第5.2平行线试题训练及解析

试题训练及解析一
平行线的概念、画法、性质
1.下列说法正确的是　(　　)
①在同一平面内,两条不相交的直线叫做平行线;②过一点有且只有一条直线与已知直线平行;③在同一平面内,不相交的两条射线是平行线.
A.①②③ B.①② C.②③ D.①
【解析】选D.①正确;②错在没有考虑过直线外一点这一条件;③错在混淆直线与射线的概念,射线不相交,也未必平行.
2.三条直线a,b,c,若a∥c,b∥c,则a与b的位置关系是　(　　)
A.a⊥b B.a∥b
C.a⊥b或a∥b D.无法确定
【解析】选B.根据“如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行”进行分析,得出正确答案.
【变式训练】在同一平面内,若直线a1∥a2,a2∥a3,a3∥a4,…,a2013∥a2014,则a1与a2014的位置关系是　(　　)
A.平行 B.垂直
C.平行或垂直 D.无法确定
【解析】选A.由a1∥a2,a2∥a3可得a1∥a3;又因为a3∥a4,所以a1∥a4;同理,可得a1∥a2014.
3.如图是一种蔬菜温室的轮廓图,其中四边形ABCD,CDEF,GHAB都是长方形,则直线CD　　　GH,AB　　　EF.
【解题指南】解答本题的两个关键
1.要联想实际物体和平面图形的关系.
2.运用平行线的传递性.
【解析】长方形的对边平行,AB∥CD,AB∥GH,
所以CD∥GH;AB∥CD,CD∥EF,所以AB∥EF.
答案:∥　∥
4.如图,PC∥AB,QC∥AB,则点P,C,Q在一条直线上.理由是:　　　　　　　　.
【解析】因为PC∥AB,QC∥AB,PC和CQ都过点C,所以P,C,Q在一条直线上(过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行).
答案:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
5.从不同起点出发,小明和小亮都沿着与铁道平行的直线往前走,那么小明和小亮所走的路线也　　　　　,这是因为　　　　　　　　　　　　　　　　.
【解析】因为小明和小亮走的路线都与铁道平行,所以,他们走的路线也平行,其理由是:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
答案:平行　如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
【变式训练】滑雪运动最关键的是要保持两只雪橇　 .
【解析】滑雪运动时,两只雪橇只有保持平行,才能使得两只雪橇正常运动.
答案:平行
6.如图所示,按要求作平行线:
(1)过P点作AB的平行线EF.
(2)过P点作CD的平行线MN.
【解析】如图所示.
(1)直线EF为所求,EF∥AB.
(2)直线MN为所求,MN∥CD.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
　平面上不重合的三条直线,可能产生交点的个数有多少?
(1)找错:从第 步开始出现错误.
(2)纠错:
答案：(1)①
(2)情况不全面,还有一种三条直线两两相交,且不交于同一点的情况,
此时有三个交点,故交点可能为0个,1个,2个,3个.
试题训练及解析二
平行线的判定
1.对于图中标记的各角,利用下列条件能够推理得到a∥b的是　(　　)
A.∠1=∠2　　　　　　　　 B.∠2=∠4
C.∠3=∠4 D.∠1+∠4=180°
【解析】选D.因为∠1与∠2,∠2与∠4,∠3与∠4,都不是直线a,b被截得的同位角或内错角,所以选项A,B,C不能判定a∥b;若∠1+∠4=180°,因为∠1与∠5为对顶角,所以∠1=∠5,则∠5+∠4=180°,所以a∥b.所以选项D可以判定a∥b.
【变式训练】如图,∠1=52°,∠2=58°,∠3=70°,下列条件中能得到DE∥BC的是　(　　)
A.∠B=58° B.∠C=52°
C.∠B=70° D.∠C=70°
【解析】选D.∵∠3=70°,∠C=70°,∴∠3=∠C,
∴DE∥BC(内错角相等,两直线平行).
2.(2013·永州中考)如图,下列条件中能判断直线l1∥l2的是　(　　)
A.∠1=∠2　 　 B.∠1=∠5　
C.∠1+∠3=180°　 　 D.∠3=∠5
【解析】选C.∠1和∠2是直线l3和直线l4被l1所截形成的三线八角中的同旁内角;∠1和∠3是l1和l2被l3所截形成的同旁内角,它们互补,则两直线平行;∠3和∠5是对顶角,不能用来判断两直线是否平行,所以不能由∠1=∠5和∠3=∠5来判断l1∥l2.
3.如图,∠1=　　　　时,AD∥BC;当∠1=　　　　时,DC∥AB.
【解析】当∠1=∠A时,根据内错角相等,两直线平行得出AD∥BC;当∠1=∠C时,根据同位角相等,两直线平行得出DC∥AB.
答案:∠A　∠C
【易错提醒】应用平行线的判定方法判定两直线平行时,应分清是什么关系的角,再分析是哪两条直线被截所形成的,根据两角的关系判定两条直线平行时,易找错平行线.
4.已知:如图,BE平分∠ABC,∠1=∠2.那么BC与DE平行吗?请说明理由.
【解题指南】
【解析】BC∥DE,
理由如下:
∵BE平分∠ABC,∴∠1=∠3.
∵∠1=∠2,∴∠2=∠3,
∴BC∥DE(内错角相等,两直线平行).
5.如图,已知CD⊥AD,DA⊥AB,∠1=∠2,则DF与AE平行吗?为什么?
【解析】DF∥AE.理由如下:
∵CD⊥AD,DA⊥AB,
∴∠2+∠FDA=90°,∠1+∠DAE=90°,
又∠1=∠2,∴∠FDA=∠DAE,
∴DF∥AE(内错角相等,两直线平行).
平行线的判定的应用
1.一辆汽车在公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向平行行驶,那么这两个拐弯的角度可能是　(　　)
A.先向左转130°,再向左转50°
B.先向左转50°,再向右转50°
C.先向左转50°,再向右转40°
D.先向左转50°,再向左转40°
【解析】选B.先向左转a°,再向右转b°形成的两个角是同位角关系,因为两次拐弯后,仍在原来的方向平行行驶,即两直线平行,所以需要a°=b°.
2.如图所示,用两个相同的三角尺按照如图方式作平行线,理由是　　　　　　　　　　　.
【解析】如图,∵∠PAB=∠ACD,∴CD∥AP(内错角相等,两直线平行).
答案:内错角相等,两直线平行
3.如图,某工件要求AB∥ED,质检员小李量得∠ABC=146°,∠BCD=60°,
∠EDC=154°,则此工件　　　　　　(填“合格”或“不合格”).
【解析】如图,在∠BCD内部,以点C为顶点,以CB为一边,作∠BCF=34°,
∴∠BCF+∠ABC=34°+146°=180°,∴AB∥CF(同旁内角互补,两直线平行).
∵∠BCD=60°,∠BCF=34°,∴∠DCF=26°,
又∵∠EDC=154°,∴∠EDC+∠DCF=154°+26°=180°,
∴DE∥CF(同旁内角互补,两直线平行).
∴AB∥DE(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行).
因此此工件是合格的.
答案:合格
4.如图,有平面镜A与B,光线由水平方向射来,传播线路为a→b→c,已知a⊥b,b⊥c,∠1=∠3=35°,平面镜A与B有怎样的关系?
【解析】根据题意,a⊥b,b⊥c,∠1=∠3=35°,所以∠4=90°-35°=55°,∠2=
90°-35°=55°,所以∠2=∠4,所以平面镜A与平面镜B互相平行.
【互动探究】光线a与c有怎样的关系?
【解析】∵a⊥b,b⊥c,∴a∥c.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
如图,能判断AD∥BC的条件有　　　　　(填序号).
①∠1=∠2;②∠ADC+∠C=180°;
③∠EAD=∠ABC;④∠3=∠4.
(1)找错:第 步出现错误.
(2)纠错:
答案：(1)①④
(2)由∠1=∠2,可推出AB∥CD;由∠3=∠4,可推出AD∥BC,故答案为②③④.
试题训练及解析三
平行线的性质
1.(2013·衡阳中考)如图,AB∥CD,如果∠B=20°,那么∠C为　(　　)
A.40°　　　　 B.20°　　　　 C.60°　　　 　D.70°
【解析】选B.∠B与∠C是内错角,根据“两直线平行,内错角相等”可知∠C=∠B=20°.
2.(2013·襄阳中考)如图,BD平分∠ABC,CD∥AB,若∠BCD=70°,则∠ABD的度数为　(　　)
A.55°　　　 B.50°　　 C.45°　　 D.40°
【解析】选A.∵CD∥AB,∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠ABC=180°-∠BCD=110°.又BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠ABC=×110°=55°.
3.(2013·天水中考)如图所示,直线l1∥l2,则α的值为　(　　)
A.150°　 B.140°　 C.130°　 D.120°
【解析】选D.因为直线l1∥l2,所以130°角的同旁内角等于50°;又已知70°的角,可以知道这两个角的和是120°,所以其对顶角α的值是120°.
4.如图所示,易拉罐的上下底面互相平行,吸管吸易拉罐内的饮料时,∠1=110°,则∠2=　　　　.
【解析】如图,
∵∠1=110°,
∴∠3=∠1=110°,
∵易拉罐的上下底面互相平行,
∴∠2=180°-∠3=180°-110°=70°.
答案:70°
【变式训练】(2013·海门市二模)如图,一把矩形直尺沿直线断开并错位,点E,D,B,F在同一条直线上,若∠ADE=128°,则∠DBC的度数为　(　　)
A.52°　　 B.62°　　　 C.72°　　　 D.128°
【解析】选A.∵∠ADE=128°,
∴∠ADB=180°-∠ADE=52°,
因为直尺的两条边平行,即AD∥BC,
∴∠DBC=∠ADB=52°.
5.如图,点B,C,D在同一条直线上,CE∥AB,∠ACB=90°,如果∠ECD=36°,那么∠A=　　　　　　.
【解析】∵∠ECD=36°,∠ACB=90°,
∴∠ACD=90°,
∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=90°-36°=54°.
∵CE∥AB,∴∠A=∠ACE=54°.
答案:54°
6.如图,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EG平分∠BEF交CD于点G,∠1=50°,求∠2的度数.
【解析】∵AB∥CD,
∴∠1+∠BEF=180°,
又∵∠1=50°,
∴∠BEF=130°,
又∵EG平分∠BEF,
∴∠FEG=∠BEG=65°,
∵AB∥CD,
∴∠2=∠BEG=65°.
平行线的性质和判定的综合应用
1.(2013·无锡中考)下列说法中正确的是　(　　)
A.两直线被第三条直线所截得的同位角相等
B.两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补
C.两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直
D.两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直
【解析】选D.因为A,B选项中未有两直线平行的条件,所以同位角相等和同旁内角互补不成立;因为两直线平行,所以被截得的同位角相等,所以它们的一半也相等,构造图形观察出存在同位角相等,进而得到平行直线中同位角的平分线互相平行;因为两直线平行,所以被截得的同旁内角互补,构造图形观察出它们的一半互余,所以在三角形中可得另一个角是90°,从而得到平行直线中同旁内角的平分线互相垂直.
2.(2013·恩施中考)如图,∠1+∠2=180°,∠3=100°,则∠4等于　(　　)
A.70°　　 　　　　 B.80°　　
C.90°　　 　　　　 D.100°
【解析】选D.如图,∵∠1+∠2=180°,∠1+∠5=180°,∴∠2=∠5,∴a∥b,∴∠3=∠6.
∵∠4=∠6,∠3=100°,∴∠4=100°.
【变式训练】如图,∠1=82°,∠2=98°,∠3=80°,则∠4的度数为　　　　度.
【解析】∵∠5=∠2=98°,∠1=82°,∴∠1+∠5=180°,
∴a∥b,∴∠4=∠3=80°.
答案:80
3.(2013·重庆中考)如图,直线a,b,c,d,已知c⊥a,c⊥b,直线b,c,d交于一点,若∠1=50°,则∠2等于　(　　)
A.60° B.50° C.40° D.30°
【解析】选B.∵a⊥c,b⊥c,∴a∥b.∴∠2=∠1=50°.
4.如图所示,∠1=∠2,CF⊥AB,DE⊥AB,垂足分别为点F,点E,试判断FG与BC是否平行.
解:∵CF⊥AB,DE⊥AB(　　　　　　),
∴∠BED=90°,∠BFC=90°(　　　　　　　),
∴∠BED=∠BFC,∴ED∥FC(　　　　　　　),
∴∠1=∠BCF(　　　　　　　).
∵∠1=∠2(已知),
∴∠2=∠BCF(　　　　　　　),
∴FG∥BC(　　　　　　　).
【解析】∵CF⊥AB,DE⊥AB(已知),
∴∠BED=90°,∠BFC=90°(垂线的定义),
∴∠BED=∠BFC,
∴ED∥FC(同位角相等,两直线平行),
∴∠1=∠BCF(两直线平行,同位角相等).
∵∠1=∠2(已知),
∴∠2=∠BCF(等量代换),
∴FG∥BC(内错角相等,两直线平行).
答案:已知　垂线的定义　同位角相等,两直线平行　两直线平行,同位角相等　等量代换　内错角相等,两直线平行
5.如图,CD∥AB,∠DCB=70°,∠CBF=20°,∠EFB=130°,问直线EF与AB有怎样的位置关系?为什么?
【解析】EF∥AB.
∵CD∥AB,
∴∠ABC=∠DCB=70°(两直线平行,同位角相等),
又∵∠CBF=20°,
∴∠ABF=50°,
∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°,
∴EF∥AB(同旁内角互补,两直线平行).
【特别提醒】由两直线平行只能得到相应的同位角相等或内错角相等或同旁内角互补,而要判断两直线平行只能根据相应的同位角相等或内错角相等或同旁内角互补,因此正确识别“三线八角”是解决有关平行线问题的前提,不要混淆.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
如图,已知:∠1=∠2,∠D=50°,求∠B的度数.
(1)找错:从第 步开始出现错误.
(2)纠错:
答案：(1)①
(2)∠B+∠D=180°,不是已知条件,应先证明AB∥CD,再推出∠B+∠D=180°,
∵∠1=∠2,∴AB∥CD,以下的解法正确.