15.3等腰三角形练习
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15.3等腰三角形（A）
1．如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2 2．如图，在△ABC中，AB=AC，BD，
=110°，∠BAC=80°，求∠BAC的度数 CE是两条角平分线，并且BD，CE
相交于点O。求证：OB=OC
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3．某市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新 ( http: / / www.21cnjy.com )颜，如图，为一农村房屋侧面的示意图，屋坡AF、AG分别架在墙体的点B、点C处，且AB=AC，侧面四边形BDEC为长方形。若测得∠FAG=110°，求∠FAB的度数
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4．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分 ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列5个结论：①DE=DF；②AD上任意一点到B、C两点的距离相等；③AD⊥BC，且BD=CD；④∠BDE=∠CDF；⑤AE=AF。其中正确的有____________________。选择一个加以证明
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5．在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°， 6．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，
求∠B的度数 求另两边的长
7．在△ABC中，AB=AC，如图所示，点 ( http: / / www.21cnjy.com )D、E分别在AC，BC上，且AD=BD=BC，BE=DE=DC，指出图中所有的等腰三角形，并求∠BDC的度数
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8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是 9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
BC的中点，点E在AD上。 BD是AC边上的高，求∠DBC度数
求证：（1）△ABD≌△ACD
（2）BE=CE
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10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=13，求线段MN的长
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11．如图，轮船从B处以每 ( http: / / www.21cnjy.com )小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观察灯塔A位于北偏东60°方向上，求C处与灯塔A的距离
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12．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D 13．如图，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，
（点D在边BC上），且AD=BC，求 点C落在点E的位置，BE交AD于点F。
△ABC底角的度数 求证：重叠部分（即△BDF）是等腰三角形
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14．如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC， 15．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、
若AB=5，求AC C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，求∠E的度数
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15.3等腰三角形（B）
1．如图，△ABC中，AB=AC， ( http: / / www.21cnjy.com )AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列5个结论：①DE=DF；②AD上任意一点到B、C两点的距离相等；③AD⊥BC，且BD=CD；④∠BDE=∠CDF；⑤AE=AF。其中正确的有____________________。选择一个加以证明
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4．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分 5．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=
在AC，AB上，且BC=BD，AD=DE=EB， 120°，AB的垂直平分线MN交AC于
求∠A的度数 D，求证：
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6．在△ABC中，AB=AC=12 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，BC=6cm，D为BC的中点，动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C 的方向运动。设运动时间为ts，求当t为何值时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其在一部分是另一部分的2倍。
7．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB方向以1cm/s的速度运动，点Q从B点开始沿BC方向以2cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当Q到达C点时，即同时停止运动。当经过多少秒时，△PBQ为等腰三角形
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8．如图，轮船从B处以每小 ( http: / / www.21cnjy.com )时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观察灯塔A位于北偏东60°方向上，求C处与灯塔A的距离
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9．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC 10．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=
的中点，点E在AD上。 60°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落
求证：（1）△ABD≌△ACD 在点C′的位置，如果BC=4，求BC的长
（2）BE=CE
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11．如图，将长方形ABCD沿对角线BD 12．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB
翻折，点C落在点E的位置，BE交AD 的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC
于点F。求证：重叠部分（即△BDF）是 （1）试判断△ODE的形状，并说明理由
等腰三角形 （2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？
写出你的判断过程
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如图，在一单位为1的方格纸上，△，△，△，…都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形。若△的顶点坐标分别为
（2，0），（1，-1），（0，0），则依图中所示规律，的坐标为_________
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如图，在Rt△ABC中AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，
写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）
如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请你判断△OMN的形状，并证明你的结论
15.3等腰三角形（C）
1．如图，△ABC中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列5个结论：①DE=DF；②AD上任意一点到B、C两点的距离相等；③AD⊥BC，且BD=CD；④∠BDE=∠CDF；⑤AE=AF。其中正确的有____________________。选择一个加以证明
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2．如图，已知∠MON=30°，点、、……在射线ON上，点、、……在射线OM上，△、△、△……均为等边三角形，若=1，
求△的边长
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3．如图，在锐角△ABC中，∠ABC=2∠C，4．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=
∠ABC的平分线BE与AD垂直，垂足 120°，AB的垂直平分线MN交AC于
为D，AC=12，求BD的长 D，求证：
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5．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC= 6．如图，△ABC是等边三角形，P是三角形
60°，把△ADC沿直线AD翻折，点 外一点，且∠ABP+∠ACP=180°，
C落在点C′的位置，如果BC=4，求 求证：PB+PC=PA
BC的长
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7．已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系
8．如图①在等腰三角形ABC中，底边B ( http: / / www.21cnjy.com )C上任意一点P到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若点P在BC的延长线上，如图②，那么PD、PE和CF有什么关系？请写出你的猜想，并加以证明
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9．如图，轮船从B处以每小时50海里的 ( http: / / www.21cnjy.com )速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观察灯塔A位于北偏东60°方向上，求C处与灯塔A的距离
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10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（ ）
A 4 B 5 C 6 D 8
11．如图，在一单位为1的方格纸上，△，△，△，…都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形。若△的顶点坐标分别为（2，0），（1，-1），（0，0），则依图中所示规律，的坐标为_________
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12．如图，在Rt△ABC中AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，
（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）
（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请你判断△OMN的形状，并证明你的结论
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13．△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若0°≤∠PBC＜180°，且∠PBC的平分线上的一点D满足DB=DA
（1）当BP与BA重合时（如图（1）），∠BPD=_______________
（2）当BP在∠ABC的外部时（如图（2）），求∠BPD的度数
（3）当BP在∠ABC的外部时，请直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形
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13．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，∠BOC=α
说明：△COD是等边三角形
当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由
探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
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14．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点
如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动
若点Q的运动速度与点P的运动速度相同，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由
若点Q的运动速度与点P的运动速度不相同，当点Q的运动速度为多少时，才能使△BPD与△CQP全等？
若点Q以（1）②中的运动速度从点C ( http: / / www.21cnjy.com )出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
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1．如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2 2．如图，在△ABC中，AB=AC，BD，
=110°，∠BAC=80°，求∠BAC的度数 CE是两条角平分线，并且BD，CE
相交于点O。求证：OB=OC
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3．某市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新 ( http: / / www.21cnjy.com )颜，如图，为一农村房屋侧面的示意图，屋坡AF、AG分别架在墙体的点B、点C处，且AB=AC，侧面四边形BDEC为长方形。若测得∠FAG=110°，求∠FAB的度数
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4．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分 ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列5个结论：①DE=DF；②AD上任意一点到B、C两点的距离相等；③AD⊥BC，且BD=CD；④∠BDE=∠CDF；⑤AE=AF。其中正确的有____________________。选择一个加以证明
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5．在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°， 6．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，
求∠B的度数 求另两边的长
7．在△ABC中，AB=AC，如图所示，点 ( http: / / www.21cnjy.com )D、E分别在AC，BC上，且AD=BD=BC，BE=DE=DC，指出图中所有的等腰三角形，并求∠BDC的度数
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8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是 9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
BC的中点，点E在AD上。 BD是AC边上的高，求∠DBC度数
求证：（1）△ABD≌△ACD
（2）BE=CE
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10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=13，求线段MN的长
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11．如图，轮船从B处以每 ( http: / / www.21cnjy.com )小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观察灯塔A位于北偏东60°方向上，求C处与灯塔A的距离
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12．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D 13．如图，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，
（点D在边BC上），且AD=BC，求 点C落在点E的位置，BE交AD于点F。
△ABC底角的度数 求证：重叠部分（即△BDF）是等腰三角形
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14．如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC， 15．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、
若AB=5，求AC C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，求∠E的度数
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15.3等腰三角形（B）
1．如图，△ABC中，AB=AC， ( http: / / www.21cnjy.com )AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列5个结论：①DE=DF；②AD上任意一点到B、C两点的距离相等；③AD⊥BC，且BD=CD；④∠BDE=∠CDF；⑤AE=AF。其中正确的有____________________。选择一个加以证明
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4．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分 5．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=
在AC，AB上，且BC=BD，AD=DE=EB， 120°，AB的垂直平分线MN交AC于
求∠A的度数 D，求证：
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6．在△ABC中，AB=AC=12 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，BC=6cm，D为BC的中点，动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C 的方向运动。设运动时间为ts，求当t为何值时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其在一部分是另一部分的2倍。
7．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB方向以1cm/s的速度运动，点Q从B点开始沿BC方向以2cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当Q到达C点时，即同时停止运动。当经过多少秒时，△PBQ为等腰三角形
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8．如图，轮船从B处以每小 ( http: / / www.21cnjy.com )时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观察灯塔A位于北偏东60°方向上，求C处与灯塔A的距离
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9．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC 10．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=
的中点，点E在AD上。 60°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落
求证：（1）△ABD≌△ACD 在点C′的位置，如果BC=4，求BC的长
（2）BE=CE
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11．如图，将长方形ABCD沿对角线BD 12．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB
翻折，点C落在点E的位置，BE交AD 的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC
于点F。求证：重叠部分（即△BDF）是 （1）试判断△ODE的形状，并说明理由
等腰三角形 （2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？
写出你的判断过程
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如图，在一单位为1的方格纸上，△，△，△，…都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形。若△的顶点坐标分别为
（2，0），（1，-1），（0，0），则依图中所示规律，的坐标为_________
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如图，在Rt△ABC中AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，
写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）
如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请你判断△OMN的形状，并证明你的结论
15.3等腰三角形（C）
1．如图，△ABC中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列5个结论：①DE=DF；②AD上任意一点到B、C两点的距离相等；③AD⊥BC，且BD=CD；④∠BDE=∠CDF；⑤AE=AF。其中正确的有____________________。选择一个加以证明
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2．如图，已知∠MON=30°，点、、……在射线ON上，点、、……在射线OM上，△、△、△……均为等边三角形，若=1，
求△的边长
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3．如图，在锐角△ABC中，∠ABC=2∠C，4．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=
∠ABC的平分线BE与AD垂直，垂足 120°，AB的垂直平分线MN交AC于
为D，AC=12，求BD的长 D，求证：
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5．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC= 6．如图，△ABC是等边三角形，P是三角形
60°，把△ADC沿直线AD翻折，点 外一点，且∠ABP+∠ACP=180°，
C落在点C′的位置，如果BC=4，求 求证：PB+PC=PA
BC的长
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7．已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系
8．如图①在等腰三角形ABC中，底边B ( http: / / www.21cnjy.com )C上任意一点P到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若点P在BC的延长线上，如图②，那么PD、PE和CF有什么关系？请写出你的猜想，并加以证明
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9．如图，轮船从B处以每小时50海里的 ( http: / / www.21cnjy.com )速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观察灯塔A位于北偏东60°方向上，求C处与灯塔A的距离
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10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（ ）
A 4 B 5 C 6 D 8
11．如图，在一单位为1的方格纸上，△，△，△，…都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形。若△的顶点坐标分别为（2，0），（1，-1），（0，0），则依图中所示规律，的坐标为_________
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12．如图，在Rt△ABC中AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，
（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）
（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请你判断△OMN的形状，并证明你的结论
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13．△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若0°≤∠PBC＜180°，且∠PBC的平分线上的一点D满足DB=DA
（1）当BP与BA重合时（如图（1）），∠BPD=_______________
（2）当BP在∠ABC的外部时（如图（2）），求∠BPD的度数
（3）当BP在∠ABC的外部时，请直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形
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13．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，∠BOC=α
说明：△COD是等边三角形
当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由
探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
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14．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点
如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动
若点Q的运动速度与点P的运动速度相同，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由
若点Q的运动速度与点P的运动速度不相同，当点Q的运动速度为多少时，才能使△BPD与△CQP全等？
若点Q以（1）②中的运动速度从点C ( http: / / www.21cnjy.com )出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
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