第十一章 三角形单元测试卷（含解析）
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2023-2024学年八年级数学上册《第11章 三角形》单元测试卷（人教版）
一、选择题（每小题4分，满分40分）
1．数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度可取（ ）
A． B． C． D．
2．如图，BD是△ABC的中线，点E为BD上一点，BE＝2ED，连接AE并延长，交BC于点F，若△ABC的面积是24cm2，则△AED的面积是（ ）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．6cm2
3．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的数学原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．三角形的两边之和大于第三边
4．如图，将沿、、翻折，三个顶点均落在点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，（ ）
A．480 B．500° C．540° D．600°
6．如图：①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则（ ）度．
A．84 B．111 C．225 D．201
7．多边形的每一个外角都是，则此多边形从一个顶点出发的对角线有（ ）条.
A．7条 B．8条 C．9条 D．10条
8．下列说法中，正确的个数有（ ）
①若一个多边形的外角和等于360°，则这个多边形的边数为4；
②三角形的高相交于三角形的内部；
③三角形的一个外角大于任意一个内角；
④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加 ；
⑤对角线共有5条的多边形是五边形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．一块多边形木板截去一个三角形后截线不经过顶点，得到的新多边形的内角和为，则原多边形的边数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，则∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题5分，满分20分）
11．如图，将一副三角板的两个直角重合，使点在上，点在上，已知，，则的度数是 ．
12．根据如图所表示的已知角的度数，求出其中的度数为 ．
13．如图，△ABC中，E为BC边上一点，，点D为AC的中点，连接DE、AE，取DE的中点F，连接AF，若四边形ABEF的面积是6，则△ABC的面积是 ．
14．探究与发现：如图，在中，，点D在边上，点E在边上，且，连接．
（1）当时，求 ．
（2）当点D在(点除外)边上运动时，试猜想与的数量关系为 ．
三、解答题（满分90分）
15．（8分）已知从m边形的一个顶点出发可以画4条对角线；从n边形的一个顶点出发的所有对角线把n边形分成6个三角形．求的值．
16．（8分）已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简：．
17．（8分）如图，在中，是的角平分线，是边上的高，相交于点O，如果，求的度数.
18．（8分）如图，中，BE为AC边上的高，CD平分，CD、BE相交于点F．若，，求的度数．
19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB．点E为△ABC外一点，CE＝CA，且CD平分∠ACB交AE于点D，且∠CDE＝60°，求∠DCE的度数．
20．（10分）如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，于H，试比较∠CIH和∠BID的大小．
21．（12分）如图，四边形ABCD中，AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，且于点O．延长DF交AB的延长线于点M．
（1）求证：；
（2）若，，求∠C，∠DFE的度数．
22．（12分）如图，已知直线，且和，分别交于，两点，和，分别交于，两点，点在线段上，，，．
（1）若，，则 ．
（2）试找出，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）应用(2)中的结论解答下面的问题：
如图，点在的北偏东的方向上，在的北偏西的方向上，求的度数．
（4）如果点在直线上且在线段外侧运动点和，两点不重合，其他条件不变，试探究，，之间的关系．
23．（14分）（1）已知：如图1，P为△ADC内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平公∠ADC和∠ACD，如果∠A=60°，那么∠P的度数；如果∠A=90°，那么∠P的度数；如果∠A=x°，则∠P的度数；（答案直接填在题中横线上）
（2）如图2，P为四边形ABCD内一点，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并写出你的探索过程；
（3）如图3，P为五边形ABCDE内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平公∠ADC和∠ACD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E的数量关系
（4）如图4，P为六边形ABCDEF内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平公∠ADC和∠ACD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系
（5）若P为n边形A1A2A3…An内一点，PA1平分∠AnA1A2，PA2平分∠A1A2A3，请直接写出∠P与∠A3+A4+A5+…∠An的数量关系：
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，设第三边的长度为x，
∴第三边的长度取值范围为：.
∴长度的取值可能为4，5，6，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和，即可求出第三边的取值范围，从而求出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵BD是△ABC的中线，△ABC的面积是24cm2，
∴S△ABD=S△BCD=12，
∵BE=2ED，
∴S△AED=2S△AED，
∵S△AED+S△AED=S△ABD，
∴△AED的面积是4，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形可得S△ABD=S△BCD=12，结合题意可得S△AED=2S△AED，即可求解.
3．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性，
故答案为：A．
【分析】利用三角形的稳定性求解即可。
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，
∴∠A=∠DOE，∠B=∠HOG，∠EOF=∠C，
∴∠DOE+∠HOG+∠EOF=∠A+∠B+∠C=180°，
∵∠DOE+∠HOG+∠EOF+∠1+∠2=360°，
∴∠2=360°-（∠DOE+∠HOG+∠EOF+∠1）=360°-(180°+131°)=49°.
故答案为：A.
【分析】由翻折可得∠A=∠DOE，∠B=∠HOG，∠EOF=∠C，从而根据三角形内角和定理可得∠DOE+∠HOG+∠EOF=180°，进而根据周角定义可算出∠2的度数.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解。如图，连接AD，EF，AF、DE交于O。
∵∠AOD=∠EOF，
∴∠OAD+∠ODA=∠OEF+∠OFE，
在四边形ABCD中，∠BAD+∠B+∠C+∠ADC=360°，
∴∠OAD+∠2+∠3+∠5+∠1+∠ODA=360°，
∴∠2+∠3+∠5+∠1+∠OEF+∠OFE=360°，
在△EFG中，∠FEG+∠EFG+∠G=180°，
∴∠2+∠3+∠5+∠1+∠OEF+∠OFE+∠FEG+∠EFG+∠G=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠5+∠OEF+∠FEG+∠OFE+∠EFG+∠7=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠5+∠4+∠6+∠7=540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°.
故答案为：C。
【分析】连接AD，EF，可以把这7个角，分别归纳在四边形ABCD和△EFG中，从而可求得它们的和为360°+180°=540°。
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】
解：①
②
③∠O3=180°-（∠2+∠3）；
∴∠O1+∠O2+∠O3=180°+21°=201°。
故答案为：D。
【分析】根据三角形内角和定理及三角形外角和内角的关系得：从而得出∠O1+∠O2+∠O3=201°。
7．【答案】C
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的每一个外角都是30°，
∵多边形的外角和为360°，
∴此多边形的边数为：，
∴从一个顶点出发的对角线共有（条）.
故答案为：C.
【分析】由于任何多边形的外角和都是360°，故用360°除以每一个外角的度数即可得出多边形的边数，进而根据过n边形一个顶点可引（n-3）条对角线即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：①任意多边形的外角和等于360°，故原说法错误，不符合题意；
②只有锐角三角形的高相交于三角形的内部，故原说法错误，不符合题意；
③根据三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得三角形的一个外角大于任意一个于它不相邻的内角，故原说法错误，不符合题意；
④根据多边形内角和公式： ，得一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°，故原说法正确，符合题意；
⑤n边形的对角线条数为： ，当n=5时， ，故原说法正确，符合题意；
综上，正确个数有2个.
故答案为：B.
【分析】任意多边形的外角和等于360°，据此判断①；只有锐角三角形的高相交于三角形的内部，据此判断②；根据外角的性质可判断③；根据多边形的内角和公式可判断④；n边形的对角线条数为： ，然后令n=5，求出对应的值，据此判断⑤.
9．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设原多边形为n边形，
又由题知截线不经过顶点，
∴原n边形被截后所得的新多边形的边数为（n+1），
则（n+1-2）·180°=2340°，
解得n=14；
故答案为：B.
【分析】可设原多边形为n边形，又由题知截线不经过顶点，所以原n边形被截后所得的新多边形的边数为（n+1），再根据多边形内角和公式(n-2)·180°列方程解出n即可即.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在△AOD中：∠D=180°-∠DAO-∠AOD，
在△BOC中：∠B=180°-∠BCO-∠BOC，
∴∠B+∠D=180°-∠DAO-∠AOD+180°-∠BCO-∠BOC=360°-∠DAO-∠BCO-∠AOD-∠BOC，
∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，
∴∠DAO=2∠PAO，∠BCO=2∠PCO，
又∠AOD=∠BOC，
∴∠B+∠D=360°-2∠PAO-2∠PCO-2∠AOD=2（180°-∠PAO-∠PCO-∠AOD），
AP、CD的交点标为点E，
在△CPE中，
∠P=180°-∠PCO-∠CEP，
∵∠CEP=∠AOD+∠PAO，
∴∠P=180°-∠PCO-∠PAO-∠AOD，
∴∠P=（∠B+∠D）。
故答案为：B。
【分析】首先根据三角形内角和定理分别得出∠B=180°-∠BCO-∠BOC，∠D=180°-∠DAO-∠AOD，再根据角平分线的定义和对顶角的性质得出∠B+∠D=2（180°-∠PAO-∠PCO-∠AOD），然后在△CPE中，得出∠P=180°-∠PCO-∠CEP，再根据三角形外角的性质，得出∠P=180°-∠PCO-∠PAO-∠AOD，从而得出结论∠P=（∠B+∠D）。
11．【答案】165°
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A=45°，∠C=90°，
∴∠ABC=45°，
∵△DEC中，∠E=30°，∠C=90°，
∴∠EDC=60°，
∴∠BFD=360°-∠ABC-∠C-∠EDC=360°-45°-60°-90°=165°.
故答案为：165°.
【分析】先根据三角形的内角和定理算出∠ABC与∠EDC的度数，进而根据四边形的内角和定理算出∠BFD的度数.
12．【答案】50°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：图中角的外角为，
，
故答案为：50°．
【分析】利用多边形外角和求解即可。
13．【答案】12
【知识点】三角形的面积；线段的中点
【解析】【解答】解：∵CE=2BE，
∴S△ACE=2S△ABE，
∵点D是AC的中点，
∴S△ACE=2S△DCE，
∴S△ABE=S△DCE，
∵点F是DE的中点，
∴S△AEF=S△ADF，
∴S△ABE+S△AEF=S△DCE+S△ADF=，
即S四边形ABEF=，
∴=2S四边形ABEF=2×6=12.
故第1空答案为：12。
【分析】首先得出△ACE的面积等于△ABE面积的2倍，△ACE的面积也等于△CDE面积的2倍，故而得出△ABE的面积等于△CDE的面积；又根据点F是中点，可得出△AEF的面积等于△ADF的面积，从而得出△ABC的面积是四边形ABEF面积的2倍，即可得出答案。
14．【答案】（1）30°
（2）
【知识点】角的运算；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（1）是的外角，
∴，，
∴，
∴；
（2），
理由如下：设，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
【分析】（1）先求出，，再利用角的运算可得；
（2）设，则，再求出，即可得到，从而得解。
15．【答案】解：∵从m边形的一个顶点出发可以画4条对角线；从n边形的一个顶点出发的所有对角线把n边形分成6个三角形．
∴m=4+3=7，n=6+2=8，
，
当m=7，n=8时，原式．
【知识点】多边形的对角线
【解析】【分析】根据多边形的对角线可求出m、n的值，再代入计算即可.
16．【答案】解：由题意得：，
，
，
，
，
．
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形三边的关系去掉绝对值，再合并同类项即可。
17．【答案】解：∵是边上的高，
∴.
∴.
∵是的角平分线，
∴.
∴.
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的角平分线、中线和高；角平分线的定义
【解析】【分析】根据高线的概念可得∠AEB=90°，则∠OAE=90°-∠AOE=20°，由角平分线的概念可得∠BAC=2∠OAE=40°，然后根据∠ABE=90°-∠BAC进行计算.
18．【答案】解：在中，，，
，
平分，
，
为边上的高，
，
．
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】根据三角形的角平分线、中线和高，以及角的运算法则即可得出答案。
19．【答案】解：∵CA＝CB，CE＝CA，
∴BC＝CE，∠CAE＝∠CEA，
∵CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE＝60°，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∠DAC+∠ACD＝∠EDC＝60°，
∴∠DAC＝∠CEA＝15°，
∴∠ACE＝150°，
∴∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝105°．
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】先利用等腰三角形的性质得出BC＝CE，∠CAE＝∠CEA，在利用外角的性质得出∠BCE的度数，进而利用等边三角形的判定得出答案。
20．【答案】解：因为AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线，
所以，
．
所以
．
所以．
又因为，，
，
，
所以．
所以和是相等的关系．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】首先根据角平分线的定义，可得=90°，得出：，再根据三角形外角的性质得出：，根据三角形内角和定理，得出，从而得出结论：∠BID=∠CIH。
21．【答案】（1）证明：∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
∴，，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴．
∵，
∴∠C＝120°，
∵∠BAD＝108°，
∴∠ADC＝72°，
∴
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理，可求得 ，再根据角平分线的定义求得，然后根据平行线的判定定理即可得出AB∥DC；
（2）首先根据两直线平行，内错角相等，可求得∠C=120°；根据两直线平行，同旁内角互补，得出∠ADC=72°，再根据角平分线的定义得出∠CDF=36°，进一步根据三角形内角和定理求得∠DFE=180°-120°-36°=24°。
22．【答案】（1）55°
（2）解：，理由如下：
，
，
在中，，
.
（3）解：如图，过点作，则，
则；
（4）解：当点在的外侧时，如图，过作，交于，
，
，
，
，
，
，
，，，
；
当点在的外侧时，如图，过作，交于，
，
，
，
，
，
，
，，，
．
综上，或．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】（1）解：， ， ∵在中，， ， ，， .
【分析】（1）根据平行线的性质推出，利用三角形的内角和定理和等量转化即可求出，从而求出度数；
（2）利用第（1）问的方法即可推出 ，，之间的数量关系 ；
（3）根据平行线的性质和等量转化即可求出度数；
（4）分情况讨论，当点在的外侧时，作，从而推出和，通过等量转化和 ，，即可求出，，之间的数量关系 ；当点在的外侧时，作，运用第一种情况相同的方法即可推出 ，，之间的数量关系 .
23．【答案】解：（1）∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠ADC﹣∠ACD
=180°﹣（∠ADC+∠ACD）
=180°﹣（180°﹣∠A）
=90°+∠A，
∴如果∠A=60°，那么∠P=120°；如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，则∠P=（90+ ）°；
（2）∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠ADC﹣∠BCD
=180°﹣（∠ADC+∠BCD）
=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）
=（∠A+∠B）；
（3）五边形ABCDEF的内角和为：（5﹣2） 180°=540°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠P=∠EDC，∠PCD=∠BCD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠EDC﹣∠BCD
=180°﹣（∠EDC+∠BCD）
=180°﹣（540°﹣∠A﹣∠B﹣∠E）
=（∠A+∠B+∠E）﹣90°，
即∠P=（∠A+∠B+∠E）﹣90°．
（4）六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2） 180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠EDC﹣∠BCD
=180°﹣（∠EDC+∠BCD）
=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F）
=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，
即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
（5）同（1）可得，∠P=（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）﹣（n﹣4）×90°．
故答案为：120，135，（90+）；（∠A+∠B）；∠P=（∠A+∠B+∠E）﹣90°；∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°；，∠P=（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）﹣（n﹣4）×90°．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
（2）根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（3）根据五边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（4）根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（5）根据n边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可．
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2023-2024学年八年级数学上册《第11章 三角形》单元测试卷（人教版）
一、选择题（每小题4分，满分40分）
1．数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度可取（ ）
A． B． C． D．
2．如图，BD是△ABC的中线，点E为BD上一点，BE＝2ED，连接AE并延长，交BC于点F，若△ABC的面积是24cm2，则△AED的面积是（ ）
A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．6cm2
3．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的数学原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．三角形的两边之和大于第三边
4．如图，将沿、、翻折，三个顶点均落在点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，（ ）
A．480 B．500° C．540° D．600°
6．如图：①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则（ ）度．
A．84 B．111 C．225 D．201
7．多边形的每一个外角都是，则此多边形从一个顶点出发的对角线有（ ）条.
A．7条 B．8条 C．9条 D．10条
8．下列说法中，正确的个数有（ ）
①若一个多边形的外角和等于360°，则这个多边形的边数为4；
②三角形的高相交于三角形的内部；
③三角形的一个外角大于任意一个内角；
④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加 ；
⑤对角线共有5条的多边形是五边形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．一块多边形木板截去一个三角形后截线不经过顶点，得到的新多边形的内角和为，则原多边形的边数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，则∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题5分，满分20分）
11．如图，将一副三角板的两个直角重合，使点在上，点在上，已知，，则的度数是 ．
12．根据如图所表示的已知角的度数，求出其中的度数为 ．
13．如图，△ABC中，E为BC边上一点，，点D为AC的中点，连接DE、AE，取DE的中点F，连接AF，若四边形ABEF的面积是6，则△ABC的面积是 ．
14．探究与发现：如图，在中，，点D在边上，点E在边上，且，连接．
（1）当时，求 ．
（2）当点D在(点除外)边上运动时，试猜想与的数量关系为 ．
三、解答题（满分90分）
15．（8分）已知从m边形的一个顶点出发可以画4条对角线；从n边形的一个顶点出发的所有对角线把n边形分成6个三角形．求的值．
16．（8分）已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简：．
17．（8分）如图，在中，是的角平分线，是边上的高，相交于点O，如果，求的度数.
18．（8分）如图，中，BE为AC边上的高，CD平分，CD、BE相交于点F．若，，求的度数．
19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB．点E为△ABC外一点，CE＝CA，且CD平分∠ACB交AE于点D，且∠CDE＝60°，求∠DCE的度数．
20．（10分）如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，于H，试比较∠CIH和∠BID的大小．
21．（12分）如图，四边形ABCD中，AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，且于点O．延长DF交AB的延长线于点M．
（1）求证：；
（2）若，，求∠C，∠DFE的度数．
22．（12分）如图，已知直线，且和，分别交于，两点，和，分别交于，两点，点在线段上，，，．
（1）若，，则 ．
（2）试找出，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）应用(2)中的结论解答下面的问题：
如图，点在的北偏东的方向上，在的北偏西的方向上，求的度数．
（4）如果点在直线上且在线段外侧运动点和，两点不重合，其他条件不变，试探究，，之间的关系．
23．（14分）（1）已知：如图1，P为△ADC内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平公∠ADC和∠ACD，如果∠A=60°，那么∠P的度数；如果∠A=90°，那么∠P的度数；如果∠A=x°，则∠P的度数；（答案直接填在题中横线上）
（2）如图2，P为四边形ABCD内一点，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并写出你的探索过程；
（3）如图3，P为五边形ABCDE内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平公∠ADC和∠ACD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E的数量关系
（4）如图4，P为六边形ABCDEF内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平公∠ADC和∠ACD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系
（5）若P为n边形A1A2A3…An内一点，PA1平分∠AnA1A2，PA2平分∠A1A2A3，请直接写出∠P与∠A3+A4+A5+…∠An的数量关系：
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，设第三边的长度为x，
∴第三边的长度取值范围为：.
∴长度的取值可能为4，5，6，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和，即可求出第三边的取值范围，从而求出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵BD是△ABC的中线，△ABC的面积是24cm2，
∴S△ABD=S△BCD=12，
∵BE=2ED，
∴S△AED=2S△AED，
∵S△AED+S△AED=S△ABD，
∴△AED的面积是4，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形可得S△ABD=S△BCD=12，结合题意可得S△AED=2S△AED，即可求解.
3．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性，
故答案为：A．
【分析】利用三角形的稳定性求解即可。
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，
∴∠A=∠DOE，∠B=∠HOG，∠EOF=∠C，
∴∠DOE+∠HOG+∠EOF=∠A+∠B+∠C=180°，
∵∠DOE+∠HOG+∠EOF+∠1+∠2=360°，
∴∠2=360°-（∠DOE+∠HOG+∠EOF+∠1）=360°-(180°+131°)=49°.
故答案为：A.
【分析】由翻折可得∠A=∠DOE，∠B=∠HOG，∠EOF=∠C，从而根据三角形内角和定理可得∠DOE+∠HOG+∠EOF=180°，进而根据周角定义可算出∠2的度数.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解。如图，连接AD，EF，AF、DE交于O。
∵∠AOD=∠EOF，
∴∠OAD+∠ODA=∠OEF+∠OFE，
在四边形ABCD中，∠BAD+∠B+∠C+∠ADC=360°，
∴∠OAD+∠2+∠3+∠5+∠1+∠ODA=360°，
∴∠2+∠3+∠5+∠1+∠OEF+∠OFE=360°，
在△EFG中，∠FEG+∠EFG+∠G=180°，
∴∠2+∠3+∠5+∠1+∠OEF+∠OFE+∠FEG+∠EFG+∠G=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠5+∠OEF+∠FEG+∠OFE+∠EFG+∠7=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠5+∠4+∠6+∠7=540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°.
故答案为：C。
【分析】连接AD，EF，可以把这7个角，分别归纳在四边形ABCD和△EFG中，从而可求得它们的和为360°+180°=540°。
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】
解：①
②
③∠O3=180°-（∠2+∠3）；
∴∠O1+∠O2+∠O3=180°+21°=201°。
故答案为：D。
【分析】根据三角形内角和定理及三角形外角和内角的关系得：从而得出∠O1+∠O2+∠O3=201°。
7．【答案】C
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的每一个外角都是30°，
∵多边形的外角和为360°，
∴此多边形的边数为：，
∴从一个顶点出发的对角线共有（条）.
故答案为：C.
【分析】由于任何多边形的外角和都是360°，故用360°除以每一个外角的度数即可得出多边形的边数，进而根据过n边形一个顶点可引（n-3）条对角线即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：①任意多边形的外角和等于360°，故原说法错误，不符合题意；
②只有锐角三角形的高相交于三角形的内部，故原说法错误，不符合题意；
③根据三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得三角形的一个外角大于任意一个于它不相邻的内角，故原说法错误，不符合题意；
④根据多边形内角和公式： ，得一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°，故原说法正确，符合题意；
⑤n边形的对角线条数为： ，当n=5时， ，故原说法正确，符合题意；
综上，正确个数有2个.
故答案为：B.
【分析】任意多边形的外角和等于360°，据此判断①；只有锐角三角形的高相交于三角形的内部，据此判断②；根据外角的性质可判断③；根据多边形的内角和公式可判断④；n边形的对角线条数为： ，然后令n=5，求出对应的值，据此判断⑤.
9．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设原多边形为n边形，
又由题知截线不经过顶点，
∴原n边形被截后所得的新多边形的边数为（n+1），
则（n+1-2）·180°=2340°，
解得n=14；
故答案为：B.
【分析】可设原多边形为n边形，又由题知截线不经过顶点，所以原n边形被截后所得的新多边形的边数为（n+1），再根据多边形内角和公式(n-2)·180°列方程解出n即可即.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在△AOD中：∠D=180°-∠DAO-∠AOD，
在△BOC中：∠B=180°-∠BCO-∠BOC，
∴∠B+∠D=180°-∠DAO-∠AOD+180°-∠BCO-∠BOC=360°-∠DAO-∠BCO-∠AOD-∠BOC，
∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，
∴∠DAO=2∠PAO，∠BCO=2∠PCO，
又∠AOD=∠BOC，
∴∠B+∠D=360°-2∠PAO-2∠PCO-2∠AOD=2（180°-∠PAO-∠PCO-∠AOD），
AP、CD的交点标为点E，
在△CPE中，
∠P=180°-∠PCO-∠CEP，
∵∠CEP=∠AOD+∠PAO，
∴∠P=180°-∠PCO-∠PAO-∠AOD，
∴∠P=（∠B+∠D）。
故答案为：B。
【分析】首先根据三角形内角和定理分别得出∠B=180°-∠BCO-∠BOC，∠D=180°-∠DAO-∠AOD，再根据角平分线的定义和对顶角的性质得出∠B+∠D=2（180°-∠PAO-∠PCO-∠AOD），然后在△CPE中，得出∠P=180°-∠PCO-∠CEP，再根据三角形外角的性质，得出∠P=180°-∠PCO-∠PAO-∠AOD，从而得出结论∠P=（∠B+∠D）。
11．【答案】165°
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A=45°，∠C=90°，
∴∠ABC=45°，
∵△DEC中，∠E=30°，∠C=90°，
∴∠EDC=60°，
∴∠BFD=360°-∠ABC-∠C-∠EDC=360°-45°-60°-90°=165°.
故答案为：165°.
【分析】先根据三角形的内角和定理算出∠ABC与∠EDC的度数，进而根据四边形的内角和定理算出∠BFD的度数.
12．【答案】50°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：图中角的外角为，
，
故答案为：50°．
【分析】利用多边形外角和求解即可。
13．【答案】12
【知识点】三角形的面积；线段的中点
【解析】【解答】解：∵CE=2BE，
∴S△ACE=2S△ABE，
∵点D是AC的中点，
∴S△ACE=2S△DCE，
∴S△ABE=S△DCE，
∵点F是DE的中点，
∴S△AEF=S△ADF，
∴S△ABE+S△AEF=S△DCE+S△ADF=，
即S四边形ABEF=，
∴=2S四边形ABEF=2×6=12.
故第1空答案为：12。
【分析】首先得出△ACE的面积等于△ABE面积的2倍，△ACE的面积也等于△CDE面积的2倍，故而得出△ABE的面积等于△CDE的面积；又根据点F是中点，可得出△AEF的面积等于△ADF的面积，从而得出△ABC的面积是四边形ABEF面积的2倍，即可得出答案。
14．【答案】（1）30°
（2）
【知识点】角的运算；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（1）是的外角，
∴，，
∴，
∴；
（2），
理由如下：设，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
【分析】（1）先求出，，再利用角的运算可得；
（2）设，则，再求出，即可得到，从而得解。
15．【答案】解：∵从m边形的一个顶点出发可以画4条对角线；从n边形的一个顶点出发的所有对角线把n边形分成6个三角形．
∴m=4+3=7，n=6+2=8，
，
当m=7，n=8时，原式．
【知识点】多边形的对角线
【解析】【分析】根据多边形的对角线可求出m、n的值，再代入计算即可.
16．【答案】解：由题意得：，
，
，
，
，
．
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形三边的关系去掉绝对值，再合并同类项即可。
17．【答案】解：∵是边上的高，
∴.
∴.
∵是的角平分线，
∴.
∴.
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的角平分线、中线和高；角平分线的定义
【解析】【分析】根据高线的概念可得∠AEB=90°，则∠OAE=90°-∠AOE=20°，由角平分线的概念可得∠BAC=2∠OAE=40°，然后根据∠ABE=90°-∠BAC进行计算.
18．【答案】解：在中，，，
，
平分，
，
为边上的高，
，
．
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】根据三角形的角平分线、中线和高，以及角的运算法则即可得出答案。
19．【答案】解：∵CA＝CB，CE＝CA，
∴BC＝CE，∠CAE＝∠CEA，
∵CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE＝60°，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∠DAC+∠ACD＝∠EDC＝60°，
∴∠DAC＝∠CEA＝15°，
∴∠ACE＝150°，
∴∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝105°．
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】先利用等腰三角形的性质得出BC＝CE，∠CAE＝∠CEA，在利用外角的性质得出∠BCE的度数，进而利用等边三角形的判定得出答案。
20．【答案】解：因为AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线，
所以，
．
所以
．
所以．
又因为，，
，
，
所以．
所以和是相等的关系．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】首先根据角平分线的定义，可得=90°，得出：，再根据三角形外角的性质得出：，根据三角形内角和定理，得出，从而得出结论：∠BID=∠CIH。
21．【答案】（1）证明：∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
∴，，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴．
∵，
∴∠C＝120°，
∵∠BAD＝108°，
∴∠ADC＝72°，
∴
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理，可求得 ，再根据角平分线的定义求得，然后根据平行线的判定定理即可得出AB∥DC；
（2）首先根据两直线平行，内错角相等，可求得∠C=120°；根据两直线平行，同旁内角互补，得出∠ADC=72°，再根据角平分线的定义得出∠CDF=36°，进一步根据三角形内角和定理求得∠DFE=180°-120°-36°=24°。
22．【答案】（1）55°
（2）解：，理由如下：
，
，
在中，，
.
（3）解：如图，过点作，则，
则；
（4）解：当点在的外侧时，如图，过作，交于，
，
，
，
，
，
，
，，，
；
当点在的外侧时，如图，过作，交于，
，
，
，
，
，
，
，，，
．
综上，或．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】（1）解：， ， ∵在中，， ， ，， .
【分析】（1）根据平行线的性质推出，利用三角形的内角和定理和等量转化即可求出，从而求出度数；
（2）利用第（1）问的方法即可推出 ，，之间的数量关系 ；
（3）根据平行线的性质和等量转化即可求出度数；
（4）分情况讨论，当点在的外侧时，作，从而推出和，通过等量转化和 ，，即可求出，，之间的数量关系 ；当点在的外侧时，作，运用第一种情况相同的方法即可推出 ，，之间的数量关系 .
23．【答案】解：（1）∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠ADC﹣∠ACD
=180°﹣（∠ADC+∠ACD）
=180°﹣（180°﹣∠A）
=90°+∠A，
∴如果∠A=60°，那么∠P=120°；如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，则∠P=（90+ ）°；
（2）∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠ADC﹣∠BCD
=180°﹣（∠ADC+∠BCD）
=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）
=（∠A+∠B）；
（3）五边形ABCDEF的内角和为：（5﹣2） 180°=540°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠P=∠EDC，∠PCD=∠BCD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠EDC﹣∠BCD
=180°﹣（∠EDC+∠BCD）
=180°﹣（540°﹣∠A﹣∠B﹣∠E）
=（∠A+∠B+∠E）﹣90°，
即∠P=（∠A+∠B+∠E）﹣90°．
（4）六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2） 180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠EDC﹣∠BCD
=180°﹣（∠EDC+∠BCD）
=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F）
=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，
即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
（5）同（1）可得，∠P=（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）﹣（n﹣4）×90°．
故答案为：120，135，（90+）；（∠A+∠B）；∠P=（∠A+∠B+∠E）﹣90°；∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°；，∠P=（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）﹣（n﹣4）×90°．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
（2）根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（3）根据五边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（4）根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（5）根据n边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可．
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