中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 等式与不等式章末测试卷
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（2022秋·山东枣庄·高一校考阶段练习）如果，那么下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·陕西商洛·高一校考阶段练习）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·福建莆田·高一莆田一中校考开学考试）不等式：成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用和符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若，则
D．若且，则
5．（2023秋·河北承德·高一承德市第二中学校考开学考试）关于的不等式的解集为空集，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全国·高一专题练习）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023秋·江苏扬州·高一扬州中学校考开学考试）下列命题中正确的是（ ）
A．的最小值是2
B．当时，的最小值是3
C．当时，的最大值是5
D．若正数满足，则的最小值为3
10．（2022秋·山东·高一校联考阶段练习）已知，，且，下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是2
C．的最小值是 D．的最小值是
11．（2022秋·福建泉州·高一统考期中）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（ ）
A．0 B． C．1 D．
12．（2023·全国·高一课堂例题）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（ ）
A．由题图（1）和题图（2）面积相等得
B．由可得
C．由可得
D．由可得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2023秋·高一课时练习）某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似表示为，为使每吨的平均处理成本最低，则该厂每月的处理量应为 吨．
14．（2023·全国·高一课堂例题）设，，不等式恒成立，则a的最小值为 ．
15．（2022秋·天津武清·高一校考阶段练习）已知，则的最小值是 .
16．（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）关于的不等式的解集是，则不等式的解集是 ．
四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023秋·山东临沂·高一校考开学考试）求下列代数式的最值
(1)已知，求的最小值；
(2)已知，且满足，求的最小值；
18．（2023春·四川眉山·高一校考开学考试）已知关于的不等式的解集为或
(1)求，的值；
(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
19．（2022秋·福建泉州·高一校考阶段练习）已知全集，非空集合，．
(1)当时，求；
(2)命题，命题，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
20．（2023秋·高一课时练习）某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东的方向，与A市相距400 km，该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？
21．（2022秋·辽宁营口·高一校考阶段练习）（1）已知，求与的取值范围；
（2）已知，试求的取值范围
22．（2022秋·北京·高一北理工附中校考期中）已知________．
(1)解不等式；
(2)若的解集为R，求实数b的取值范围．
从下面条件①、条件②中任选一个，补充在上面的横线上作为已知，并作答．
①的最小值是a；
②不等式的解集是．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 等式与不等式章末测试卷
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（2022秋·山东枣庄·高一校考阶段练习）如果，那么下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据特殊值排除选项A、B、C；根据不等式的基本性质判断选项D.
【详解】当时，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，所以，即，则，故D正确.
故选：D.
2．（2022秋·陕西商洛·高一校考阶段练习）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求的根，结合一元二次不等式求解方法可得答案.
【详解】因为时，或，所以的解为；
故选：D.
3．（2023秋·福建莆田·高三莆田一中校考开学考试）不等式：成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出不等式的解集，再借助集合的包含关系及必要不充分条件的定义判断作答.
【详解】解不等式，得，
对于A，真包含于，A是；
对于B，，B不是；
对于C，真包含于，C不是；
对于D，与互不包含，D不是.
故选：A
4．（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用和符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若，则
D．若且，则
【答案】B
【分析】利用不等式性质，结合特殊值法，即可判断选项的正误.
【详解】A中，有，错误；
B中，时，，
因为，所以，，所以，所以，故B正确；
C中，时，，，则，故C错误；
D中，由题设，当时，，错误；
故选：B.
5．（2023秋·河北承德·高一承德市第二中学校考开学考试）关于的不等式的解集为空集，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围.
【详解】当时，不等式化为，解集为空集，符合题意.
当时，不等式的解集不是空集，不符合题意.
当时，要使不等式的解集为空集，
则需，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：C
6．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分式不等式化为整式不等式求解即可.
【详解】原不等式可化为，即，解得．
故选：C．
7．（2023·全国·高一专题练习）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用三个二次关系计算参数的关系，再解一元二次不等式即可.
【详解】由条件可知，的两个实数根是和，且，
则，得，，
所以，即，
解得：，
所以不等式的解集为.
故选：A
8．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】用含的代数式表示，结合已知利用不等式的性质即可求得答案.
【详解】设，
所以，解得，
所以，
又，
所以，故A，C，D错误，
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023秋·江苏扬州·高一扬州中学校考开学考试）下列命题中正确的是（ ）
A．的最小值是2
B．当时，的最小值是3
C．当时，的最大值是5
D．若正数满足，则的最小值为3
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，①，
但是无解，所以①等号不成立，所以A选项错误.
B选项，当时，，
，
当且仅当时等号成立，所以B选项正确.
C选项，当时，，
所以，
当且仅当时等号成立，所以C选项正确.
D选项，是正数，
，
当且仅当时等号成立，所以D选项正确.
故选：BCD
10．（2022秋·山东·高一校联考阶段练习）已知，，且，下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是2
C．的最小值是 D．的最小值是
【答案】CD
【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】由，且，
对于A中，由，当且仅当时，等号成立，
所以，解得，即的最大值为，所以A错误；
对于B中，由，
当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以B错误；
对于C中，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是，所以C正确；
对于D中，由，
当且仅当时，等号成立，的最小值是，所以D正确.
故选：CD.
11．（2022秋·福建泉州·高一统考期中）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】BC
【分析】原不等式可化为，根据一次函数和二次函数的图象可知和为原不等式的两个整数解，由此列不等式组求的范围即可.
【详解】可化为，
因为关于的不等式的解集中恰有两个整数，
由一次函数和二次函数的图象可知和为不等式的解集中的两个整数，
所以解得，
故选：BC
12．（2023·全国·高一课堂例题）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（ ）
A．由题图（1）和题图（2）面积相等得
B．由可得
C．由可得
D．由可得
【答案】BCD
【分析】根据题图（1），（2）面积相等，可求得d的表达式，从而判断A选项的正误，由题意可求得题图（3）中AD，AE，AF的表达式，逐一分析B，C，D选项，即可得答案．
【详解】对于A，由题图（1），（2）面积相等得，所以，故A错误．
对于B，因为，所以，所以，
设题图（3）中内接正方形的边长为t，根据三角形相似可得，解得，所以．
因为，所以，整理可得，故B正确．
对于C，因为D为斜边BC的中点，所以，
因为，所以，整理得，故C正确．
对于D，因为，所以，整理得，故D正确．
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2023秋·高一课时练习）某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似表示为，为使每吨的平均处理成本最低，则该厂每月的处理量应为 吨．
【答案】400
【分析】根据条件得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】设每吨的平均处理成本为元，
由题意可得，其中.
由基本不等式可得：，
当且仅当，即时，每吨的平均处理成本最低．
故答案为：400.
14．（2023·全国·高一课堂例题）设，，不等式恒成立，则a的最小值为 ．
【答案】/
【分析】由易得，要使此式恒成立，必须使a大于或等于的最大值，在求的最大值时，可以将其平方，利用基本不等式求解即可．
【详解】显然，由题意知，不等式恒成立，
则a必须大于或等于的最大值，
而，
当且仅当时，取等号，
故的最大值为，
故，即a的最小值是．
故答案为：.
15．（2022秋·天津武清·高一校考阶段练习）已知，则的最小值是 .
【答案】5
【分析】由配凑法结合基本不等式求解即可.
【详解】，
当且仅当，即舍去）时取等号，的最小值为，
故答案为：.
16．（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）关于的不等式的解集是，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】结合一元二次方程与一元二次不等式的关系可得的关系及范围，然后结合一元二次不等式的求法即可求解.
【详解】不等式的解集是，
和2是方程的两个根，且，
由韦达定理可得，，解得，
不等式可化为，
又，不等式化为，解得，
即不等式的解集为．
故答案为：．
四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023秋·山东临沂·高一校考开学考试）求下列代数式的最值
(1)已知，求的最小值；
(2)已知，且满足，求的最小值；
【答案】(1)5
(2)18
【分析】（1），然后使用基本不等式求解；
（2），展开后得到，即可使用基本不等式求解.
【详解】（1）因为,则,
所以 ,
当且仅当时,即时取等号,
所以的最小值为5.
（2）因为,
所以 ,
当且仅当即时,等号成立,
所以当 时,.
18．（2023春·四川眉山·高一校考开学考试）已知关于的不等式的解集为或
(1)求，的值；
(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据不等式的解集可确定1和是方程的两个实数根且，结合韦达定理即可求得答案；
（2）利用基本不等式可求得的最小值，根据恒成立可得，即可求得答案.
【详解】（1）因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根且，
所以，解得，即．
（2）由（1）知，于是有，
故，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
依题意有，即，
得，即，
所以的取值范围为．
19．（2022秋·福建泉州·高一校考阶段练习）已知全集，非空集合，．
(1)当时，求；
(2)命题，命题，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1），当时，， 再运用交、补集的运算，计算求解即可；
（2）由已知可得，故，计算求解即可得到结论．
【详解】（1）不等式的解集为
所以，
当时，，化简得，
全集，
或，
∴；
（2）由q是p的必要条件，可得，
所以，
因为
所以，
所以不等式的解集为，
所以，
，解得或，
所以 实数a的取值范围是.
20．（2023秋·高一课时练习）某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东的方向，与A市相距400 km，该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？
【答案】在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5 h.
【分析】根据给定条件，建立坐标系，求出热带风暴中心B随时间变化的坐标，再列出一元二次不等式求解作答.
【详解】如图，以A市为原点，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，
显然，热带风暴中心B的坐标为，
则x h后热带风暴中心B到达点处，
依题意，当A市受热带风暴影响时，有，即，
整理得，解得，，
所以在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5 h.
21．（2022秋·辽宁营口·高一校考阶段练习）（1）已知，求与的取值范围；
（2）已知，试求的取值范围
【答案】（1），；（2）
【分析】根据不等式的性质，即可求得答案.
【详解】（1）由于，，
，即；
又，
，
的取值范围是，的取值范围是；
(2)，
，
，
又，
，故.
22．（2022秋·北京·高一北理工附中校考期中）已知________．
(1)解不等式；
(2)若的解集为R，求实数b的取值范围．
从下面条件①、条件②中任选一个，补充在上面的横线上作为已知，并作答．
①的最小值是a；
②不等式的解集是．
【答案】(1)
(2)
【分析】选①，利用基本不等式求得，选②，利用不等式的解集及韦达定理求得；
（1）利用一元二次不等式求解即可；
（2）由不等式的解集为R，可知，求解即可.
【详解】（1）选①，，，
当且仅当，即时，等号成立，即.
选②，由题意知和1是方程的两个根，
，解得.
不等式，即，解得或
故不等式的解集为
（2）不等式，即，
不等式的解集为R，所以，解得，
故实数b的取值范围为
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
