2023-2024学年广东省惠州三中八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省惠州三中八年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.年北京冬奥会顺利闭幕，奥运吉祥物“冰墩墩”让我们印象深刻，在下面的，，，四张“冰墩墩”图片中，能由最左边的“冰墩墩”经过平移得到的是( )
A. B. C. D.
2.下列实数，，，，中，无理数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.下列调查中，适合采用抽样调查方式的是( )
A. 调查你所在班级同学的视力情况 B. 调查黄河的水质情况
C. 对旅客上飞机前的安检 D. 检查神州十五号飞船的零部件状况
4.下列说法错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是( )
A. B. C. D.
6.点到轴的距离为，到轴的距离为，且在第一象限内，则点的坐标为( )
A. B. C. D. 不能确定
7.已知是整数，则自然数的最小值是( )
A. B. C. D.
8.方程，用含的代数式表示为( )
A. B. C. D.
9.如图，直线，点在直线上，点、在直线上，且，平分，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
10.关于的不等式组的整数解仅有个，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.计算： ______ ．
12.如图，将一张长方形纸片沿折叠，点、分别落在点、的位置处，若，则的度数是______．
13.如图，在大长方形中，放入个小长方形，则图中阴影部分面积为______ 平方厘米．
14.某商品进价元，标价元出售，商家准备打折出售，但其利润率不能少于，则最多可打______ 折
15.如图，在平面直角坐标系中，点，点第次向上跳动个单位至点，紧接着第次向右跳动个单位至点，第次向上跳动个单位，第次向左跳动个单位，第次又向上跳动个单位，第次向右跳动个单位，依此规律跳动下去，点第次跳动至点的坐标是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.本小题分
解列方程组：．
解不等式组：，并求出所有整数解的和．
17.本小题分
如图，已知，，，求证：．
18.本小题分
如图，网格中的每个小正方形单位长度为，三角形经过平移后，顶点平移到了．
画出平移后的三角形；
求出三角形的面积．
19.本小题分
已知的立方根是，的算术平方根是，的整数部分是．
求，，的值．
求的平方根．
20.本小题分
某学校开展居家体育训练，倡导学生在家开展体育锻炼返校后，校学生会随机抽取了部分学生，就“平均每天开展体育锻炼所用时长”进行了调查，以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：
根据上述信息，回答下列问题：
在本次随机抽取的样本中，调查的样本容量为______ ， ______ ；
补全频数分布直方图；
如果该校共有学生人，请你估计“平均每天开展体育锻炼的时长不少于分钟”的学生大约有多少人？
21.本小题分
已知关于、的方程组．
解满足不等式，求实数的取值范围；
在的条件下化简．
22.本小题分
星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：
进价元个 售价元个
电饭煲
电压锅
一季度，橱具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？
为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压锅共个，且电饭煲的数量不少于个，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；
在的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，，现同时将点，分别向上平移个单位，再向右平移个单位，分别得到点，的对应点，，且点落在轴上，连接，．
直接写出点、的坐标：______ ，______
如图，若点为线段的中点，点以每秒个单位长度的速度在线段上从点向点运动，运动时间为秒，则当时，求的值．
如图，已知，点在轴上点的左侧，射线以的速度绕点顺时针旋转至停止，射线以的速度绕点顺时针旋转，射线、同时开始旋转，同时停止运动在射线到达之前，会与射线交于点，过作交于，则在转动过程中，的值是否会改变，如果不变请求出这个定值；如果会变，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形是选项C．
故选：．
根据平移的意义“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”．
本题考查利用平移设计图案，生活中平移的现象，解决本题的关键是熟记平移的定义．
2.【答案】
【解析】解：，
所以在实数，，，，中，无理数有，，共个．
故选：．
根据无理数的定义，即无限不循环小数或开方开不尽的数为无理数，即可解答．
本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：调查你所在班级同学的视力情况，工作量比较小，适合全面调查；
B.调查黄河的水质情况工作量非常大，适合抽样调查；
C.对旅客上飞机前的安检非常重要，适合全面调查；
D.检查神州十五号飞船的零部件状况非常重要，适合全面调查．
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，但所费人力、物力和时间较少分析解答即可．
本题考查了抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4.【答案】
【解析】【分析】
根据不等式的性质进行判断．
本题考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以或除以同一个数时，不仅要考虑这个数不等于，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
【解答】
解：、若，则，结论正确，故此选项不符合题意；
B、若，则，结论正确，故此选项不符合题意；
C、若，则，这里必须满足，结论错误，故此选项符合题意；
D、若，则，结论正确，故此选项不符合题意；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由数轴知，该不等式组的解集为，
故选：．
根据数轴可直接得出答案．
本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
6.【答案】
【解析】解：到轴的距离为，到轴距离为，且在第一象限内，则点的坐标为，
故选：．
根据点到两坐标轴的距离可得到横纵坐标，根据第一象限内的点的坐标，可得答案．
本题考查了点的坐标以及点到坐标轴的距离，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
7.【答案】
【解析】解：若是整数，则自然数的最小值是，
故选：．
根据算术平方根的定义可得被开方数是，进而求出答案．
本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确计算的前提．
8.【答案】
【解析】解：移项，得，
系数化为，得，
即．
故选：．
本题是将二元一次方程变形，先移项、再系数化为即可．
解题时可以参照一元一次方程的解法，可以把当做已知数来处理．
9.【答案】
【解析】解：延长交直线于点，如图，
，，
，
，
，
，
平分，
，
是的外角，
．
故选：．
延长交直线于点，由题意可求得，，再由平行线的性质得，再由角平分线的定义得，利用三角形的外角性质即可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是作出适当的辅助线．
10.【答案】
【解析】解：解不等式组得：，
由题意得：，
解得：，
故选：．
先解不等式组，再根据仅有个整数解得出的不等式组，再求解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
根据算术平方根和立方根求得每个式子的值，再进行计算即可．
此题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的求解．
12.【答案】
【解析】解：由翻折的性质得：，
，
，
，
又，
．
故答案为：．
根据折叠性质得出，根据的度数求出，即可求出的度数，进而得到答案．
本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，邻补角定义的应用，熟记折叠的性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：设小长方形的长为厘米，宽为厘米，
依题意，得：，
解得：，
图中阴影部分面积为平方厘米．
答：图中阴影部分面积为平方厘米．
故答案为：．
设小长方形的长为厘米，宽为厘米，观察图形，根据小长方形长与宽之间的关系，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值；再利用阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：设这种商品可以按折销售，
则售价为，那么利润为，
所以相应的关系式为，
解得：．
答：该商品最多可以打折，
故答案为：．
利润率不能少于，意思是利润率大于或等于，相应的关系式为：打折后的销售价进价进价，把相关数值代入即可求解．
此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是得到利润率的相关关系式，注意“不能少于”用数学符号表示为“”；利润率是利润与进价的比值．
15.【答案】
【解析】解：设第次跳动至点，
观察，发现：，，，，，，，，，，，
，，，为自然数，
，
，
即．
故答案为：．
设第次跳动至点，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，为自然数”，依此规律结合即可得出点的坐标．
本题考查了坐标与图形变化平移，掌握规律型中点的坐标，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，为自然数”是解题的关键．
16.【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入中得：，
解得：，
方程组的解为：；
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：，
不等式组的整数解是，，，整数解的和为．
【解析】利用加减消元法求解；
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解，相加即可．
本题考查了二元一次方程组的解法，不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
17.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
．
【解析】由平行线的性质得到，，又，得到，推出．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到，，
18.【答案】解：顶点平移到了，
三角形的平移规律是向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，
，，
如图，三角形为所作；
三角形的面积．
【解析】本题考查了作图平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
利用点与点的坐标确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出点、的坐标，然后描点即可；
用一个长方形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形的面积即可．
19.【答案】解：的立方根是，的算术平方根是，
，，
解得：，；
又，是的整数部分，
；
则；
故平方根为．
【解析】首先根据立方根、算术平方根的概念可得与的值，进而可得、的值；接着估计的大小，可得的值；进而可得，再根据平方根的求法可得答案．
此题主要考查了无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
20.【答案】
【解析】解：人，即样本容量为，
，即，
即，
．
故答案为：，；
人，补全条形统计图如图所示：
人，
答：锻炼的时长不少于分钟”学生大约有人．
从两个统计图可得体育锻炼时间在“分钟”的人数人，占调查人数的，可求出调查人数，即可得到样本容量．扇形图表示单位“”，所有的百分数的和为，与条形统计图的数字对应．根据频数、频率、总数之间的关系可求出、的值，进而求出的值．
求出分钟时间段的人数，即可补全条形统计图．
锻炼的时长不少于分钟的百分数为，再代入总人数，求解可得人．
此题考查的是条形统计图和扇形图的应用，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键．
21.【答案】解：，
得，解得，
将代入得，，
，
，即，
解得，，
解得，，
不等式组的解集为，
的取值范围为；
解：，
，，
．
【解析】加减消元法求，的表达式，然后解一元一次不等式组即可；
根据的取值范围确定，的正负，然后化简求解即可．
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，化简绝对值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
22.【答案】解：设橱具店购进电饭煲台，电压锅台，
根据题意得：，
解得：，
元．
答：橱具店在该买卖中赚了元．
设购买电饭煲台，则购买电压锅台，
根据题意得：，
解得：．
又为正整数，
可取，，．
故有三种方案：购买电饭煲台，购买电压锅台；购买电饭煲台，购买电压锅台；购买电饭煲台，购买电压锅台．
设橱具店赚钱数额为元，
当时，；
当时，；
当时，；
综上所述，当时，最大，
即购进电饭煲、电压锅各台时，橱具店赚钱最多．
【解析】设橱具店购进电饭煲台，电压锅台，根据橱具店购进这两种电器共台且用去了元，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据总利润单个利润购进数量即可得出结论；
设购买电饭煲台，则购买电压锅台，根据橱具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压锅共个且电饭煲的数量不少于个，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，由此即可得出各进货方案；
根据总利润单个利润购进数量分别求出各进货方案的利润，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，列出关于、的二元一次方程组；根据数量关系，列出关于的一元一次不等式组；根据总利润单个利润购进数量分别求出各进货方案的利润．
23.【答案】， ，
【解析】解：如图，点向上移个单位，向右平移个单位得到，
则，，
此时点坐标为，
同时上平移个单位右平移个单位得点，
则点坐标为，
故答案为：，；
存在．理由如下：
为中点，
，
，，
，
，
点在线段上，
设，
，
，
，
解得；
此时符合题意．
在转动过程中，的值不会改变．如图，
，
，
射线以速度绕点顺时针旋转至停止，
，
即，
射线、同时开始旋转，同时停止运动，设运动时间为，
此时，，
同时，
，
，
即，
，
，，
，
，
，为定值．
由平移的性质可得出答案；
设，根据面积关系可得出的方程，解方程可得出答案；
求出，由平移的性质求出，，则可得出答案．
本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、平行线的判定与性质、三角形面积、梯形面积公式等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，平移的性质是解题的关键．
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