2023-2024学年江西省宜春市丰城九中重点班高二（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省宜春市丰城九中重点班高二（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，若集合有个子集，则实数( )
A. ，或 B. 或 C. 或 D. 或
2.已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 复数的实部为 B. 复数的共轭复数为：
C. 复数的虚部为： D. 复数的模为
3.已知函数且的图象过定点，若抛物线也过点，则抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
4.( )
A. B. C. D.
5.的展开式中的系数是，则实数的值为( )
A. B. C. D.
6.若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为( )
A. B. C. D.
7.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”画法如下：在水平直线上取长度为的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点第一段圆弧，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧以此类推，当得到的“蚊香”恰好有段圆弧时，“蚊香”的长度为( )
A. B. C. D.
8.南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前项分别为，，，，，，，则该数列的第项为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题中，正确的命题是( )
A. 已知随机变量服从，若，，则
B. 设随机变量服从，若，则
C. 已知，，则
D. ，，，，，，，，的第百分位数为
10.已知函数，若要得到一个偶函数的图象，则可以将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
11.设为的外心，，，的角平分线交于点，则( )
A. B.
C. D.
12.如图所示，在长方体中，，，是的中点，直线交平面于点，则( )
A. ，，三点共线
B. 的长度为
C. 直线与平面所成角的正切值为
D. 的面积为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知平面向量，满足，，与的夹角为，则______．
14.设且，已知数列满足，且是递增数列，则的取值范围是 ．
15.定义各项为正数的数列的“美数”为若各项为正数的数列的“美数”为，且，则______．
16.已知三棱锥的外接球表面积为，，则三棱锥体积的最大值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知数列的前项和为，且．
证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；
若，，求数列的前项和．
18.本小题分
已知向量，，记函数．
求不等式的解集；
在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若且，，成等差数列，，求的面积的值．
19.本小题分
数列是等比数列，公比不为，，且，，成等差数列．
设数列的前项和为，求；
设，为数列的前项和，求不超过的最大整数．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，点为棱的中点．
若是的中点，证明：平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在进某种蔬菜前，食品安检部门要求对每种蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，该种蔬菜才能在该超市销售，已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测互不影响．
求每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率；
若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利元，若不能在该超市销售，则每箱亏损元，现有箱这种蔬菜，设这箱蔬菜的总收益为元，求的分布列和数学期望．
22.本小题分
已知圆：，椭圆：．
求证：圆在椭圆内；
若圆的切线与椭圆交于，两点，为椭圆的右焦点，求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
集合有个子集，
集合中有个元素，
且，或，
解得或．
故选：．
由集合，，集合有个子集，得到且，或，由此能求出结果．
本题考查实数值的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为对于函数且，当，即时，恒有，
因此函数的图象过定点，而点在抛物线上，
则，解得，
所以抛物线的准线方程为．
故选：．
根据给定条件，求出函数图象恒过的点，求出抛物线方程即可作答．
本题考查抛物线的简单性质的应用，对数函数的简单性质的应用，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
所以，
整理得．
故选：．
根据两角和的正切公式求得正确答案．
本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解： 的展开式中的系数是，
，
故选：．
由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得实数的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
，
当时，也成立，
，
，
，
当时，，当时，，当时，，
的最大值为，最小值为，
的最大值与最小值之和为．
故选：．
由已知求出数列的通项公式，可得数列的单调性，求出的最大值与最小值，则答案可求．
本题考查数列的通项公式和数列的函数特性，考查运算求解能力，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题意每段圆弧的中心角都是，第段圆弧的半径为，弧长记为，
则，
所以．
故选：．
确定每段圆弧的中心角是，第段圆弧的半径为，由弧长公式求得弧长，然后由等差数列前项和公式计算．
本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意可知：，，，，，，，的差的数列为：，，，，，，
这个数列的差组成的数列为：，，，，，是等差数列，
所以前项分别为，，，，，，，则该数列的第项为：．
故选：．
利用已知条件，推出数列的差数列的差组成的数列是等差数列，转化求解即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，等差数列的定义的应用，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，，，解得，故A正确；
对于，，，故B错误；
对于，，，
，则，得，故C正确；
对于，，不是整数，
则，，，，，，，，的第百分位数为第个数据，故D错误．
故选：．
根据二项分布的期望、方差公式计算可知A正确；根据正态分布的对称性计算可知B错误；根据互斥事件概率的加法公式计算可知C正确；根据百分位数定义计算可知D错误．
本题考查统计及其有关概念，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对，平移后得为偶函数，故A正确；
对，平移后得无奇偶性，故B错误；
对，平移后得无奇偶性，故C错误；
对，平移后得为偶函数，故D正确．
故选：．
根据左加右减原理，逐项平移然后利用诱导公式进行化简，结合余弦函数的奇偶性进行判断即可得解．
本题考查了函数的图象变换，诱导公式以及余弦函数的奇偶性，考查了函数思想，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：在中，，
则，
在中，，
则，
因为，，为的角平分线，
可知，，
则，，
可得，
所以，即，
可得，故A正确，B错误；
分别取，的中点，，连接，，
可知，，
为的外心，，，
，
，
，
所以，
故C正确；D错误．
故选：．
对于、：根据题意结合正弦定理可得，结合平面向量的线性运算求；对于、：根据外心的性质结合平面向量的数量积运算求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：连结，，
则，
，，，四点共面，
平面，
，
平面，
又平面，
在平面与平面的交线上，
同理，也在平面与平面的交线上，
，，三点共线，故A正确；
设直线与平面的交点为，
易证平面平面，从而得到，
因为为中点，所以为中点，
同理可得为的中点，所以，故B正确；
取中点，连接，，
因为平面平面，
则即为直线与平面所成角，，故C错误；
因为，
所以，故D正确．
故选：．
对于，利用公理，分别证明点同时在两个平面上即可；
对于，利用长方体的性质，以及中位线定理，可得答案；
对于，利用线面角的定义，根据长方体的几何性质，结合三角函数定义，可得答案；
对于，利用三角形之间的关系，可得答案．
本题主要考查直线与平面的角，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，，与的夹角为，
所以，
，
所以，
故答案为：．
结合题意，可得向量的数量积，先计算，即可得出答案．
本题考查向量的数量积和向量的模，解题中需要理清思路，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：因为是递增数列，所以，解得，
即的取值范围是．
故答案为：．
根据数列的单调性结合函数的性质列出不等式求解．
本题主要考查了数列的函数特征，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为各项为正数的数列的“美数”为，
所以，
设数列的前项和为，
则，
所以，
当时，，
所以，满足式子，
所以，
又，所以，
所以．
故答案为：．
首先利用“美数”的定义，得到，再求数列的通项公式，并得到，最后利用裂项相消法求和．
本题主要考查了数列的递推式，考查了裂项相消法求和，同时考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：依题意，，解得，记三棱锥外接球的球心为，
的中点为，其中即为的中点，则，则．
设，在中，
由勾股定理可得，，即，解得，即棱锥的高；
因为，故AC为所在截面圆的直径，
故当为半圆的中点时，的面积取得最大值，
则三棱锥体积的最大值为．
故答案为：．
求出外接球的半径，记三棱锥外接球的球心为，设，在中，解得，即棱锥的高；然后转化求解几何体的体积即可．
本题考查几何体的体积的求法，最大值的判断，几何体的外接球的问题，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
17.【答案】解：证明：当时，，
解得，
当时，．
可得，
整理得，
从而，
又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
所以，
故，也适合该式，
综上，数列的通项公式为．
由得，
所以，
又，
，
，
，
两式相减得，
．
【解析】求出，继而写出时，，和已知等式相减结合，的关系可得，即可证明结论；根据等比数列的通项公式即可求得数列的通项公式；
由结论可求出的通项公式，利用错位相减法可求得答案．
本题考查数列递推关系的运用，考查错位相减法求和，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：向量，
，
，
不等式，可化为：，
，，
，，
不等式的解集为：，．
由可知，，
，
又，
，可得，即，
，，成等差数列，
，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
，解得，
为正三角形，可得．
【解析】由已知利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求，由已知不等式可化为：，进而利用正弦函数的图象和性质可求解集．
由可知，结合范围，可得，由正弦定理，余弦定理及，解得，根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质以及正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，属于中档题．
19.【答案】解：设数列的公比为，则，，由，，成等差数列，
所以有，即，解得或，由于公比不为，所以，
所以，，
所以，，
两式相减得，
整理得；
由知，所以，，
所以，
所以，
由于，所以不超过的最大整数为．
【解析】设数列的公比为，则，，由，，成等差数列，
所以有，由此求出，而后得出数列的通项公式，利用差比数列求和方法求出；
求出，而后求出，进而求出不超过的最大整数．
本题主要考查数列的求和，属中档题．
20.【答案】解：证明：取的中点，连接、，
由题意，且，且，
故CE且，
四边形为平行四边形，
．
又平面，平面，
平面．
取的中点，连接，易知、、两两垂直，
故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为．
则，则可取，
设直线与平面所成的角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】利用线面平行的判定定理，构造平行四边形法即可．
建立直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值．
本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解线面角的正弦值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：设每箱这种蔬菜能在该超市销售为事件，
则，
即每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率为．
由题意得，的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：
．
【解析】根据独立事件概率乘法公式进行计算；
写出的可能取值及概率，求出分布列和数学期望．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
22.【答案】证明：圆心，半径设为椭圆上一点，
则，
，当时，有最小值，
而，即，故点总在圆外，
圆在椭圆内．
解：若直线斜率不存在，不能过点，则的方程只能为，
此时，；
若直线斜率存在，设的方程为，，，
由直线与圆相切得，
化简得，则．
由得，
，
则，
，
又到直线的距离，
，
设，则，
，
综上，面积的最大值为．
【解析】证明椭圆上任意一点到圆心的距离大于半径即可解决；
以设而不求的方法得到面积的表达式，再去求最大值即可．
本题考查了圆与椭圆的位置关系，椭圆中的面积最值计算，属于中档题．
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