国庆节作业：第四章 图形的相似训练试卷（含答案）

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国庆节作业：《相似图形》训练试卷
选择题
1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，3，4，5 D．2，3，6，9
2．若，则下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，若，，，则等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
4．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，小正方形的边长为均为1，下列各图（图中小正方形的边长均为1）阴影部分所示的三角形中，与相似的三角形是（ ）
A．B．C． D．
6.如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，
设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，
已知纸板的两条直角边DE=30cm，EF=15cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=7m，
则树高AB =（　 　）m．
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
7.如图，在中，，且，被、分成三部分，
且三部分面积分别为，，，则 )
A．1：1:1 B．1:2:3 C．1:3:5 D．1:4:9
8 . 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），
用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）cm
A．1 B．2 C．3 D．4
如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），
连接，作，交线段于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：；
乙同学：若，则；
丙同学：当时，D为的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确
C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确
10 . 如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，
延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出下列结论：
①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF=.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
1．如果，那么的值为 ．
2.为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，
使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．
此时，测得，，，则两岸间的距离是 ．
3.如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且CE︰BC＝2︰3，AC与DE相交于点F，
若S△AFD＝9，则S△EFC＝ ．
4.如图，小明用长为3m的竹竿作测量工具，测量学校旗杆的高度，
移动竹 ，使O、C、A在同一直线上，此m，m，则旗杆的高为 ．
如图，在中，，，
点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，
点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．
若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过 秒钟，与相似．
6．如图所示，的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，
在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，
若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是第_____张
三、解答题
1．已知，且，求值．
2．如图， ，，，，求的长．
3．如图，，且，求证：．

4.在中，，，点是边上一点，
过点作，交于点，求证：．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=∠B．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若AC=12，BC=11，CE=2，求BD的长.
6．如图所示，在等腰三角形ABC中，底边BC=60，高AD=40，四边形PQRS是正方形．
(1) △ASR与△ABC相似吗 为什么
(2)求正方形PQRS的边长．

7.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：∠DAF＝∠CDE；
(2)求证：△ADF∽△DEC；
(3)若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长.
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm. P、Q分别为AB、BC上的动点，
点P从点A出发沿AB方向作匀速移动的同时，点Q从点B出发沿BC方向向点C作匀速移动，
移动的速度均为1cm/s，设P、Q移动的时间为t（0＜t≤4）.
（1）当t为何值时，△BPQ与△ABC相似； （2）当t为何值时，△BPQ是等腰三角形.
9．【问题发现】
（1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，
使，，连接，则和的数量关系为 　 　；
【拓展延伸】
如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），
在的右侧作等腰，使，，
连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，
请直接写出当时的长．
国庆节作业：《相似图形》训练试卷 解答
选择题
1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，3，4，5 D．2，3，6，9
【答案】D
2．若，则下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3．如图，，若，，，则等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
【答案】B
4．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
5．如图，小正方形的边长为均为1，下列各图（图中小正方形的边长均为1）阴影部分所示的三角形中，与相似的三角形是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
6.如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，
设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，
已知纸板的两条直角边DE=30cm，EF=15cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=7m，
则树高AB =（　 　）m．
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【答案】D
7.如图，在中，，且，被、分成三部分，
且三部分面积分别为，，，则 )
A．1：1:1 B．1:2:3 C．1:3:5 D．1:4:9
【答案】C
8 . 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），
用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）cm
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
9.如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），
连接，作，交线段于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：；
乙同学：若，则；
丙同学：当时，D为的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确
C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确
【答案】D
10 . 如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，
延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出下列结论：
①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF=.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
1．如果，那么的值为 ．
【答案】
2.为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，
使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．
此时，测得，，，则两岸间的距离是 ．
【答案】
3.如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且CE︰BC＝2︰3，AC与DE相交于点F，
若S△AFD＝9，则S△EFC＝ ．
【答案】4
4.如图，小明用长为3m的竹竿作测量工具，测量学校旗杆的高度，
移动竹 ，使O、C、A在同一直线上，此m，m，则旗杆的高为 ．
【答案】9
5 .如图，在中，，，
点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，
点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．
若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过 秒钟，与相似．
【答案】2或5
6．如图所示，的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，
在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，
若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是第_____张
【答案】5
三、解答题
1．已知，且，求值．
解：设，
，，，
，
，
，
，
的值为．
2．如图， ，，，，求的长．
解：∵，，
∴；
∵，
∴，
即：；
∴的长为15．
3．如图，，且，求证：．

证明： ，
．
又，
，
即，
∴．
4.在中，，，点是边上一点，
过点作，交于点，求证：．
证明：如图所示：
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=∠B．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若AC=12，BC=11，CE=2，求BD的长.
解：（1）证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠ADC=∠B+∠BAD
∠ADC=∠ADE+∠CDE
∵∠ADE=∠B
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△CDE
（2）∵AB=AC，AC=12
∴AB=12
由（1）知，△ABD∽△CDE
∴=
即=
∴BD=3或8
6．如图所示，在等腰三角形ABC中，底边BC=60，高AD=40，四边形PQRS是正方形．
(1) △ASR与△ABC相似吗 为什么
(2)求正方形PQRS的边长．

解：（1）∵四边形PQRS是正方形，
∴SR∥PQ，
∴∠ASR＝∠ABC，∠ARS＝∠ACB，
∴△ASR∽△ABC；
（2）设正方形的边长为x，则SR＝x，SR＝DE＝x，AE＝40﹣x，
∵△ASR∽△ABC，
∴AE：AD＝SR：BC，
∵BC＝60，AD＝40，
∴（40﹣x）：40＝x：60，
∴x＝24，
即正方形的边长为24．
7.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：∠DAF＝∠CDE；
(2)求证：△ADF∽△DEC；
(3)若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长.
解：（1）证明：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠ADC
∵∠AFE=∠B，∴∠AFE=∠ADC
∵∠AFE=∠1+∠2，∠ADC=∠3+∠2
∴∠1+∠2=∠3+∠2，即∠1=∠3
∴∠DAF=∠CDE
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，∴∠2=∠4
由（1）得∠1=∠3 ∴△ADF∽△DEC
∵AE⊥BC，∴AE⊥AD
∴DE=
由（2）可知：△ADF∽△DEC，CD=AB=7
∴ ∴
∴AF=
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm. P、Q分别为AB、BC上的动点，
点P从点A出发沿AB方向作匀速移动的同时，点Q从点B出发沿BC方向向点C作匀速移动，
移动的速度均为1cm/s，设P、Q移动的时间为t（0＜t≤4）.
（1）当t为何值时，△BPQ与△ABC相似； （2）当t为何值时，△BPQ是等腰三角形.
解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm.
∴AB=（cm）.
∵△BPQ和△ABC有公共角∠B，
∴①当时，△BPQ∽△BCA，
由此可得： ，
解得： ；
②当时，△BPQ∽△BAC，
由此可得： ，
解得： ；
∴当或时，△BPQ与△ABC相似；
①如图1，当BP=BQ时，△BPQ是等腰三角形，
由题意可得： ，解得： ；
②如图2，当BQ=PQ时，过点Q作QE⊥AB于点E，
则BE=PE=BP=，∠BEQ=∠C=90°，
又∵∠B=∠B，∴△BEQ∽△BCA，
∴，即 ，解得： ；
③如图3，当PB=PQ时，过点P作PE⊥BC于点E，
则BE=EQ= ，∠BEP=∠C=90°，
又∵∠B=∠B，∴△BEP∽△BCA，
∴，即，解得： ；
综上所述，当， ， 时，△BPQ是等腰三角形.
9．【问题发现】
（1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，
使，，连接，则和的数量关系为 　 　；
【拓展延伸】
如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），
在的右侧作等腰，使，，
连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，
请直接写出当时的长．
解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：相等；
（2）成立，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴∠；
（3）当点D在线段上时，如图2，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
当点D在线段的延长线上时，如图3，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上可知，的长为2或6．
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