2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册2.2直线与圆的位置关系小练习（2）（含答案）

2.2.2直线与圆的位置关系小练习（2）
一、单项选择题
1. 直线l：ax＋y－2＝0与圆M：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的位置关系为(　　)
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定
2. 直线x＋y－3＝0截圆x2＋y2＝r2所得劣弧所对的圆心角为，则r的值为(　　)
A. B. C. D.
3. 已知直线l：2mx＋y－m－1＝0与圆C：x2＋(y－2)2＝4交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为(　　)
A. 2x－4y＋3＝0 B. x－4y＋3＝0 C. 2x＋4y＋3＝0 D. 2x＋4y＋1＝0
4. 已知点P(x，y)是圆C：(x－a)2＋y2＝3(a>0)上的一动点，若圆C经过点A(1，)，则y－x的最大值与最小值之和为(　　)
A. 4 B. 2 C. －4 D. －2
二、多项选择题
5. 已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 圆M的圆心为(4，－3) B. 圆M被x轴截得的弦长为8
C. 圆M的半径为25 D. 圆M被y轴截得的弦长为6
6. 过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法中正确的是(　　)
A. PA＝
B. 四边形PAOB的外接圆方程为x2＋y2＝2x＋y
C. 直线AB方程为y＝2x＋1
D. 三角形PAB的面积为
三、填空题
7. 若实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则的取值范围是________．
8. 已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0相交于A，B两点(C为圆心)，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为________．
四、解答题
9. 已知点和圆C：(x－1)2＋y2＝4，过点P作直线l交圆C于A，B两点.
(1) 当P为AB的中点时，求直线l的方程；
(2) 当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．
10. 已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1交于M，N两点．
(1) 求实数k的取值范围；
(2) 若△CMN的面积为，求直线l的方程．
参考答案
一、单项选择题
1. 直线l：ax＋y－2＝0与圆M：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的位置关系为(　　)
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定
【解析】由圆M：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，得圆心M(1，2)，半径r＝1，所以圆心M到直线l的距离为d＝＝<1，则直线l与圆M相交．故选C.
2. 直线x＋y－3＝0截圆x2＋y2＝r2所得劣弧所对的圆心角为，则r的值为(　　)
A. B. C. D.
【解析】因为直线x＋y－3＝0截圆x2＋y2＝r2所得劣弧所对的圆心角为，令劣弧的两个端点为A，B，圆心为O，则△OAB为正三角形，圆心O到直线AB：x＋y－3＝0的距离为正三角形OAB的高r，所以r＝，解得r＝，所以r的值为. 故选C.
3. 已知直线l：2mx＋y－m－1＝0与圆C：x2＋(y－2)2＝4交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为(　　)
A. 2x－4y＋3＝0 B. x－4y＋3＝0 C. 2x＋4y＋3＝0 D. 2x＋4y＋1＝0
【解析】由题意，得m(2x－1)＋(y－1)＝0，令解得所以直线l过定点.当CP⊥l时，弦AB最短．由题意，得＝＝－2，所以＝，所以－2m＝，解得
m＝－，所以直线l的方程为2x－4y＋3＝0. 故选A.
4. 已知点P(x，y)是圆C：(x－a)2＋y2＝3(a>0)上的一动点，若圆C经过点A(1，)，则y－x的最大值与最小值之和为(　　)
A. 4 B. 2 C. －4 D. －2
【解析】因为圆C：(x－a)2＋y2＝3(a>0)经过点A(1，)，所以(1－a)2＋2＝3.又a>0，所以
a＝2.y－x可看成是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得
b＝－2±，所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－，
故y－x的最大值与最小值之和为－4. 故选C.
二、多项选择题
5. 已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 圆M的圆心为(4，－3) B. 圆M被x轴截得的弦长为8
C. 圆M的半径为25 D. 圆M被y轴截得的弦长为6
【解析】由圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，得圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，所以圆M的圆心坐标(4，－3)，半径为5，故A正确，C错误；对于B，令(x－4)2＋(y＋3)2＝25中的y＝0，得(x－4)2＝16，所以x－4＝±4，所以x＝0或x＝8，所以圆M被x轴截得的弦长为8，故B正确；对于D，令(x－4)2＋(y＋3)2＝25中的x＝0，得(y＋3)2＝9，所以
y＋3＝±3，所以y＝0或y＝－6，所以圆M被y轴截得的弦长为6，故D正确．故选ABD.
6. 过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法中正确的是(　　)
A. PA＝
B. 四边形PAOB的外接圆方程为x2＋y2＝2x＋y
C. 直线AB方程为y＝2x＋1
D. 三角形PAB的面积为
【解析】对于A，PO＝＝，由勾股定理，得PA＝＝2，故A错误；对于B，由题意知，PB⊥OB，则PO为所求圆的直径．因为线段PO的中点为，半径为，故所求圆的方程为＋＝，即x2＋y2＝2x＋y，故B正确；对于C，由题意，其中一个切点的坐标为(0，1)，不妨设为点B，则AB⊥OP，而＝，则＝－2，所以直线AB的方程为y＝－2x＋1，故C错误；对于D，易知PO⊥AB.因为：y＝x，：y＝－2x＋1，联立解得两条直线的交点，则BD＝＝，PD＝＝，所以三角形PBD的面积为××＝，则三角形PAB的面积为，故D正确．故选BD.
三、填空题
7. 若实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则的取值范围是________．
【解析】由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1，所以(x，y)表示以
(0，2)为圆心，半径为1的圆上的点，表示(x，y)与(0，0)的斜率．如图所示，设直线y＝kx，则(0，2)到直线kx－y＝0的距离d＝＝1，解得k＝±，所以的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．
故答案为：(－∞，－]∪[，＋∞)
8. 已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0相交于A，B两点(C为圆心)，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为________．
【解析】因为△ABC为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离等于半径的.由题意，得圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1，圆心为(a，1)，半径为 (a2>1)，故＝×，解得a＝±. 故答案为：±
四、解答题
9. 已知点和圆C：(x－1)2＋y2＝4，过点P作直线l交圆C于A，B两点.
(1) 当P为AB的中点时，求直线l的方程；
(2) 当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．
【解析】(1) 由题意，得C(1，0)，所以＝＝－2，
所以直线l的方程为y＝＋1，即y＝x＋.
(2) 由题意，得＝1，所以直线l的方程为y＝x＋，所以圆心C到直线l的距离
d＝＝.因为圆的半径为2，所以AB＝2×＝.
10. 已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1交于M，N两点．
(1) 求实数k的取值范围；
(2) 若△CMN的面积为，求直线l的方程．
【解析】(1) 因为直线l与圆C交于两点，所以圆心到直线的距离d＝<1，
解得－(2) 由(1)得d＝，所以MN＝2＝2＝2，
所以＝×2×＝＝，解得k＝±，
所以直线l的方程为x－7y＋＋14＝0或x＋7y＋－14＝0.