2023-2024学年山东省泰安第三中学高二上学期开学考试数学试题（含解析）

2023-2024学年山东省泰安第三中学高二上学期开学考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列说法中正确的是
A. 经过三点确定一个平面 B. 两条直线确定一个平面
C. 四边形确定一个平面 D. 不共面的四点可以确定个平面
2.在正方体中，异面直线与所成的角为
( )
A. B. C. D.
3.已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是
( )
A. B. C. D.
4.设向量，给出下列四个结论：；；与垂直；，其中真命题的序号是
( )
A. B. C. D.
5.某校现有高一学生人，高二学生人，高三学生人，用分层随机抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为，那么从高三学生中抽取的人数应为
( )
A. B. C. D.
6.若圆锥的底面直径和高都等于，则该圆锥的体积为
( )
A. B. C. D.
7.若，则．( )
A. B. C. D.
8.已知点，，点在线段上，且，则点的坐标是
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.某小组有名男生和名女生，从中任选名同学去参加演讲比赛，事件“至少名女生”与事件“全是男生”( )
A. 是互斥事件 B. 不是互斥事件 C. 是对立事件 D. 不是对立事件
10.要从已编号的枚最新研制的某型导弹中随机抽取枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的枚导弹的编号可能是( )
A. ，，，，， B. ，，，，，
C. ，，，，， D. ，，，，，
11.已知复数：满足，则( )
A. B. 虚部为
C. 的共轭复数为 D. 是方程的一个根
12.已知正三棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则( )
A. 棱台的高为
B. 棱台的表面积为
C. 棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为
D. 棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知两条相交直线，，且平面，则与的位置关系是____________．
14.在四边形中，，则四边形的形状是______．
15.甲、乙两人打把，已知甲的命中率为，乙的命中率为，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为______．
16.已知、是直线，、是平面，给出下列命题：
若垂直于内两条相交直线，则；
若平行于，则平行于内所有的直线；
若，且，则；
若且，则；
若，且，则．
其中正确命题的序号是_______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知向量，若，求的值．
18.本小题分
如图，在中，，点，分别是，的中点．设，．
用表，．
如果，，，有什么关系？用向量方法证明你的结论．
19.本小题分
如图，在正方体中，、、分别是、、的中点求证：平面平面．
20.本小题分
如图，在正方体中，是的中点．
求证：平面；
求证：平面平面，
21.本小题分
已知是矩形，平面，，，
为的中点．
求证：平面．
求直线与平面所成的角．
22.本小题分
如图，在正方体中，、分别是，的中点，
求证：平面；
求向量的夹角．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：不共线的三点确定一个平面，因此不正确；两条异面直线不能确定一个平面，因此不正确；空间四边形不能确定一个平面，因此不正确；不共面的四点中每三个点都不共线，则任三点可确定一个平面，共可以确定个平面，因此D正确．故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】利用正方体的性质确定异面直线所成的角，应用数形结合进而确定大小即可．
解：
如图所示，在正方体 中 ，
故 就是异面直线 与 所成的角，由正方体的性质知： ．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】由给定的直观图画出原平面图形，再求出面积作答．
解：根据斜二测画法的规则，所给的直观图对应的原平面图形，如图，

其中 ， ，
所以这个平面图形的面积为 ．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】根据向量的坐标运算，结合选项即可逐一判断．
解：对于， ，故错误，
对于， ，故错误，
对于， ，所以垂直，正确，
对于， 不平行，故错误，
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查分层随机抽样的比例分配，属于基础题．
根据分层随机抽样的比例，即可求解．
【解答】
解：设从高三学生中抽取的人数应为，
根据分层随机抽样的比例分配可得，
，解得．
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】由题意，可知圆锥的底面半径和高，代入锥体的体积公式即得．
解：由圆锥的体积公式得， ；
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量运算的坐标表示，属于基础题．
利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解．
【解答】
解：因为，
所以，
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】利用平面向量的数乘运算及相等的定义列出关于 的方程组，从而得解．
解：设 ，由 在线段 上且 知 ，
所以 ，即 ，解得 ．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可求解．
解：从男女中人选名同学，一共会出现的抽取情况为：男，或者女，或者男女，
至少一名女生包括一名或两名女生，全是男生相当于女生数为零，两者间是互斥事件也是对立事件．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】根据系统抽样的特征即可求解．
解：根据从编号的枚中选取枚，则间距为，所以合理，不合适，
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的运算，复数的模、共轭复数，方程的根等，属于基础题．
由复数的四则运算，得到的值，再根据相关概念逐个进行判断即可得到答案．
【解答】
解：因为，
所以，
所以，故A正确；
由知，的虚部为，故B错误；
的共轭复数为，故C错误；
因为，
所以是方程的一个根，故D正确．
12.【答案】
【解析】【分析】由题意，在正三棱台中，在平面中，由点向作垂线，垂足为，取线段的中点，连接，在平面中，由点向作垂线，垂足为，连接，根据正三棱台的性质求出侧面的高与棱台的高，再根据线面角与二面角的定义即可求解．
解：由题意，在正三棱台中，，，，在平面中，由点向作垂线，垂足为，取线段的中点，连接，在平面中，由点向作垂线，垂足为，连接，
在等腰梯形中，，，，则，，
所以棱台的表面积为，故选项 B正确；
又三棱台为正三棱台，所以为正三棱台的高，
所以，由，所以平面，，
在中，，
在中，，
所以棱台的高为，故选项 A错误；
棱台的侧棱与底面所成角为，，故选项 C错误；
棱台的侧面与底面所成二面角为，，故选项 D正确．
故选：．
13.【答案】平面 或与平面 相交
【解析】【分析】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力，是基础题．
画出图形不难看出直线 与平面 的位置关系，平行或相交．
解：
由题意画出图形，当 所在平面与平面 平行时， 与平面 平行，
当 所在平面与平面 相交时， 与平面 相交．
故答案为： 平面或与平面 相交．
14.【答案】矩形
【解析】【分析】根据向量数量积可得垂直，根据向量相等可证平行．
解：由 可知 ，进而 ，
由 可得 且 ，所以四边形为矩形，
故答案为：矩形
15.【答案】
【解析】【分析】由题意，该靶子被击中有三种情况：甲击中而乙没有击中；乙击中而甲没有击中；甲乙都击中，从而由相互独立事件的概率乘法公式及互斥事件的概率加法公式即可求解．
解：因为甲的命中率为，乙的命中率为，
所以甲、乙分别向同一靶子射击一次，该靶子被击中的概率 ，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】对于，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于，可举出反例；对于考虑 的判定方法，而条件不满足，故错误；对于符合面面垂直的判定定理，故正确．
解：对于，由线面垂直的判断定理可知，若垂直于内的两条相交直线，则 ，故正确，
对于，若 ，如图，

可知， 与 是异面关系，故不正确，
对于，若 ， 且 ，无法得到 ，故无法得到 ，故不正确，
对于，根据面面垂直的判断定理可得，若 且 ，，则 ，故正确，
对于，如图，满足 ， 且 ，则 异面，

故不正确，
故正确命题的序号是．
故答案为：
17.【答案】解： ， ，
， ，
， ，
解得，

【解析】【分析】根据向量的坐标运算即可求解．
18.【答案】解： ；
．
，证明如下：设 ，则 ， ．
．
， ．

【解析】【分析】本题主要考查了向量的三角形法则以及利用向量的数量积判断直线的关系，属于中等题。
根据向量的三角形法则以及中位线定理即可表示出 ，
设 ，则 ， 计算 即可。
19.【答案】解 、 分别是 ， 的中点，
又 平面 平面 平面
且
，故四边形 为平行四边形，进而
又 平面 平面 平面 ，
平面 ，
故平面 平面

【解析】【分析】根据线线平行求证线面平行，进而可证面面平行．
20.【答案】解：试题分析：设 ，连接 ，因为，分别为， 中点，所以
平面 ，所以平面 平面

【解析】【分析】线面平行垂直的判定
平面内一直线与平面外一直线平行，则线面平行；直线垂直于平面内两相交直线则直线垂直于平面，进而得到两面垂直
21.【答案】解：在 中， ，
平面 ， 平面 ，
又 ， 平面
为 与平面 所成的角
在 ， ，在 中，
在 中， ，

【解析】略
22.【答案】解：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
不妨设正方体的棱长为，
则，，，，，
则，，，
则，，
，．
又，
平面．
，，
故，，
，，，
，又向量夹角范围为，
则．

【解析】本题考查向量在立体几何中的应用，属于中档题．
以为原点，建立空间直角坐标系，证明，即可；
由求解．
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