福建省福州十一中2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2020八上·福田期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、的被开方数是小数，不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、的被开方数是分数，不是最简二次根式，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开得尽方的数或式，逐项进行判断，即可得出答案 .
2．（2023九下·沭阳月考）如图，在中，点D，E分别为的中点，若，则的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别为边的中点，
∴，
故答案为：D.
【分析】由题意可得：DE为△ABC的中位线，则BC=2DE，据此计算.
3．（2020九上·兰陵期末）用配方法解一元二次方程 时，此方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
故答案为：D.
【分析】根据配方法构造一元二次方程关系式即可
4．（2023九上·福州开学考）在方差计算公式：中，，分别表示（ ）
A．数据的个数和方差 B．平均数和数据的个数
C．数据的个数和平均数 D．数据的方差和平均数
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：在S2=中，
10表示数据的个数，15表示平均数.
故答案为：数据的个数和平均数.
【分析】根据方差定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差即可求解.
5．（2023九上·福州开学考）下面哪个点不在函数的图象上（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：A、把（-5，13）代入解析式得：左边=13，右边=-2×（-5）+3=13=左边，不符合题意；
B、把（0.5，2）代入解析式得：左边=2，右边=-2×0.5+3=2=左边，不符合题意；
C、把（3，0）代入解析式得：左边=0，右边=-2×3+3=-3≠左边，符合题意；
D把（-5，13）代入解析式得：左边=1，右边=-2×1+3=1=左边，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由题意分别把各选项的点的坐标代入解析式计算，若左右两边的值不相等，则符合题意.
6．（2023九上·福州开学考）某校在“学习二十大精神”演讲比赛活动中，位评委给某位选手的评分各不相同，去掉个最高分和个最低分，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：由题意，从7个原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，可得5个有效评分，5个有效评分和7个有效评分中，中间的数据不会发生变化，根据中位数定义可知：中位数一定不发生变化.
故答案为：B.
【分析】中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；根据中位数定义并结合题意可判断求解.
7．（2017八下·福清期末）如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G，F分别为OC，OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．12
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵BD，CE是△ABC的中线，
∴ED∥BC且ED= BC，
∵F是BO的中点，G是CO的中点，
∴FG∥BC且FG= BC，
∴ED=FG= BC=2，
同理GD=EF= AO=1.5，
∴四边形DEFG的周长为1.5+1.5+2+2=7．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线定理，求出ED=FG、GD=EF的长，求出四边形DEFG的周长.
8．（2023九上·福州开学考）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在、之间不包含端点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点为（1，k），
∴y=a(x-1)2+k，
∵抛物线与x轴相交于点A（-1，0），
∴0=a(-1-1)2+k，则a=，
∴y=(x-1)2+k=x2+x+k，
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间，
∴2＜k＜3，解得：＜k＜4.
故答案为：C .
【分析】由题意可设抛物线的顶点式为：y=a(x-1)2+k，把点A的坐标代入解析式可将a用含k的代数式表示出来，然后根据抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间可得关于k的不等式组，解之可求解.
9．（2023九上·福州开学考）小带和小路两个人开车从城出发匀速行驶至城整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开城的距离千米与行驶的时间小时之间的函数关系如图所示，有下列结论：
、两城相距千米；
小路的车比小带的车晚出发小时，却早到小时；
小路的车出发后小时追上小带的车；
当时，小带和小路的车相距千米．
其中正确的结论有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：①由图知：A、B两城相距300千米；符合题意；
②由图知： 小带行驶的时间为5小时，而小路是在甲出发1小时后出发的，且用了3小时，即早到1小时；符合题意；
③由图可设：小带离开A城的距离y与时间t的关系为：y小带=kt，把点（5，300）代入解析式得：300=5k，解得k=60，则y小带=60t；
小路离开A城的距离y与时间t的关系为：y小路=mt+n，把点（1，0）和（4，300）代入解析式得关于m、n的方程组：，解得：，则y小路=100t-100；将两个函数解析式联立解方程组可得：t=2.5，则小路出发的时间为：2.5-1=1.5，即小路出发1.5小时后追上小带的车；不符合题意；
④∵小带和小路的车相距50千米，
∴，即，解得：t=或t=，符合题意.
故答案为：B.
【分析】①由图中的信息可求解；
②由图中的信息可求解；
③由图可设：小带离开A城的距离y与时间t的关系为：y小带=kt，小路离开A城的距离y与时间t的关系为：y小路=mt+n，用待定系数法求得两直线解析式，再把两个解析式联立解方程组即可求解；
④由题意可得关于t的方程，解方程即可判断求解.
10．（2023九上·福州开学考）已知、是一元二次方程的两个不相等的实数根，、是一元二次方程的两个不相等的实数根，其中若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：如图：
由题意可知：函数y=x2+3x-n和y=x2-3x-n在y轴上的交点为（0，-n）.
∵，
∴OB =OC =AB =CD ，
∵两条抛物线的对称轴分别为：x=、x=，
∴OB =OC =AB =CD==3，
∴x2=3，则C（3，0），
把点C代入解析式y=x2+3x-n可得n=18.
故答案为：D.
【分析】将两个方程转化为两个二次函数，由二次函数的图象特点求出相关点C的坐标，然后将点C的坐标代入解析式y=x2+3x-n计算即可求解.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11．（2023九上·福州开学考）已知是方程的一个根，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是方程x2-2x-2=0的一个根，
∴m2-2m-2=0，则m2-2m=2.
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程的根的定义可将m代入原方程，移项即可求解.
12．（2020八下·漯河期中）如图，已知△ABC中，AB＝5 cm，BC＝12 cm，AC＝13 cm，那么AC边上的中线BD的长为 cm.
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】 解： 52+122=132
∴△ABC是直角三角形，
∴AC边上的中线BD的长为 cm.
故答案为： .
【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠B=90°，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案.
13．（2023九上·福州开学考）若函数是正比例函数，则的值为 ．
【答案】1
【知识点】正比例函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数y=kx+k-1是正比例函数，
∴k-1=0，解得：k=1.
故答案为：1.
【分析】根据正比例函数的一般形式“y=kx(k≠0，k为常数）”可得关于k的方程，解方程可求解.
14．（2023九上·福州开学考）若直线和直线的交点坐标为，则 ．
【答案】6
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵直线y=-x+a和直线y=x+b的交点坐标为（m，3），
∴3=-m+a①，3=m+b②，
由①+②得：6=a+b.
故答案为：6.
【分析】由题意把点（m，3）代入两条直线的解析式，然后将两个方程相加即可求解.
15．在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占30%，环境卫生成绩占40%，个人卫生成绩占30%．八年级一班这三项成绩分别为85分，90分和95分，求该班卫生检查的总成绩 ．
【答案】90分
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：该班卫生检查的总成绩=85×30%+90×40%+95×30%=90（分）．
故答案为90分．
【分析】根据加权平均数的计算公式求解即可．
16．（2023九上·福州开学考）已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线的开口向下，
∵抛物线的对称轴为：直线x=，
且y1＜y2，
若点A在对称轴x=1的左侧，点B在对称轴x=1的右侧，
则可得不等式组：，
解得：，不等式组无解；
若点A在对称轴x=1的右侧，点B在对称轴x=1的左侧，
则可得不等式组：，
解得：0＜n＜2，
∴n的取值范围是：0＜n＜2.
故答案为：0＜n＜2.
【分析】根据二次函数的a的值可判断抛物线的开口向下，由抛物线的对称轴x=可求得抛物线的对称轴，根据已知条件y1＜y2，分两种情况讨论：
若点A在对称轴x=1的左侧，点B在对称轴x=1的右侧，若点A在对称轴x=1的右侧，点B在对称轴x=1的左侧，可分别得关于n的不等式组，解之可求解.
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17．（2017八下·怀柔期末）解方程： ．
【答案】解： ． =12． ∴方程的解为 ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式，写出a，b，c的值并计算了判别式的值，如果判别式不小于零即利用公式法解一元二次方程.
四、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（2023九上·福州开学考）已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根均为整数，且为正整数，求的值．
【答案】（1）解：，
，
．
，
原方程总有两个实数根．
（2）解：，
，
解方程得，，
方程有两个整数根，
，
为正整数，
．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由题意将a=k，b=(2k+1)，c=2，代入一元二次方程的根的判别式并整理，然后根据平方的非负性并结合k≠0可知b2-4ac＞0，由一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可判断求解；
（2）由因式分解法可求得一元二次方程的两根，根据两个根均为整数且k为正整数即可求解.
19．（2023九上·福州开学考）已知一次函数的图象过点与．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）直接写出这个一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标．
【答案】（1）解：设一次函数为，
一次函数的图象过点与，
，
解得，
所求的解析式为．
（2）解：令，则，
令，则，解得，
这个一次函数的图象与两坐标轴的交点为，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）由题意设一次函数为y=kx+b，然后用待定系数法可求解；
（2）根据直线与x轴相交可得y=0，把y=0代入（1）中的解析式计算可求得直线与x轴的交点坐标；根据直线与y轴相交可得x=0，把x=0代入（1）中的解析式计算可求得直线与y轴的交点坐标.
20．（2023九上·福州开学考）列方程或方程组解应用题：
如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地空白处，求原正方形空地的边长．
【答案】解：设原正方形的边长为，根据题意，得
，
解得：，．
经检验，不符合题意，舍去
答：原正方形的边长．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设原正方形的边长为xm，根据题意可得空地的长和宽分别为（x-2）m、（x-3）m，然后根据矩形空地的面积=长×宽可得关于x的方程，解方程可求解.
21．（2023九上·福州开学考）如图，在 中，，过点作交的延长线于点，连接交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）在 中，取的中点，连接，若，且，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：
四边形是平行四边形，
．
又，
四边形是平行四边形．
又，
．
四边形是矩形；
（2）解：如图，
，
．
是的中点，
．
，
．
又四边形是平行四边形，
．
又四边形是矩形，
．
．
矩形的面积．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，结合已知根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ADEC是平行四边形；结合已知根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形ADEC是矩形；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CM，在直角三角形ABC中，用勾股定理可得BC的值；由平行四边形的性质可得BC=AD，由矩形的性质可得EC=AD，于是根据矩形ADEC的面积=EC×AC可求解.
22．（2023九上·福州开学考） 2017年月在北京市召开的第十二届全国人民代表大会第五次会议上，环境问题再次成为大家讨论的重点内容之一．年月日是世界环境日，为纪念第个世界环境日，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有名学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了名学生的成绩进行统计分析，经分组整理后绘制成频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
分组分 频数 频率
合计
（1）请你根据图表提供的信息，解答下列问题： ， ， ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若成绩在分以上含分为优秀，则该校成绩优秀的约为 人．
【答案】（1）8；12；0.24
（2）解：补全频数分布直方图如下：
（3）216
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：（1）∵第二小组的频率为0.16，共抽取了50名学生，
∴a=50×0.16=8；
b=50-(4-8-10-16)=12；
c=1-(0.08-0.16-0.20-0.32)=0.24；
故答案为：8；12；0.24；
（3） 若成绩在90分以上（含90分）为优秀，则该校成绩优秀的约为：0.24×900=216.
故答案为：216.
【分析】（1）根据统计表中的信息可知第二小组的频率为0.16，由题意可知共抽取了50名学生，于是根据频数=样本容量×频率可求得a的值；根据样本容量等于各小组频数之和可求得b的值；根据各小组的频率之和等于1可求得c的值；
（2）由（1）中的计算可将频数分布直方图补充完整；
（3）用样本估计总体可求解.
23．（2023九上·福州开学考）在矩形中，是边上一点．
（1）求作点，使得，关于直线对称要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
（2）平移线段，使点与点重合，点的对应点为求证点落在线段上．
【答案】（1）解：如图所示；
（2）证明：连接，，
平移线段得到线段，
，，
四边形是平行四边形，
，关于直线对称，
垂直平分，
，
四边形是菱形，
，
，
，，三点共线，
点落在线段上．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法可求解；
（2）连接DG、EF，由题意易得四边形DEFG是平行四边形，由轴对称的性质可得AE垂直平分DF，则DE=EF，由一组邻边相等的平行四边形是菱形可得DEFG是菱形，则EG⊥DF，结合已知可得A、G、E三点共线，则结论可求解.
24．（2023九上·福州开学考）已知正方形，，为平面内两点．
（1）建模探究如图，当点在边上时，，且，，三点共线，求证：；
（2）类比应用如图，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线，求证：．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，三点共线，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由正方形的性质和同角的余角相等可得∠ADE=∠FDC；结合三点共线可得∠A=∠DCF=90°，用角边角可证△ADE≌△CDF，然后由全等三角形的性质可求解；
（2）由正方形的性质和同角的余角相等可得∠ADE=∠FDC，∠AED=∠DFE，结合已知用角角边可证△ADE≌△CDF，然后由全等三角形的性质可得DE=DF，AE=CF，于是可得三角形EDF是等腰直角三角形，由勾股定理可得EF=DE，根据线段EF的构成可求解.
25．（2023九上·福州开学考）在平面直角坐标系中，已知抛物线，，是此抛物线上的两点．
（1）若，
①求抛物线顶点坐标；
②若，求的值；
（2）若存在实数，使得，且成立，则的取值范围是 ．
【答案】（1）解：把代入得，
抛物线顶点坐标为．
点，关于抛物线对称轴对称，且，为的根，
，，
，
解得．
（2）
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（2）解方程x2-2ax+a2-1=m得：
x1=a-，x2=a+，
∴PQ=x2-x1=2，
∴2≥（b+7)-(b-3），
解之可得：m≥24.
故答案为：m≥24.
【分析】（1）①由题意把a=1代入解析式并化为顶点式即可求解；
②根据轴对称的性质和x1x2是方程（x-1）2-1=m的两根可将x1x2用含m的代数式表示出来，代入2x2-x1=7可得关于m的方程，解方程可求解；
（2）用含m的代数式表示PQ，然后解不等式即可求解.
1 / 1福建省福州十一中2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2020八上·福田期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023九下·沭阳月考）如图，在中，点D，E分别为的中点，若，则的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2020九上·兰陵期末）用配方法解一元二次方程 时，此方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·福州开学考）在方差计算公式：中，，分别表示（ ）
A．数据的个数和方差 B．平均数和数据的个数
C．数据的个数和平均数 D．数据的方差和平均数
5．（2023九上·福州开学考）下面哪个点不在函数的图象上（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·福州开学考）某校在“学习二十大精神”演讲比赛活动中，位评委给某位选手的评分各不相同，去掉个最高分和个最低分，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
7．（2017八下·福清期末）如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G，F分别为OC，OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．12
8．（2023九上·福州开学考）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在、之间不包含端点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·福州开学考）小带和小路两个人开车从城出发匀速行驶至城整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开城的距离千米与行驶的时间小时之间的函数关系如图所示，有下列结论：
、两城相距千米；
小路的车比小带的车晚出发小时，却早到小时；
小路的车出发后小时追上小带的车；
当时，小带和小路的车相距千米．
其中正确的结论有（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·福州开学考）已知、是一元二次方程的两个不相等的实数根，、是一元二次方程的两个不相等的实数根，其中若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11．（2023九上·福州开学考）已知是方程的一个根，则 ．
12．（2020八下·漯河期中）如图，已知△ABC中，AB＝5 cm，BC＝12 cm，AC＝13 cm，那么AC边上的中线BD的长为 cm.
13．（2023九上·福州开学考）若函数是正比例函数，则的值为 ．
14．（2023九上·福州开学考）若直线和直线的交点坐标为，则 ．
15．在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占30%，环境卫生成绩占40%，个人卫生成绩占30%．八年级一班这三项成绩分别为85分，90分和95分，求该班卫生检查的总成绩 ．
16．（2023九上·福州开学考）已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17．（2017八下·怀柔期末）解方程： ．
四、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（2023九上·福州开学考）已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根均为整数，且为正整数，求的值．
19．（2023九上·福州开学考）已知一次函数的图象过点与．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）直接写出这个一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标．
20．（2023九上·福州开学考）列方程或方程组解应用题：
如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地空白处，求原正方形空地的边长．
21．（2023九上·福州开学考）如图，在 中，，过点作交的延长线于点，连接交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）在 中，取的中点，连接，若，且，求四边形的面积．
22．（2023九上·福州开学考） 2017年月在北京市召开的第十二届全国人民代表大会第五次会议上，环境问题再次成为大家讨论的重点内容之一．年月日是世界环境日，为纪念第个世界环境日，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有名学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了名学生的成绩进行统计分析，经分组整理后绘制成频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
分组分 频数 频率
合计
（1）请你根据图表提供的信息，解答下列问题： ， ， ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若成绩在分以上含分为优秀，则该校成绩优秀的约为 人．
23．（2023九上·福州开学考）在矩形中，是边上一点．
（1）求作点，使得，关于直线对称要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
（2）平移线段，使点与点重合，点的对应点为求证点落在线段上．
24．（2023九上·福州开学考）已知正方形，，为平面内两点．
（1）建模探究如图，当点在边上时，，且，，三点共线，求证：；
（2）类比应用如图，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线，求证：．
25．（2023九上·福州开学考）在平面直角坐标系中，已知抛物线，，是此抛物线上的两点．
（1）若，
①求抛物线顶点坐标；
②若，求的值；
（2）若存在实数，使得，且成立，则的取值范围是 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、的被开方数是小数，不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、的被开方数是分数，不是最简二次根式，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开得尽方的数或式，逐项进行判断，即可得出答案 .
2．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别为边的中点，
∴，
故答案为：D.
【分析】由题意可得：DE为△ABC的中位线，则BC=2DE，据此计算.
3．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
故答案为：D.
【分析】根据配方法构造一元二次方程关系式即可
4．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：在S2=中，
10表示数据的个数，15表示平均数.
故答案为：数据的个数和平均数.
【分析】根据方差定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差即可求解.
5．【答案】C
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：A、把（-5，13）代入解析式得：左边=13，右边=-2×（-5）+3=13=左边，不符合题意；
B、把（0.5，2）代入解析式得：左边=2，右边=-2×0.5+3=2=左边，不符合题意；
C、把（3，0）代入解析式得：左边=0，右边=-2×3+3=-3≠左边，符合题意；
D把（-5，13）代入解析式得：左边=1，右边=-2×1+3=1=左边，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由题意分别把各选项的点的坐标代入解析式计算，若左右两边的值不相等，则符合题意.
6．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：由题意，从7个原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，可得5个有效评分，5个有效评分和7个有效评分中，中间的数据不会发生变化，根据中位数定义可知：中位数一定不发生变化.
故答案为：B.
【分析】中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；根据中位数定义并结合题意可判断求解.
7．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵BD，CE是△ABC的中线，
∴ED∥BC且ED= BC，
∵F是BO的中点，G是CO的中点，
∴FG∥BC且FG= BC，
∴ED=FG= BC=2，
同理GD=EF= AO=1.5，
∴四边形DEFG的周长为1.5+1.5+2+2=7．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线定理，求出ED=FG、GD=EF的长，求出四边形DEFG的周长.
8．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点为（1，k），
∴y=a(x-1)2+k，
∵抛物线与x轴相交于点A（-1，0），
∴0=a(-1-1)2+k，则a=，
∴y=(x-1)2+k=x2+x+k，
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间，
∴2＜k＜3，解得：＜k＜4.
故答案为：C .
【分析】由题意可设抛物线的顶点式为：y=a(x-1)2+k，把点A的坐标代入解析式可将a用含k的代数式表示出来，然后根据抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间可得关于k的不等式组，解之可求解.
9．【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：①由图知：A、B两城相距300千米；符合题意；
②由图知： 小带行驶的时间为5小时，而小路是在甲出发1小时后出发的，且用了3小时，即早到1小时；符合题意；
③由图可设：小带离开A城的距离y与时间t的关系为：y小带=kt，把点（5，300）代入解析式得：300=5k，解得k=60，则y小带=60t；
小路离开A城的距离y与时间t的关系为：y小路=mt+n，把点（1，0）和（4，300）代入解析式得关于m、n的方程组：，解得：，则y小路=100t-100；将两个函数解析式联立解方程组可得：t=2.5，则小路出发的时间为：2.5-1=1.5，即小路出发1.5小时后追上小带的车；不符合题意；
④∵小带和小路的车相距50千米，
∴，即，解得：t=或t=，符合题意.
故答案为：B.
【分析】①由图中的信息可求解；
②由图中的信息可求解；
③由图可设：小带离开A城的距离y与时间t的关系为：y小带=kt，小路离开A城的距离y与时间t的关系为：y小路=mt+n，用待定系数法求得两直线解析式，再把两个解析式联立解方程组即可求解；
④由题意可得关于t的方程，解方程即可判断求解.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：如图：
由题意可知：函数y=x2+3x-n和y=x2-3x-n在y轴上的交点为（0，-n）.
∵，
∴OB =OC =AB =CD ，
∵两条抛物线的对称轴分别为：x=、x=，
∴OB =OC =AB =CD==3，
∴x2=3，则C（3，0），
把点C代入解析式y=x2+3x-n可得n=18.
故答案为：D.
【分析】将两个方程转化为两个二次函数，由二次函数的图象特点求出相关点C的坐标，然后将点C的坐标代入解析式y=x2+3x-n计算即可求解.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是方程x2-2x-2=0的一个根，
∴m2-2m-2=0，则m2-2m=2.
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程的根的定义可将m代入原方程，移项即可求解.
12．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】 解： 52+122=132
∴△ABC是直角三角形，
∴AC边上的中线BD的长为 cm.
故答案为： .
【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠B=90°，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案.
13．【答案】1
【知识点】正比例函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数y=kx+k-1是正比例函数，
∴k-1=0，解得：k=1.
故答案为：1.
【分析】根据正比例函数的一般形式“y=kx(k≠0，k为常数）”可得关于k的方程，解方程可求解.
14．【答案】6
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵直线y=-x+a和直线y=x+b的交点坐标为（m，3），
∴3=-m+a①，3=m+b②，
由①+②得：6=a+b.
故答案为：6.
【分析】由题意把点（m，3）代入两条直线的解析式，然后将两个方程相加即可求解.
15．【答案】90分
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：该班卫生检查的总成绩=85×30%+90×40%+95×30%=90（分）．
故答案为90分．
【分析】根据加权平均数的计算公式求解即可．
16．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线的开口向下，
∵抛物线的对称轴为：直线x=，
且y1＜y2，
若点A在对称轴x=1的左侧，点B在对称轴x=1的右侧，
则可得不等式组：，
解得：，不等式组无解；
若点A在对称轴x=1的右侧，点B在对称轴x=1的左侧，
则可得不等式组：，
解得：0＜n＜2，
∴n的取值范围是：0＜n＜2.
故答案为：0＜n＜2.
【分析】根据二次函数的a的值可判断抛物线的开口向下，由抛物线的对称轴x=可求得抛物线的对称轴，根据已知条件y1＜y2，分两种情况讨论：
若点A在对称轴x=1的左侧，点B在对称轴x=1的右侧，若点A在对称轴x=1的右侧，点B在对称轴x=1的左侧，可分别得关于n的不等式组，解之可求解.
17．【答案】解： ． =12． ∴方程的解为 ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式，写出a，b，c的值并计算了判别式的值，如果判别式不小于零即利用公式法解一元二次方程.
18．【答案】（1）解：，
，
．
，
原方程总有两个实数根．
（2）解：，
，
解方程得，，
方程有两个整数根，
，
为正整数，
．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由题意将a=k，b=(2k+1)，c=2，代入一元二次方程的根的判别式并整理，然后根据平方的非负性并结合k≠0可知b2-4ac＞0，由一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可判断求解；
（2）由因式分解法可求得一元二次方程的两根，根据两个根均为整数且k为正整数即可求解.
19．【答案】（1）解：设一次函数为，
一次函数的图象过点与，
，
解得，
所求的解析式为．
（2）解：令，则，
令，则，解得，
这个一次函数的图象与两坐标轴的交点为，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）由题意设一次函数为y=kx+b，然后用待定系数法可求解；
（2）根据直线与x轴相交可得y=0，把y=0代入（1）中的解析式计算可求得直线与x轴的交点坐标；根据直线与y轴相交可得x=0，把x=0代入（1）中的解析式计算可求得直线与y轴的交点坐标.
20．【答案】解：设原正方形的边长为，根据题意，得
，
解得：，．
经检验，不符合题意，舍去
答：原正方形的边长．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设原正方形的边长为xm，根据题意可得空地的长和宽分别为（x-2）m、（x-3）m，然后根据矩形空地的面积=长×宽可得关于x的方程，解方程可求解.
21．【答案】（1）证明：
四边形是平行四边形，
．
又，
四边形是平行四边形．
又，
．
四边形是矩形；
（2）解：如图，
，
．
是的中点，
．
，
．
又四边形是平行四边形，
．
又四边形是矩形，
．
．
矩形的面积．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，结合已知根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ADEC是平行四边形；结合已知根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形ADEC是矩形；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CM，在直角三角形ABC中，用勾股定理可得BC的值；由平行四边形的性质可得BC=AD，由矩形的性质可得EC=AD，于是根据矩形ADEC的面积=EC×AC可求解.
22．【答案】（1）8；12；0.24
（2）解：补全频数分布直方图如下：
（3）216
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：（1）∵第二小组的频率为0.16，共抽取了50名学生，
∴a=50×0.16=8；
b=50-(4-8-10-16)=12；
c=1-(0.08-0.16-0.20-0.32)=0.24；
故答案为：8；12；0.24；
（3） 若成绩在90分以上（含90分）为优秀，则该校成绩优秀的约为：0.24×900=216.
故答案为：216.
【分析】（1）根据统计表中的信息可知第二小组的频率为0.16，由题意可知共抽取了50名学生，于是根据频数=样本容量×频率可求得a的值；根据样本容量等于各小组频数之和可求得b的值；根据各小组的频率之和等于1可求得c的值；
（2）由（1）中的计算可将频数分布直方图补充完整；
（3）用样本估计总体可求解.
23．【答案】（1）解：如图所示；
（2）证明：连接，，
平移线段得到线段，
，，
四边形是平行四边形，
，关于直线对称，
垂直平分，
，
四边形是菱形，
，
，
，，三点共线，
点落在线段上．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法可求解；
（2）连接DG、EF，由题意易得四边形DEFG是平行四边形，由轴对称的性质可得AE垂直平分DF，则DE=EF，由一组邻边相等的平行四边形是菱形可得DEFG是菱形，则EG⊥DF，结合已知可得A、G、E三点共线，则结论可求解.
24．【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，三点共线，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由正方形的性质和同角的余角相等可得∠ADE=∠FDC；结合三点共线可得∠A=∠DCF=90°，用角边角可证△ADE≌△CDF，然后由全等三角形的性质可求解；
（2）由正方形的性质和同角的余角相等可得∠ADE=∠FDC，∠AED=∠DFE，结合已知用角角边可证△ADE≌△CDF，然后由全等三角形的性质可得DE=DF，AE=CF，于是可得三角形EDF是等腰直角三角形，由勾股定理可得EF=DE，根据线段EF的构成可求解.
25．【答案】（1）解：把代入得，
抛物线顶点坐标为．
点，关于抛物线对称轴对称，且，为的根，
，，
，
解得．
（2）
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（2）解方程x2-2ax+a2-1=m得：
x1=a-，x2=a+，
∴PQ=x2-x1=2，
∴2≥（b+7)-(b-3），
解之可得：m≥24.
故答案为：m≥24.
【分析】（1）①由题意把a=1代入解析式并化为顶点式即可求解；
②根据轴对称的性质和x1x2是方程（x-1）2-1=m的两根可将x1x2用含m的代数式表示出来，代入2x2-x1=7可得关于m的方程，解方程可求解；
（2）用含m的代数式表示PQ，然后解不等式即可求解.
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