贵州省黔东南从江县停洞中学2023-2024学年度九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题:以下每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确,每小题3分,共36分.
1．（2023九上·从江开学考）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2-3=2x+1 B．-3x=2
C．-7=2x D．(2x-7)(x+2)=2x2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： A：3x2-3=2x+1，是一元二次方程，符合题意；
B：-3x=2，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C：-7=2x，最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意；
D：∵(2x-7)(x+2)=2x2，
∴3x+14=0，是一元一次方程，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．（2023八下·金东月考） 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，则一次项系数、常数项分别为（ ）
A．5，-7 B．5，7 C．-5，7 D．-5，-7
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程整理得：，
则一次项系数、常数项分别为5，-7，
故答案为：A.
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.
3．（2019八下·乐清月考）用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2=6 B．（x-1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x-2）2=9
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】由原方程移项，得
x2-2x=5，
方程的两边同时加上一次项系数-2的一半的平方1，得
x2-2x+1=6
∴（x-1)2=6．
故选：B．
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．（2023九上·从江开学考）下列方程中，两个实数根的和为0的是（ ）
A．x2-x=0 B．x2+2x=0 C．x2-1=0 D．x2-2x+1=0
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： A：∵x2-x=0，
∴x（x-1)=0，
解得：x=0或x=1，
∴0+1=1，
∴该选项不符合题意；
B：∵x2+2x=0，
∴x（x+2)=0，
解得：x=0或x=-2，
∴0+（-2）=-2，
∴该选项不符合题意；
C：∵x2-1=0，
∴x2=1，
解得：x=1或x=-1，
∴-1+1=0，
∴该选项符合题意；
D：∵x2-2x+1=0，
∴（x-1)2=0，
解得：x=1，
∴该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用解一元二次方程的方法先求出方程的解，再计算求解即可。
5．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A．（3+x）（4-0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15
C．（x+4）（3-0.5x）=15 D．（x+1）（4-0.5x）=15
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设每盆应该多植x株，根据题意，得
（3+x）（4-0.5x）=15．
故选：A．
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4-0.5x）元，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程．
6．（2023九上·从江开学考）若m是方程x2-2x-1=0的根，则1+2m-m2的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】A
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是方程x2-2x-1=0的根，
∴m2-2m-1=0，
∴m2-2m=1，
∴1+2m-m2=1-（m2-2m）=0，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出m2-2m-1=0，再求出m2-2m=1，最后代入计算求解即可。
7．（2023九上·从江开学考）某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额共500万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．100+100(1+x)+100(1+x)2=500 B．100(1+x)2=500
C．100+100(1+x)2=500 D．100(1+x)=500
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额共500万元，
∴由题意可列方程： 100+100(1+x)+100(1+x)2=500 ，
故答案为：A.
【分析】根据题意找出等量关系，列方程求解即可。
8．（2023九上·从江开学考）已知一元二次方程(x-2)2=3的两个根分别为m，n，且m>n，则2m+n的值是（ ）
A．-3 B．-6+ C．6+ D．9
【答案】C
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵一元二次方程(x-2)2=3 ，
∴x-2=，
∵一元二次方程(x-2)2=3的两个根分别为m，n，且m>n，
∴，，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出x-2=，再求出，，最后代入计算求解即可。
9．（2023九上·从江开学考）已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x-3=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．m< C．m>且m≠1 D．m≥且m≠1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x-3=0有实数根，
∴且m-1≠0，
解得： m≥且m≠1 ，
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式求出且m-1≠0，再求解即可。
10．（2023九上·从江开学考）等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两根，则该三角形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．无法确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-6x+8=0 ，
∴，
∴x-2=0或x-4=0，
解得：x=2或x=4，
∵等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两根，
∴等腰三角形的三边长分别为2，4，4，
∴该三角形的周长为2+4+4=10，
故答案为：B.
【分析】利用因式分解法求出x=2或x=4，再利用等腰三角形的性质求出等腰三角形的三边长分别为2，4，4，最后求三角形的周长即可。
11．（2019·广西模拟）方程x2-(m+6)x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是 （ ）
A．-2或3 B．3 C．-2 D．-3或2
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴其根的判别式的值为0，即（-m-6）2-4m2=0，
解得 m1=6，m2=-2，
又∵ x1+x2=m+6，x1x2=m2， x1+x2=x1x2，
∴m+6=m2，
解得 m3=-2，m4=3，
综上所述：m=-2.
故答案为：C.
【分析】根据方程有两个相等的实数根可知：其根的判别式的值等于0，从而列出关于m的方程，求解得出m的值，根据根与系数的关系，得出 x1+x2=m+6，x1x2=m2，又x1+x2=x1x2，从而又列出关于m的方程，求解即可求出m的值，然后取出两方程的公共根即可。
12．（2023九上·从江开学考）如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6 cm，BC=8 cm，动点P从点A出发沿AB边以 1 cm/s 的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点B出发沿BC边以2 cm/s的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当△PBQ的面积为5 cm2时，点P，Q运动的时间为（ ）
A．0.5 s B．1 s C．5 s D．1或5 s
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：设点P，Q运动的时间为t秒，则AP=tcm，BQ=2tcm，BP=（6-t)cm，
∴，
∵△PBQ的面积为5 cm2，
∴，
解得：t=1或t=5，
∵当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，
∴t=1，
即点P，Q运动的时间为1秒，
故答案为：B.
【分析】利用三角形的面积公式求出，再列方程求出，最后计算求解即可。
二、填空题:每小题4分,共16分.
13．（2023九上·从江开学考）若关于x的方程(a-1)+2x+5=0是一元二次方程，则a的值是 .
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的方程(a-1)+2x+5=0是一元二次方程
∴，
解得：a=-1，
故答案为：-1.
【分析】根据一元二次方程的定义求出，再计算求解即可。
14．（2021·宿迁）若关于x的一元二次方程x2+ax-6=0的一个根是3，则a= .
【答案】-1
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：把x=3代入方程x2+ax-6=0得9+3a-6=0，解得a=-1.
故答案为：-1.
【分析】直接把x=3代入方程x2+ax-6=0得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可.
15．（2023九上·从江开学考）如图所示，在长为50 m、宽为40 m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为1 824 m2，则道路的宽应为多少米 设道路的宽为x m，则可列方程为 .
【答案】(50-x)(40-x)=1 824
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设道路的宽为x m， 则绿化部分可合成长为（50-x），宽为（40-x）的矩形，
由题意可列方程为： (50-x)(40-x)=1824 ，
故答案为： (50-x)(40-x)=1824 .
【分析】先求出绿化部分可合成长为（50-x），宽为（40-x）的矩形，再根据绿化面积为1824m2， 列方程求解即可。
16．（2018九上·梁子湖期末）如果(a2+b2+1)(a2+b2-1)=63,那么a2+b2的值为 .
【答案】8
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】设a2+b2=x,
则(x+1)(x-1)=63
整理得:x2=64,
x=±8,
即a2+b2=8或a2+b2=-8 (不合题意,舍去)；
故答案为8.
【分析】首先把a2+b2看作一个整体为x，进一步整理方程，开方得出答案即可.
三、解答题:本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023九上·从江开学考）解下列一元二次方程：
（1）x2+x-1=0；
（2）x2+4x-1=0.
【答案】（1）解：a=1，b=1，c=-1，
∵b2-4ac=12-4×1×(-1)=5，
∴x=，
解得x1=，x2=.
（2）解：移项，得x2+4x=1.
配方，得x2+4x+4=1+4，
即(x+2)2=5，
解得x=-2±，
即x1=-2+，x2=-2-.
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法解方程求解即可；
（2）利用配方法解方程求解即可。
18．（2023九上·从江开学考）在解方程x2-9=2(x-3)的过程，嘉洪同学的解答如下：
解：将方程左边分解因式，得(x+3)(x-3)=2(x-3)，……第一步
方程两边都除以(x-3)，得x+3=2，……第二步
解得x=-1.……第三步
（1）已知嘉淇同学的解答是错误的，开始出现错误的步骤是 ；
（2）请给出正确的解答过程.
【答案】（1）第二步
（2）解：正确的解答过程如下：
移项，得(x+3)(x-3)-2(x-3)=0，
将左边因式分解，得(x-3)(x+1)=0，
则x-3=0或x+1=0，
解得x1=3，x2=-1.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1） 开始出现错误的步骤是第二步，
故答案为：第二步.
【分析】（1）观察所给的解答步骤判断求解即可；
（2）利用因式分解法解方程求解即可。
19．（2023九上·从江开学考）已知关于x的方程(m+3)(m-3)x2+(m+3)x+2=0.
（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程
（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程
【答案】（1）解：∵(m+3)(m-3)x2+(m+3)x+2=0，
∴如果此方程是一元一次方程，
则
解得m=3，
即当m=3时，此方程是一元一次方程.
（2）解：∵(m+3)(m-3)x2+(m+3)x+2=0，
∴如果此方程是一元二次方程，
则(m+3)(m-3)≠0，
解得m≠-3且m≠3，
即当m≠-3且m≠3时，此方程是一元二次方程.
【知识点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的定义先求出 ，再求解即可；
（2）根据一元二次方程的定义求出 (m+3)(m-3)≠0， 再求解即可。
20．（2021·黄石）已知关于 的一元二次方程 有实数根.
（1）求 的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为 、 ，且 ，求 的值.
【答案】（1）解：由题意可得：
解得：
即实数m的取值范围是
（2）解：由 可得：
∵ ；
∴
解得： 或
∵
∴
即 的值为-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）若一元二次方程有两个实数根，则b2-4ac≥0；由此可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1·x2的值；再将已知条件转化为（x1+x2）2-21·x2=12，再整体代入可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值.
21．（2023九上·从江开学考）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700 kg的目标，第三阶段实现水稻亩产量
1 008 kg的目标.
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照(1)中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1 200 kg，请通过计算说明他们的目标能否实现.
【答案】（1）解：设亩产量的平均增长率为x，
由题意，得700(1+x)2=1 008，
解得x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去).
答：亩产量的平均增长率为20%.
（2）解：1 008×(1+20%)=1 209.6(kg).
∵1 209.6>1 200，
∴他们的目标能实现.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出700(1+x)2=1008， 再解方程求解即可；
（2）根据题意先求出 1008×(1+20%)=1209.6(kg)，再比较大小求解即可。
22．（2023九上·从江开学考）阅读下面的例题：
解方程：x2-|x|-2=0.
解：①当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0，
解得x1=2，x2=-1(不合题意，舍去)；
②当x<0时，原方程化为x2+x-2=0，
解得x1=1(不合题意，舍去)，x2=-2.
综上，原方程的根是x1=2，x2=-2.
请参照例题解方程：x2-|x-3|-3=0.
【答案】解：①当x≥3时，
原方程化为x2-(x-3)-3=0，
即x2-x=0.
解得x1=0(不合题意，舍去)，x2=1(不合题意，舍去)；
②当x<3时，原方程化为x2+x-3-3=0，
即x2+x-6=0，
解得x1=-3，x2=2.
综上，原方程的根是x1=-3，x2=2.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；实数的绝对值
【解析】【分析】分两种情况，先去绝对值，再解方程求解即可。
23．（2023九上·从江开学考）如图所示，学校准备修建一个面积为48 m2的矩形花园，它的一边靠墙，其余三边利用长 20 m 的围栏.
（1）围成矩形的长和宽各是多少
（2）若墙长为9 m，围成的矩形的长和宽各是多少
【答案】（1）解：设垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为(20-2x)m.
由题意，得x·(20-2x)=48，
解得x1=4，x2=6.
∴围成矩形的宽为4 m时，长为12 m；
或围成矩形的宽为6 m时，长为8 m.
（2）解：设垂直于墙的一边长为x m，
则平行于墙的一边长为(20-2x)m.
由题意，得x·(20-2x)=48，
解得x1=4，x2=6.
当x=4时，20-2×4=12>9(舍去)，
当x=6时，20-2×6=8<9.
即围成矩形的长为8 m，宽为6 m.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 x·(20-2x)=48， 再解方程求解即可；
（2）根据矩形的面积公式求出 x·(20-2x)=48， 再求出 x1=4，x2=6，最后计算求解即可。
24．（2023九上·从江开学考）某种商品平均每天可销售60件，每件盈利 100元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价 1元，商场平均每天可多售出2件.据此规律，请回答：
（1）当商场日销售量为80件时，商场日盈利可达到多少元.
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 8 400 元
【答案】（1）解：因为销量增加了20件，则每件商品降价 10元，
∴日盈利为(100-10)×80=7 200(元).
（2）解：设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到 8 400 元，
由题意，得(100-x)(60+2x)=8 400，
化简，得x2-70x+1 200=0，
解得x1=30，x2=40，
∵该商场要尽快减少库存，则x=30不合题意，舍去.
∴x=40.
答：每件商品降价40元时，商场日盈利可达到 8 400 元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先求出销量增加了20件，则每件商品降价10元， 再列式求解即可；
（2）根据题意找出等量关系求出 (100-x)(60+2x)=8400， 再解方程求解即可。
25．（2023九上·从江开学考）如图所示，在矩形ABCD中，BC=4，AB=10，E为CD边上的一点，DE=7，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE.设点P运动的时间为t s.
（1）求BE的长.
（2）当t为何值时，△BPE是直角三角形
【答案】（1）解：由题意，知CD=AB=10，DE=7，BC=4，
CE=CD-DE=10-7=3，
在Rt△CBE中，
BE===5.
（2）解：①当以P为直角顶点时，即∠BPE=90°，
AP=10-3=7，则t=7÷1=7(s)；
②当以E为直角顶点时，即∠BEP=90°，
由勾股定理，得BE2+PE2=BP2，
设AP=t，BP=10-t，
PE2=42+(7-t)2，
即52+42+(7-t)2=(10-t)2，
解得t=.
综上，当t=7或时，△BPE为直角三角形.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形的性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出CE=3，再利用勾股定理计算求解即可；
（2）分类讨论，结合图形，利用勾股定理计算求解即可。
1 / 1贵州省黔东南从江县停洞中学2023-2024学年度九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题:以下每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确,每小题3分,共36分.
1．（2023九上·从江开学考）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2-3=2x+1 B．-3x=2
C．-7=2x D．(2x-7)(x+2)=2x2
2．（2023八下·金东月考） 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，则一次项系数、常数项分别为（ ）
A．5，-7 B．5，7 C．-5，7 D．-5，-7
3．（2019八下·乐清月考）用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2=6 B．（x-1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x-2）2=9
4．（2023九上·从江开学考）下列方程中，两个实数根的和为0的是（ ）
A．x2-x=0 B．x2+2x=0 C．x2-1=0 D．x2-2x+1=0
5．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A．（3+x）（4-0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15
C．（x+4）（3-0.5x）=15 D．（x+1）（4-0.5x）=15
6．（2023九上·从江开学考）若m是方程x2-2x-1=0的根，则1+2m-m2的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
7．（2023九上·从江开学考）某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额共500万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．100+100(1+x)+100(1+x)2=500 B．100(1+x)2=500
C．100+100(1+x)2=500 D．100(1+x)=500
8．（2023九上·从江开学考）已知一元二次方程(x-2)2=3的两个根分别为m，n，且m>n，则2m+n的值是（ ）
A．-3 B．-6+ C．6+ D．9
9．（2023九上·从江开学考）已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x-3=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．m< C．m>且m≠1 D．m≥且m≠1
10．（2023九上·从江开学考）等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两根，则该三角形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．无法确定
11．（2019·广西模拟）方程x2-(m+6)x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是 （ ）
A．-2或3 B．3 C．-2 D．-3或2
12．（2023九上·从江开学考）如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6 cm，BC=8 cm，动点P从点A出发沿AB边以 1 cm/s 的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点B出发沿BC边以2 cm/s的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当△PBQ的面积为5 cm2时，点P，Q运动的时间为（ ）
A．0.5 s B．1 s C．5 s D．1或5 s
二、填空题:每小题4分,共16分.
13．（2023九上·从江开学考）若关于x的方程(a-1)+2x+5=0是一元二次方程，则a的值是 .
14．（2021·宿迁）若关于x的一元二次方程x2+ax-6=0的一个根是3，则a= .
15．（2023九上·从江开学考）如图所示，在长为50 m、宽为40 m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为1 824 m2，则道路的宽应为多少米 设道路的宽为x m，则可列方程为 .
16．（2018九上·梁子湖期末）如果(a2+b2+1)(a2+b2-1)=63,那么a2+b2的值为 .
三、解答题:本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023九上·从江开学考）解下列一元二次方程：
（1）x2+x-1=0；
（2）x2+4x-1=0.
18．（2023九上·从江开学考）在解方程x2-9=2(x-3)的过程，嘉洪同学的解答如下：
解：将方程左边分解因式，得(x+3)(x-3)=2(x-3)，……第一步
方程两边都除以(x-3)，得x+3=2，……第二步
解得x=-1.……第三步
（1）已知嘉淇同学的解答是错误的，开始出现错误的步骤是 ；
（2）请给出正确的解答过程.
19．（2023九上·从江开学考）已知关于x的方程(m+3)(m-3)x2+(m+3)x+2=0.
（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程
（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程
20．（2021·黄石）已知关于 的一元二次方程 有实数根.
（1）求 的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为 、 ，且 ，求 的值.
21．（2023九上·从江开学考）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700 kg的目标，第三阶段实现水稻亩产量
1 008 kg的目标.
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照(1)中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1 200 kg，请通过计算说明他们的目标能否实现.
22．（2023九上·从江开学考）阅读下面的例题：
解方程：x2-|x|-2=0.
解：①当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0，
解得x1=2，x2=-1(不合题意，舍去)；
②当x<0时，原方程化为x2+x-2=0，
解得x1=1(不合题意，舍去)，x2=-2.
综上，原方程的根是x1=2，x2=-2.
请参照例题解方程：x2-|x-3|-3=0.
23．（2023九上·从江开学考）如图所示，学校准备修建一个面积为48 m2的矩形花园，它的一边靠墙，其余三边利用长 20 m 的围栏.
（1）围成矩形的长和宽各是多少
（2）若墙长为9 m，围成的矩形的长和宽各是多少
24．（2023九上·从江开学考）某种商品平均每天可销售60件，每件盈利 100元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价 1元，商场平均每天可多售出2件.据此规律，请回答：
（1）当商场日销售量为80件时，商场日盈利可达到多少元.
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 8 400 元
25．（2023九上·从江开学考）如图所示，在矩形ABCD中，BC=4，AB=10，E为CD边上的一点，DE=7，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE.设点P运动的时间为t s.
（1）求BE的长.
（2）当t为何值时，△BPE是直角三角形
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： A：3x2-3=2x+1，是一元二次方程，符合题意；
B：-3x=2，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C：-7=2x，最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意；
D：∵(2x-7)(x+2)=2x2，
∴3x+14=0，是一元一次方程，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程整理得：，
则一次项系数、常数项分别为5，-7，
故答案为：A.
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.
3．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】由原方程移项，得
x2-2x=5，
方程的两边同时加上一次项系数-2的一半的平方1，得
x2-2x+1=6
∴（x-1)2=6．
故选：B．
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： A：∵x2-x=0，
∴x（x-1)=0，
解得：x=0或x=1，
∴0+1=1，
∴该选项不符合题意；
B：∵x2+2x=0，
∴x（x+2)=0，
解得：x=0或x=-2，
∴0+（-2）=-2，
∴该选项不符合题意；
C：∵x2-1=0，
∴x2=1，
解得：x=1或x=-1，
∴-1+1=0，
∴该选项符合题意；
D：∵x2-2x+1=0，
∴（x-1)2=0，
解得：x=1，
∴该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用解一元二次方程的方法先求出方程的解，再计算求解即可。
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设每盆应该多植x株，根据题意，得
（3+x）（4-0.5x）=15．
故选：A．
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4-0.5x）元，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程．
6．【答案】A
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是方程x2-2x-1=0的根，
∴m2-2m-1=0，
∴m2-2m=1，
∴1+2m-m2=1-（m2-2m）=0，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出m2-2m-1=0，再求出m2-2m=1，最后代入计算求解即可。
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额共500万元，
∴由题意可列方程： 100+100(1+x)+100(1+x)2=500 ，
故答案为：A.
【分析】根据题意找出等量关系，列方程求解即可。
8．【答案】C
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵一元二次方程(x-2)2=3 ，
∴x-2=，
∵一元二次方程(x-2)2=3的两个根分别为m，n，且m>n，
∴，，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出x-2=，再求出，，最后代入计算求解即可。
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x-3=0有实数根，
∴且m-1≠0，
解得： m≥且m≠1 ，
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式求出且m-1≠0，再求解即可。
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-6x+8=0 ，
∴，
∴x-2=0或x-4=0，
解得：x=2或x=4，
∵等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两根，
∴等腰三角形的三边长分别为2，4，4，
∴该三角形的周长为2+4+4=10，
故答案为：B.
【分析】利用因式分解法求出x=2或x=4，再利用等腰三角形的性质求出等腰三角形的三边长分别为2，4，4，最后求三角形的周长即可。
11．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴其根的判别式的值为0，即（-m-6）2-4m2=0，
解得 m1=6，m2=-2，
又∵ x1+x2=m+6，x1x2=m2， x1+x2=x1x2，
∴m+6=m2，
解得 m3=-2，m4=3，
综上所述：m=-2.
故答案为：C.
【分析】根据方程有两个相等的实数根可知：其根的判别式的值等于0，从而列出关于m的方程，求解得出m的值，根据根与系数的关系，得出 x1+x2=m+6，x1x2=m2，又x1+x2=x1x2，从而又列出关于m的方程，求解即可求出m的值，然后取出两方程的公共根即可。
12．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：设点P，Q运动的时间为t秒，则AP=tcm，BQ=2tcm，BP=（6-t)cm，
∴，
∵△PBQ的面积为5 cm2，
∴，
解得：t=1或t=5，
∵当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，
∴t=1，
即点P，Q运动的时间为1秒，
故答案为：B.
【分析】利用三角形的面积公式求出，再列方程求出，最后计算求解即可。
13．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的方程(a-1)+2x+5=0是一元二次方程
∴，
解得：a=-1，
故答案为：-1.
【分析】根据一元二次方程的定义求出，再计算求解即可。
14．【答案】-1
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：把x=3代入方程x2+ax-6=0得9+3a-6=0，解得a=-1.
故答案为：-1.
【分析】直接把x=3代入方程x2+ax-6=0得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可.
15．【答案】(50-x)(40-x)=1 824
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设道路的宽为x m， 则绿化部分可合成长为（50-x），宽为（40-x）的矩形，
由题意可列方程为： (50-x)(40-x)=1824 ，
故答案为： (50-x)(40-x)=1824 .
【分析】先求出绿化部分可合成长为（50-x），宽为（40-x）的矩形，再根据绿化面积为1824m2， 列方程求解即可。
16．【答案】8
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】设a2+b2=x,
则(x+1)(x-1)=63
整理得:x2=64,
x=±8,
即a2+b2=8或a2+b2=-8 (不合题意,舍去)；
故答案为8.
【分析】首先把a2+b2看作一个整体为x，进一步整理方程，开方得出答案即可.
17．【答案】（1）解：a=1，b=1，c=-1，
∵b2-4ac=12-4×1×(-1)=5，
∴x=，
解得x1=，x2=.
（2）解：移项，得x2+4x=1.
配方，得x2+4x+4=1+4，
即(x+2)2=5，
解得x=-2±，
即x1=-2+，x2=-2-.
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法解方程求解即可；
（2）利用配方法解方程求解即可。
18．【答案】（1）第二步
（2）解：正确的解答过程如下：
移项，得(x+3)(x-3)-2(x-3)=0，
将左边因式分解，得(x-3)(x+1)=0，
则x-3=0或x+1=0，
解得x1=3，x2=-1.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1） 开始出现错误的步骤是第二步，
故答案为：第二步.
【分析】（1）观察所给的解答步骤判断求解即可；
（2）利用因式分解法解方程求解即可。
19．【答案】（1）解：∵(m+3)(m-3)x2+(m+3)x+2=0，
∴如果此方程是一元一次方程，
则
解得m=3，
即当m=3时，此方程是一元一次方程.
（2）解：∵(m+3)(m-3)x2+(m+3)x+2=0，
∴如果此方程是一元二次方程，
则(m+3)(m-3)≠0，
解得m≠-3且m≠3，
即当m≠-3且m≠3时，此方程是一元二次方程.
【知识点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的定义先求出 ，再求解即可；
（2）根据一元二次方程的定义求出 (m+3)(m-3)≠0， 再求解即可。
20．【答案】（1）解：由题意可得：
解得：
即实数m的取值范围是
（2）解：由 可得：
∵ ；
∴
解得： 或
∵
∴
即 的值为-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）若一元二次方程有两个实数根，则b2-4ac≥0；由此可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1·x2的值；再将已知条件转化为（x1+x2）2-21·x2=12，再整体代入可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值.
21．【答案】（1）解：设亩产量的平均增长率为x，
由题意，得700(1+x)2=1 008，
解得x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去).
答：亩产量的平均增长率为20%.
（2）解：1 008×(1+20%)=1 209.6(kg).
∵1 209.6>1 200，
∴他们的目标能实现.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出700(1+x)2=1008， 再解方程求解即可；
（2）根据题意先求出 1008×(1+20%)=1209.6(kg)，再比较大小求解即可。
22．【答案】解：①当x≥3时，
原方程化为x2-(x-3)-3=0，
即x2-x=0.
解得x1=0(不合题意，舍去)，x2=1(不合题意，舍去)；
②当x<3时，原方程化为x2+x-3-3=0，
即x2+x-6=0，
解得x1=-3，x2=2.
综上，原方程的根是x1=-3，x2=2.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；实数的绝对值
【解析】【分析】分两种情况，先去绝对值，再解方程求解即可。
23．【答案】（1）解：设垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为(20-2x)m.
由题意，得x·(20-2x)=48，
解得x1=4，x2=6.
∴围成矩形的宽为4 m时，长为12 m；
或围成矩形的宽为6 m时，长为8 m.
（2）解：设垂直于墙的一边长为x m，
则平行于墙的一边长为(20-2x)m.
由题意，得x·(20-2x)=48，
解得x1=4，x2=6.
当x=4时，20-2×4=12>9(舍去)，
当x=6时，20-2×6=8<9.
即围成矩形的长为8 m，宽为6 m.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 x·(20-2x)=48， 再解方程求解即可；
（2）根据矩形的面积公式求出 x·(20-2x)=48， 再求出 x1=4，x2=6，最后计算求解即可。
24．【答案】（1）解：因为销量增加了20件，则每件商品降价 10元，
∴日盈利为(100-10)×80=7 200(元).
（2）解：设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到 8 400 元，
由题意，得(100-x)(60+2x)=8 400，
化简，得x2-70x+1 200=0，
解得x1=30，x2=40，
∵该商场要尽快减少库存，则x=30不合题意，舍去.
∴x=40.
答：每件商品降价40元时，商场日盈利可达到 8 400 元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先求出销量增加了20件，则每件商品降价10元， 再列式求解即可；
（2）根据题意找出等量关系求出 (100-x)(60+2x)=8400， 再解方程求解即可。
25．【答案】（1）解：由题意，知CD=AB=10，DE=7，BC=4，
CE=CD-DE=10-7=3，
在Rt△CBE中，
BE===5.
（2）解：①当以P为直角顶点时，即∠BPE=90°，
AP=10-3=7，则t=7÷1=7(s)；
②当以E为直角顶点时，即∠BEP=90°，
由勾股定理，得BE2+PE2=BP2，
设AP=t，BP=10-t，
PE2=42+(7-t)2，
即52+42+(7-t)2=(10-t)2，
解得t=.
综上，当t=7或时，△BPE为直角三角形.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形的性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出CE=3，再利用勾股定理计算求解即可；
（2）分类讨论，结合图形，利用勾股定理计算求解即可。
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