北师大版六年级上册第一单元圆（知识梳理+提高训练）三（学案）

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北师大版六年级上册第一单元圆（知识梳理+提高训练）三
知识点一：圆的认识（一）
1、圆的特征:由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。
2、圆的画法。
（1）手指画圆法。（2）实物画圆法。（3）系绳画圆法。（4）圆规画圆法。
3、圆的各部分名称。
（1）圆心。画圆时，圆规带有针尖的脚所在的点叫圆心。
圆心一般用字母O表示。
（2）半径。用圆规画圆时，圆规两脚之间的距离就是所画圆的半径，即圆心到圆上任意一点的距离叫半径。
半径一般用字母r表示。
（3）直径。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。直径一般用字母d表示。
4、圆的各部分之间的关系。
圆有无数条直径，无数条半径;同圆（或等圆）中的直径都相等，半径都相等;直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r或r=。
5、圆心和半径的作用：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。
知识点二：圆的认识（二）-对称性
1、圆的对称性。
圆是轴对称图形，直径所在的直线或通过圆心的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。
2、确定常见的轴对称图形对称轴的数量。
等腰三角形和等腰梯形都只有1条对称轴，长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴。
3、用对称的方法确定圆心。
将圆对折两次，两条折痕的焦点就是圆心。
知识点三：欣赏与设计
1、欣赏美丽的图案。
圆在图案设计中有广泛的应用，美丽而又复杂的图案都是由一些基本图形组成的。观察图案时，不仅要知道它的基本结构，还要知道它的设计过程。
2、设计图案。
设计图案就是根据基本图形的特点，运用平移、旋转和轴对称的知识设计图案。
知识点四：圆的周长
1、圆的周长的意义和测量方法。
意义：圆的周长是指围成圆的曲线的长；
测量方法：可以用滚动法和绕线法测量元的周长。
2、圆周率的意义。
圆周率：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π表示，它是一个无限不循环小数，计算时通常取它的近似值3.14.
3、圆的周长计算公式及应用。
已知圆的半径，求周长时，用公式C=2πr进行计算；已知圆的直径，求周长时，用公式C=πd进行计算。
（1）已知圆的半径，求圆的周长：C=2πr。
（2）已知圆的直径，求圆的周长：C=πd。
（3）已知圆的周长，求圆的半径：r=C÷π÷2。
（4）已知圆的周长，求圆的直径：d=C÷π。
知识点五：圆的面积（一）
1、圆的面积计算公式的推导
将圆转化成学过的平行四边形，求面积。
圆的面积=平行四边形的面积。
如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式可以表示为S=πr2
知识点六：圆的面积（二）
1、圆的面积计算公式的应用
已知半径求面积，直接用公式S=πr2计算；已知周长求面积，用公式S=π（）2计算。
2、圆的面积计算公式的有趣推导
由三角形的面积公式推导圆的面积公式的方法：圆的面积=三角形的面积===πr2
一、选择题（共16分）
1．圆周率表示（ ）。
A．圆的周长 B．圆的面积与直径的倍数关系
C．圆的周长与直径的倍数关系 D．圆的面积
2．一个圆的直径扩大到原来的3倍，这个圆的面积就扩大到原来的（ ）倍。
A．9 B．3 C．6 D．27
3．把一张直径是10cm圆形纸分成两个半圆，每个半圆的周长是（ ）。
A．10 B．5 C．5＋10 D．5＋5
4．如图所示，从甲地到乙地有A和B两条路可以走，这两条路的长度相比，（ ）。
A．A长 B．B 长 C．一样长 D．无法比较
5．一个圆环的环宽是1厘米，内外两个圆的周长相差（ ）厘米。
A．1 B．3.14 C．6.28 D．9.42
6．用长6厘米，宽3厘米的长方形纸片，剪一个最大的圆，这个圆形纸片的周长是（ ）厘米。
A．7.065 B．9.42 C．18 D．18.84
7．圆的面积与长方形的面积相等。长方形的宽是5分米，长是15.7分米，圆的半径是（ ）分米。
A．10 B．25 C．5 D．15.7
8．如图：4个圆的直径都是6cm，图中阴影部分面积是（ ）cm2。
A．36 B．24 C．16 D．9
二、填空题（共16分）
9．一张光盘的刻录面为环形，内圆的直径是4厘米，外圆直径是12厘米，这张光盘刻录面的面积是( )平方厘米。
10．光盘是一个圆环，外圆直径是10厘米，内圆直径是8厘米，这个光盘的面积是( )平方厘米。
11．下图圆的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。（单位：厘米）
12．一个圆环，内圆直径是6米，外圆半径是8米，这个圆环的面积是( )平方米。
13．两个直角三角形的面积差是20平方分米，则两个圆的面积差是( )平方分米。
14．如图，某花坛由四个半圆形和一个正方形组成，已知正方形的面积为，该花坛的周长是( )m，面积是( )。
15．如图，把一个圆剪拼成一个近似的长方形后，周长增加了10厘米，这个圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。
16．把一个半径为2厘米的圆剪拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是( )厘米。
三、判断题（共8分）
17．半圆是轴对称图形，有无数条对称轴。( )
18．一个圆的面积是它的半径的π倍。( )
19．用一根长3.14米的绳子围成一个最大的圆，这个圆的直径是1米。( )
20．如图中正方形的面积是10cm2，则圆的面积是314cm2。( )
四、计算题（共12分）
21．（6分）求阴影部分的周长。（单位：分米）
22．（6分）计算图形阴影部分的周长和面积。
五、作图题（共6分）
23．（6分）分别画出下面图形的对称轴。
六、解答题（共42分）
24．（6分）一个钟表的时针长为5厘米，一昼夜时针扫过的面积有多少平方厘米？
25．（6分）公园里有一块半径为10米的圆形草地。
（1）如果在草地的外围铺一条宽2米的环形路方便游客行走，这条环形路的面积是多少平方米？
（2）准备给这块草地安装自动旋转喷灌装置。现在有射程为20米、10米、12米的三种装置，你认为选哪种射程的装置比较合适？安装在什么位置？
26．（6分）一辆货车轮胎的直径是1米，每分钟转350圈，这辆货车每小时行多少千米？
27．（6分）小红沿长200米，宽150米的长方形花坛跑，小明沿直径是200米的圆形花坛跑，如果他们的速度相同谁先跑完一圈？
28．（6分）一个石英钟的分针长10厘米，分针顺时针旋转扫过的面积是235.5平方厘米。求分针走了多少分？
29．（6分）第24届冬奥会2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行。下图是冬奥会短道速滑场地平面图：（单位：米）
（1）跑道周长是多少米？
（2）占地面积是多少平方米？
30．（6分）一种自行车轮胎外直径35.36厘米，如果平均每分钟转100圈，通过长1670米的武汉长江大桥，需要多少分钟？（得数保留整数）
参考答案
1．C
【分析】根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值叫圆周率，它是一个无限不循环小数，用π表示，π＝3.1415926……；进而选择结论。
【详解】由圆周率的含义可知：圆周率表示圆的周长与直径的倍数关系。
故答案为：C
【点睛】本题考查圆周率的含义，应注意基础知识的积累和应用。
2．A
【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，再根据积的变化规律可知，如果圆的直径扩大到原来的3倍，则圆的半径也扩大到原来的3倍，那么圆的面积就扩大到原来的（3×3）倍，据此解答。
【详解】3×3＝9
一个圆的直径扩大到原来的3倍，这个圆的面积就扩大到原来的9倍。
故答案为：A
【点睛】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，积的变化规律及应用。
3．C
【分析】根据半圆周长的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上直径，根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式解答。
【详解】π×10÷2＋10
＝5π＋10
故答案为：C
【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用。
4．C
【分析】观察图形A路线是一个大的半圆，B路线是两个小半圆与一个中半圆，其中两个小半圆相等，小半圆的直径等于中半圆的半径，大半圆的半径等于中半圆的直径，设小半圆的直径是1，则中半圆的直径为1×2＝2，大半圆的直径为2×2，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，求出A路线和B路线的长，再进行比较，即可解答。
【详解】设小半圆的直径为1，则中半圆的直径为1×2＝2；大半圆的直径为2×2＝4。
A路线：π×4÷2
＝2π
B路线：π×1÷2×2＋π×2÷2
＝0.5×2π＋π
＝π＋π
＝2π
2π＝2π
A路线＝B路线
如图所示，从甲地到乙地有A和B两条路可以走，这两条路的长度相比，一样长。
故答案为：C
【点睛】本题关键在于圆或半圆的周长的计算方法，半圆的周长是整圆的一半。
5．C
【分析】圆环的环宽是1厘米，就是外圆的直径比内圆的直径长（1×2）厘米；那么内圆周长比外圆周长少（1×2）π。
【详解】（1×2）×3.14
＝2×3.14
＝6.28（厘米）
所以内外两个圆的周长相差6.28厘米。
故答案为：C
【点睛】圆周长是直径的π倍，直径增加几厘米，周长就增加几个π厘米。关键明白一个圆环的环宽是1厘米，外圆直径比内圆直径增加2个1厘米。
6．B
【分析】根据题意可知，用这个长方形纸片剪一个最大的圆，这个圆形纸片的直径等于长方形的宽，根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式解答。
【详解】3.14×3＝9.42（厘米）
故答案为：B
【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
7．C
【分析】长方形的面积＝长×宽，代入数据求出长方形的面积，也就是圆的面积，再带入圆的面积公式求出半径的平方，进而得出半径值。
【详解】15.7×5÷3.14
＝78.5÷3.14
＝25（平方分米）
因为5×5＝25，所以半径为5分米。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查圆的面积公式的灵活运用。
8．A
【分析】由题意可知，阴影部分是一个边长为6cm的正方形，正方形的面积＝边长×边长据此解答。
【详解】图中阴影部分面积：6×6＝36（平方厘米）
故答案为：A
【点睛】正确理解图意，掌握正方形的面积公式是解答此题的关键。
9．100.48
【分析】根据题意，求这张光盘刻录面的面积，即为环形面积，根据环形面积公式：S＝（R2－r2），代入数据求值即可。
【详解】由分析可得：
3.14×[（12÷2）2－（4÷2）2]
＝3.14×[62－22]
＝3.14×[36－4]
＝3.14×32
＝100.48（平方厘米）
综上所述：一张光盘的刻录面为环形，内圆的直径是4厘米，外圆直径是12厘米，这张光盘刻录面的面积是100.48平方厘米。
【点睛】本题主要考查了圆环的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式，同时注意计算的正确性。
10．28.26
【分析】圆环的面积＝π（R2－r2），据此先求出外圆和内圆的半径，再代入公式即可解答。
【详解】10÷2＝5（厘米）
8÷2＝4（厘米）
3.14×（52－42）
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
【点睛】掌握圆环的面积公式是解题的关键。
11． 1 3.14
【分析】由图可知：圆的直径是4－2＝2厘米，根据r＝d÷2，S＝π，把数据代入解答即可。
【详解】由分析得：
半径：（4－2）÷2
＝2÷2
＝1（厘米）
面积：3.14×
＝3.14×1
＝3.14（平方厘米）
圆的半径是1厘米，面积是3.14平方厘米。
【点睛】本题主要考查圆的认识及面积公式的应用，关键是熟记公式。
12．172.7
【分析】根据圆环的面积公式：S＝，把数据代入即可求解。
【详解】6÷2＝3（米）
3.14×（82－32）
＝3.14×（64－9）
＝3.14×55
＝172.7（平方米）
【点睛】本题主要考查圆环的面积公式的灵活运用，关键是要熟记公式。
13．125.6
【分析】设大直角三角形的直角边为R分米，小直角三角形的直角边为r分米，三角形面积＝底×高÷2，即两个三角形的面积差就可以写成，化简后为，圆面积＝，即两个圆面积差就可以写成，变形为，以此代数解答即可。
【详解】设大直角三角形的直角边为R分米，小直角三角形的直角边为r分米。
三角形面积差：
圆面积差：（平方分米）
两个圆的面积差是125.6平方分米。
【点睛】此题主要考查学生对三角形面积和圆面积公式的灵活应用。
14． 25.12 41.12
【分析】通过观察可知，花坛周长是由四个半圆弧长组成，也就是两个圆周长，根据圆周长＝，代数解答即可；花坛面积是由一个正方形和四个半圆面积组成，根据圆面积＝，求出两个圆面积，再加上正方形面积即可解答。
【详解】正方形面积是16平方米，边长是4米；
（1）3.14×4×2
＝12.56×2
＝25.12（米）
花坛的周长是25.12米；
（2）3.14×（4÷2）2×2＋16
＝3.14×4×2＋16
＝25.12＋16
＝41.12（平方米）
花坛的面积是41.12平方米。
【点睛】此题主要考查学生对组合图形的周长和面积的分析与解答能力，灵活运用公式是解题的关键。
15． 31.4 78.5
【分析】把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，那么长方形的长等于圆周长的一半（πr），宽等于圆的半径r，长方形的周长为2πr＋2r，就比原来的圆的周长多2r，所拼成的长方形周长比原来的圆的周长增加了10厘米，可求出圆的半径，进而求出圆的周长和面积。
【详解】根据分析可求得这个圆的半径是：10÷2＝5（厘米）
这个圆的周长是：2×3.14×5＝31.4（厘米）
圆的面积：3.14×52＝78.5（平方厘米）
【点睛】此题主要考查把圆剪拼成长方形后它们之间的关系，以及圆的面积公式。
16．6.28
【分析】根据题意可知，得到的近似长方形的宽为圆的半径，长方形的长为圆周长的一半，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出圆的周长，再除以2，即可解答。
【详解】3.14×2×2÷2
＝6.28×2÷2
＝12.56÷2
＝6.28（厘米）
把一个半径为2厘米的圆剪拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是6.28厘米。
【点睛】本题考查的目的是理解掌握圆的面积公式的推导过程以及应用，以及圆的周长公式的灵活运用。
17．×
【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴；据此解答。
【详解】如图：
半圆是轴对称图形，有1条对称轴。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查轴对称图形的认识及对称轴数量。
18．×
【分析】根据圆的面积＝π×半径2解答。
【详解】圆的面积÷半径2＝π，即一个圆的面积是它的半径平方的π倍。
故答案为：×
【点睛】考查了圆的面积的灵活应用，学生应掌握。
19．√
【分析】分析题意有，圆的周长是3.14米，据此结合圆的周长公式将圆的直径求出即可。
【详解】3.14÷3.14＝1（米）
故答案为：√
【点睛】本题考查了圆的周长，灵活运用圆的周长公式是解题的关键。
20．×
【分析】圆的半径为r，又因正方形的边长等于圆的半径，且正方形的面积是10平方厘米，即r2＝10，进而利用圆的面积公式即可求解。
【详解】圆的半径为r，由题意得：r2＝10，
所以圆的面积为：
πr2＝10π
＝10×3.14
＝31.4（平方厘米）
故答案为：×。
【点睛】解答此题的关键是明白：圆的半径等于正方形的边长。
21．42.84分米
【分析】阴影部分周长等于边长是6分米正方形周长加上直径是6分米的圆的周长，根据正方形周长公式：边长×4；圆的周长公式：π×直径，代入数据，即可解答。
【详解】6×4＋3.14×6
＝24＋18.84
＝42.84（分米）
22．58.24cm； 106.48cm2
【分析】根据图形的特征可得：阴影部分的周长等于半径是10厘米圆周长的一半加半径是6厘米圆周长的一半，再加上2条（10－6）厘米线段的长；阴影部分的面积等于长方形的面积减去半径是10厘米的半圆面积与半径是6厘米的半圆面积的和，求出面积差即可。
【详解】周长：2×3.14×10÷2＋2×3.14×6÷2＋2×（10－6）
＝3.14×10＋3.14×6＋2×4
＝3.14×（10＋6）＋8
＝3.14×16＋8
＝58.24（cm）
面积：（10＋10）×（10＋6）－（3.14×102÷2＋3.14×62÷2）
＝20×16－（3.14×50＋3.14×18）
＝20×16－3.14×（50＋18）
＝320－3.14×68
＝320－213.52
＝106.48（cm2）
23．见详解
【分析】画对称轴的步骤：
（1）找出轴对称图形的任意一组对称点。
（2）连接对称点。
（3）画出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到该图形的对称轴。
【详解】根据分析画图如下：
【点睛】本题主要考查对称轴的画法，对称轴一般用虚线。
24．157平方厘米
【分析】分析题目，时针一昼夜（24小时）扫过的面积，就是以时针的长度为半径的圆面积的2倍，据此结合圆的面积＝πr2列式计算即可。
【详解】3.14×52×2
＝3.14×25×2
＝78.5×2
＝157（平方厘米）
答：一昼夜时针扫过的面积有157平方厘米。
【点睛】掌握圆的面积计算公式是解答本题的关键。
25．（1）138.16平方米
（2）选择射程为10米的比较合适，安装在圆心。
【分析】（1）求这条环形路的面积，就是求圆环的面积；根据圆环的面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），代入数据，即可求出这条环路的面积。
（2）应选射程和半径相等的喷灌装置，并且安装在圆心的位置，据此解答。
【详解】（1）3.14×[（10＋2）2－102]
＝3.14×[122－100]
＝3.14×[144－100]
＝3.14×44
＝138.16（平方米）
答：这条环形路的面积是138.16平方米。
（2）因为圆形草地的半径为10米，所以选用射程为10米的装置比较合适，安装在圆形草坪的圆心。
【点睛】熟练掌握圆环的面积公式是解答本题的关键。
26．65.94千米
【分析】根据圆的周长：C＝πd，代入数据求出轮胎的周长，乘每分钟转的圈数，求得每分钟行了多少米，再乘60即可求得每小时行了多少米，根据1千米＝1000米，低级单位转化成高级单位除以进率，进行换算即可解答。
【详解】1小时＝60分钟
3.14×1×350×60
＝1099×60
＝65940（米）
65940米＝65.94千米
答：这辆货车每小时行65.94千米。
【点睛】熟练掌握圆周长的计算方法是解题的关键，要注意单位换算。
27．小明先跑完。
【分析】由题意得速度相同，谁跑的距离短谁就先跑完，即求出长方形和圆的周长比较即可，根据长方形的周长公式：（长＋宽）×2，圆的周长公式：C＝πd即可求解。
【详解】（200＋150）×2
＝350×2
＝700（米）
3.14×200＝628（米）
700＞628
答：如果他们的速度相同小明先跑完一圈。
【点睛】本题考查长方形和圆的周长，需要熟记相关公式。
28．45分
【分析】分针走过一圈的面积是一个半径为10厘米的圆的面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出这个圆的面积。再用分针顺时针旋转扫过的面积÷圆的面积，求出分针旋转扫过面积占圆的面积的几分之几；相当于分针走过的时间是60分钟的几分之几，用60×扫过的面积占圆的面积的几分之几，即可解答。
【详解】1小时＝60分
3.14×102
＝3.14×100
＝314（平方厘米）
235.5÷314＝
60×＝45（分）
答：分针走了45分。
【点睛】解答本题的关键是求出分针扫过面积占圆的面积的分率。
29．（1）107.94米
（2）662.56平方米
【分析】（1）观察图形可知，跑道周长＝一个半径是8米的圆的周长＋长是28.85米，宽是8×2米的长方形的两条长；根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。
（2）占的面积＝半径是8米圆的面积＋长是28.85，宽是8×2米的长方形面积；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2；长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。
【详解】（1）3.14×8×2＋28.85×2
＝25.12×2＋57.7
＝50.24＋57.7
＝107.94（米）
答：跑的周长是107.94米。
（2）3.14×82＋28.85×（8×2）
＝3.14×64＋28.85×16
＝200.96＋461.6
＝662.56（平方米）
答：占的面积是662.56平方米。
【点睛】利用圆的周长公式，圆的面积公式以及长方形面积公式进行解答，关键明确两端合起来就是一个圆。
30．15分钟
【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，求出自行车轮胎的周长，再乘100，求出自行车轮胎1分钟转的米数，再用武汉长江大桥的长度除以自行车轮胎1分钟转的米数，即可解答。
【详解】35.36厘米＝0.3536米
1670÷（3.14×0.3536×100）
＝1670÷（1.110304×100）
＝1670÷111.0304
≈15（分钟）
答：需要15分钟。
【点睛】利用圆的周长公式，求出自行车轮胎的周长，进行解答。
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