生人数，可得一共折了多少只纸鹤，可得每人折纸鹤的只数和这个班师生人数都是473的因数，找出473的因数。再根据实际情况合理选定师生人数，最后再从师生人数中减去李老师1个人的人数即得这个班的学生人数。
【详解】473＝11×43
根据实际情况可得学生有43―1＝42（人）
答：这个班有学生42人，每人折纸鹤11只。
【点睛】本题主要考查了找一个数的因数的方法，关键是找出473的因数。
25．7号和13号
【分析】只有1和它本身两个因数的数叫做质数，据此分别写出和是20的两个数，再进行判断。
【详解】
在这几组加数中，只有3、17与7、13这两组数都是质数，又因为差不超过10，所以只有7、13符合题意。
答：他们的座位号分别是7号和13号。
【点睛】本题考查质数的应用。根据质数的意义找出符合题意的数是解题的关键。
26．2行、4行、8行、16行；4种
【分析】把32名同学平均分成若干行，那么行数和每行的人数相乘的积是32，根据找因数的方法，可以一对一的找，有多少个因数就有多少种排法，再结合题目进行分析即可。
【详解】由分析可得：
32＝1×32，即每行1人，排32行，不符合题意；或者每行32人，排1行，不符合题意。
32＝2×16，即每行2人，排16行；或每行16人，排2行；
32＝4×8，即每行4人，排8行；或每行8人，排4行；
答：可以排2行、4行、8行、16行。共有4种排法。
【点睛】本题考查了找一个数因数的方法，解答此题的关键是把32分解因数，再对分解出来的因数结合题目进行分析，看是否需要排除。
27．如果每2个包装成一袋，不能正好包完；如果每5个包装成一袋，能正好包完
【分析】根据2的倍数特征：个位上是0、2、4，6，8的数都是2的倍数；5的倍数特征：个位上的数是0或5的数，是5的倍数，用225除以2，如果没有余数，正好包完，如果有余数，不能正好包完；同样再用225÷5，如果没有余数，正好包完，如果有余数，不能正好包完；据此解答。
【详解】225÷2＝112（袋）……1（个），225不是2的倍数，
如果每2个包装成一袋，不能正好包完。
225÷5＝45（袋），225是5的倍数；
如果每5个包装成一袋，能正好包完。
答：如果每2个包装成一袋，不能正好包完；如果每5个包装成一袋，能正好包完。
【点睛】熟练掌握2的倍数特征和5的倍数特征是解答本题的关键。
28．每5个装一袋，不能正好装完；每2个装一袋，能正好装完
【分析】根据2的倍数特征：个位上是0、2、4，6，8的数都是2的倍数；5的倍数特征：个位上的数是0或5的数，是5的倍数，再根据能被2，5整除的数的特征进行判断是否正好整完。
【详解】64÷5＝12（袋）……4（个），64不能被5整除，不是5的倍数，不能正好装完；
64÷2＝32（袋），64能被2整数，是2的倍数，能装好装完。
答：每5个装一袋，不能正好装完，每2个装一袋，能正好装完。
【点睛】熟练掌握2、5的倍数特征是解答本题的关键。
29．422
【分析】一个数，除了1和它本身，还有其他因数的数，叫做合数，最小的合数是4；一个数，只要1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，最小的质数是2，据此解答。
【详解】最小的合数是4，百位上的数是4；
4÷2＝2；十位上的数是2；
最小的质数是2，个位上的数是2。
这个数是422。
答：这个三位数是422。
【点睛】熟练掌握质数和合数的意义是解答本题的关键。
30．见详解
【分析】根据题意，只要求出每箱装饮料的数量是80的因数，即可解答。
【详解】①4瓶装：80÷4＝20（个），可以用每箱4瓶装的包装盒；需要20个包装盒；
②5瓶装：80÷5＝16（个），可以用每箱5瓶装的包装盒；需要16个包装盒；
③10瓶装：80÷10＝8（个），可以用每箱10瓶装的包装盒；需要8个包装盒；
④12瓶装：80÷12≈6.6（个），不可以用每箱12瓶装的包装盒。
表如下：
包装方式 4瓶 5瓶 10瓶
包装盒数量 20个 16个 8个
【点睛】熟练掌握因数与倍数的关键是解答本题的关键。
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