北京市房山区良乡二中2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2020·北京）正五边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】任意多边形的外角和都为 ，与边数无关
故答案为：B．
【分析】根据多边形的外角和定理即可得．
2．（2023八下·镇海区期中）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，A不符合题意；
B、是中心对称图形，B符合题意；
C、不是中心对称图形，C不符合题意；
D、不是中心对称图形，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.
3．（2023九上·房山开学考） 用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 方程，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据所给的方程，利用配方法求解即可。
4．（2019八下·沙雅期中）矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；
C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；
D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．
5．（2023九上·房山开学考）某工厂由于管理水平提高，生产成本逐月下降。原来每件产品的成本是元，两个月后降至元，若产品成本的月平均降低率为，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设产品成本的月平均降低率为，
∵ 原来每件产品的成本是元，两个月后降至元，
∴由题意可列方程：，
故答案为：A.
【分析】根据题意找出等量关系，列方程求解即可。
6．（2022八下·平谷期末）已知一次函数 ，那么下列结论正确的是（ ）
A．y 的值随 x 的值增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限
C．图象必经过点 D．当 时，y<0
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由于一次函数y=-x+2的k=-1<0，所以y的值随x的值增大而减小，故该选项不符合题意；
B、一次函数y=-x+2的k=-1<0，b=2>0，所以该函数过一、二、四象限，故该选项不符合题意；
C、将（0，2）代入y=-x+2中得2=0+2，等式成立，所以（0，2）在y=-x+2上，故该选项符合题意；
D、一次函数y=-x+2的k=-1<0，所以y的值随x的值增大而减小，所以当x<2时，y>0，故该选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系逐项判断即可。
7．（2023九上·房山开学考） 方差的统计含义：表示一组数据的每个数（ ）
A．偏离它的众数的差的平均值
B．偏离它的平均数的差的绝对值的平均值
C．偏离它的中位数的差的平方数的平均值
D．偏离它的平均数的差的平方数的平均值
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：方差的统计含义： 表示一组数据的每个数偏离它的平均数的差的平方数的平均值.
故答案为：D.
【分析】根据方差的定义对每个选项逐一判断求解即可。
8．（2023九上·房山开学考）下面的四个问题中都有两个变量：变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象的是（ ）
A．汽车从地匀速行驶到地，汽车的行驶路程与行驶时间
B．用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的一条边长与另一条边长
C．将水匀速注入水箱中，水箱中的水量与注水时间下x
D．在弹簧测力计的弹性范围内，弹簧挂重物伸长后的总长度与所挂重物质量
【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A.汽车行驶的路程y随行驶时间x的增加而增加，该选项不符合题意；
B：用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的一条边长随另一条边长的增加而减小，该选项符合题意；
C：将水匀速注入水箱中，水箱中的水量随注水时间x的增加而增加，该选项不符合题意；
D：在弹簧测力计的弹性范围内，弹簧挂重物伸长后的总长度随所挂重物质量的增加而增加，该选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据所给的函数图象，对每个选项逐一判断即可。
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9．（2023九上·房山开学考） 在平面直角坐标系中，点和点关于 轴对称．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 在平面直角坐标系中，点和点关于 y轴对称，
故答案为：y.
【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等判断求解即可。
10．（2023九上·房山开学考） 函数的定义域是 ．
【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解： 函数，
∴x-6≥0，
解得：x≥6，
即函数的定义域是x≥6，
故答案为：x≥6.
【分析】根据题意求出x-6≥0，再计算求解即可。
11．（2023九上·房山开学考） 如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形空地上围一个四边形花坛，已知点、分别是边、的中点，量得米，则的长是 米
【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点、分别是边、的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴，
∵BC=16米，
∴EF=8米，
故答案为：8.
【分析】根据题意先求出EF是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线求出，最后计算求解即可。
12．（2023九上·房山开学考） 已知关于的方程有一个根为，则的值为 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于的方程有一个根为，
∴1-3+a=0，
解得：a=2，
故答案为：2.
【分析】根据方差的根求出1-3+a=0，再计算求解即可。
13．（2023九上·房山开学考） 若关于的方程有两个相等的实数根，则 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴4-4m=0，
解得：m=1，
故答案为：1.
【分析】根据方程有两个相等的实数根求出4-4m=0，再计算求解即可。
14．（2023九上·房山开学考）九章算术是中国传统数学最重要的著作，在九章算术中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原处竹子尺远，则原处还有几尺的竹子？这个问题中，如果设原处还有尺的竹子，则可列方程为 注：丈尺
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解： 设原处还有尺的竹子，
由题意可列方程： ，
故答案为：.
【分析】根据题意找出等量关系列方程求解即可。
15．（2023九上·房山开学考） 下表记录了四名运动员米短跑几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加市运动会米短跑项目，应选择 ．
甲 乙 丙 丁
平均数(秒) 12.2 12.1 12.2 12.1
方差 6.3 5.2 5.8 6.1
【答案】乙
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由平均数可知乙运动员和丁运动员的成绩较好，
∵5.2＜6.1，
∴乙运动员比丁运动员发挥稳定，
∴应选择乙运动员参加市运动会米短跑项目，
故答案为：乙.
【分析】根据平均数求出乙运动员和丁运动员的成绩较好，再根据方差判断求解即可。
16．（2023九上·房山开学考） 如图，在 中，为的中点，点，为 同一边上任意两个不重合的动点不与端点重合，，的延长线分别与 的另一边交于点，，连接，，
下面四个推断：
；
；
若 是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；
对于任意的 ，存在无数个四边形是矩形；
其中，所有正确的有 填写序号
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接，，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
同理可得，
四边形是平行四边形，
，与不一定相等，故错误，正确，
若四边形是菱形，
，
点，为边上任意两个不重合的动点不与端点重合，
，
不存在四边形是菱形，故错误，
当时，则，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形，故正确，
故答案为：、．
【分析】利用平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形和矩形的判定方法等对每个推断逐一判断即可。
三、解答题（本大题共11小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023九上·房山开学考） 解方程：
（1）．
（2） ．
【答案】解：，移项得：，化简得：．两边开方得：，解得：，； ．
【答案】解：，移项得：，配方得：，即，开方得：，原方程的解是：，．
（1）解：，
移项得：，
化简得：．
两边开方得：，
解得：，；
（2）解：，
移项得：，
配方得：，
即，
开方得：，
原方程的解是：，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程求解即可。
18．（2023九上·房山开学考） 一次函数的图象经过点和．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）画出该函数的图象；
（3）结合图象回答：当时，的取值范围是 ．
【答案】（1）解：将和分别代入，得：
，
解得：，
这个一次函数的表达式为：；
（2）解：当时，，
函数图象过点和．
画出函数图象如图所示：
（3）x＞1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（3）根据（2）的图象可知： 当时，的取值范围是x＞1，
故答案为：x＞1.
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出函数图象过点和， 再作函数图象即可；
（3）根据（2）的函数图象判断求解即可。
19．（2023九上·房山开学考）在数学课上，老师布置任务：利用尺规“作以三点，，为顶点的平行四边形”．
小怀的作法如下：
分别连接线段，；
以点为圆心，长为半径，在上方作弧，以点为圆心，长为半径，在右侧作弧，两弧交于点；
分别连接线段，所以四边形就是所求作的平行四边形．
根据小怀的作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；
（2）完成下面的证明．
证明： ▲ ， ▲ ，
四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：，，
四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）利用平行四边形的判定方法求解即可。
20．（2023九上·房山开学考） 近日，某高校举办了一次以“中国梦青春梦”为主题的诗歌朗诵比赛，共有名学生参加．为了更好地了解本次比赛成绩的分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本，绘制的频数分布表与频数分布直方图的一部分如下每组分数段中的分数包括最低分，不包括最高分：
样本成绩频数分布表
分组分 频数 频率
合计
样本成绩频数分布直方图
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ，c= ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若成绩在分及以上均为“优秀”，请你根据抽取的样本数据，估计参加这次比赛的名学生中成绩优秀的有多少名？
【答案】（1）；；
（2）解：补全直方图如下：
（3）解：名，
答：估计参加这次比赛的名学生中成绩优秀的有名．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：d=4÷0.1=40；
∴a=2÷40=0.05，b=40×0.35=14，c=12÷40=0.30，
故答案为：0.05；14；0.30.
【分析】（1）根据图表中的数据计算求解即可；
（2）根据（1）所求补全频数分布直方图即可；
（3）根据题意求出 名， 即可作答。
21．（2023九上·房山开学考） 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为按要求画四边形，使它以为对角线，且四个顶点均落在格点上：
（1）在图1中画一个平行四边形；
（2）在图2中画一个矩形．
（3）在图3中画一个正方形．
【答案】（1）解：如图： 即为所求；
（2）解： 如图2 矩形即为所求；
（3）解：如图：正方形即为所求．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据题意作平行四边形即可；
（2）根据题意作矩形即可；
（3）根据题意作正方形即可。
22．（2023九上·房山开学考） 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于，求的取值范围．
【答案】（1）证明：，
方程总有两个实数根；
（2）解：，即，
，．
方程有一个根小于，
．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）利用因式分解法求出 ， 再解方程判断求解即可。
23．（2023九上·房山开学考） 如图，在高，宽的长方形墙面上有一块长方形装饰板图中阴影部分，装饰板的上面和左右两边都留有相同宽度的空白墙面若长方形装饰板的面积为，那么相同的宽度应该是多少米？
【答案】解：设相同的宽度为，
长方形装饰板的长为，宽为．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又，
，
．
答：相同的宽度应该是米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意先求出 ， 再解方程求解即可。
24．（2023九上·房山开学考） 如图， 的对角线、交于点，点是上一点，点在延长线上，且，与交于点．
（1）求证：；
（2）连结、，如果，且恰好是的中点，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中位线，
，
即；
（2）解：证明：如图所示：连接，
由得：，
，，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，
，
平行四边形是矩形．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出BO=DO，再求出OE 是的中位线， 最后证明求解即可；
（2）根据平行线的性质求出∠DFG=∠CEG， ， 再利用全等三角形的判定与性质以及矩形的判定方法证明求解即可。
25．（2023九上·房山开学考） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象向下平移得到一次函数，若平移后的函数图象经过点，
（1）求，的值；
（2）对于自变量的每一个值，一次函数，和，所对应的函数值分别记为，，，若当时，总有，请你直接写出n的取值范围．
【答案】（1）解：一次函数的图象向下平移得到一次函数，
，
一次函数的解析式为，
平移后的函数图象经过点，
，
；
（2）当或时，在的范围内，恒成立．
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：（2）函数与中，随的增大而增大，
在的范围内，，，
当时，函数中随的增大而增大，
在的范围内，，
在的范围内，恒成立，
，
解得：，
；
当时，函数中随的增大而减小，
在的范围内，，
在的范围内，恒成立，
，
解得：，
此时；
综上所述：当或时，在的范围内，恒成立．
【分析】（1）根据题意先求出 一次函数的解析式为， 再计算求解即可；
（2）根据题意先求出在的范围内，，，再分类讨论，列不等式组计算求解即可。
26．（2023九上·房山开学考）如图，正方形中，点在边上，延长至，连结，使，平分，交于点，连接、、．
（1）依题意补全图形；
（2）判断的形状，并证明；
（3）用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：如图，即为补全的图形；
（2）解：是等腰直角三角形，
证明：四边形是正方形，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，
，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）解：，
证明：如图，过点作于点，交的延长线于点，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
≌，
，
，，
平分，
，
如图，过点作于点，交的延长线于点，
由知：，，
，
，
，
四边形是矩形，
平分，
，
四边形是正方形，
，
同法≌，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；等腰直角三角形；作图-角的平分线；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据正方形的性质求出DC=DA，再利用全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定方法证明求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用矩形的判定与性质和全等三角形的判定与性质证明求解即可。
27．（2023九上·房山开学考） 在平面直角坐标系中，点，点，点，点，为四边形边上一点对于点给出如下定义：若，，点在轴下方，点关于原点的对称点为，我们称点为点关于点为直角顶点的“变换点”．
（1）在图中分别画出点关于点和点直角顶点的“变换点”、；
连结，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
（2）直线上存在点关于点为直角顶点的“变换点”，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：画出点关于点和点直角顶点的“变换点”、如图：
，证明如下：
过作轴于，如图：
，，，
≌，
，，
；
，关于原点对称，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）
【知识点】三角形全等及其性质；定义新运算；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（2）直线过定点，
由（1）知，点关于点为直角顶点的“变换点”坐标为，点关于点为直角顶点的“变换点”坐标为，
当直线过时，，
解得，
当直线过时，，
解得，
同理可得点关于点为直角顶点的“变换点”坐标为，点关于点为直角顶点的“变换点”坐标为，
当直线过时，，
解得，
当直线过时，，
解得，
的取值范围是．
【分析】（1）①根据题意作图即可；
②利用全等三角形的判定与性质，勾股定理等计算求解即可；
（2）分类讨论，结合题意，列方程计算求解即可。
1 / 1北京市房山区良乡二中2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2020·北京）正五边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
2．（2023八下·镇海区期中）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·房山开学考） 用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019八下·沙雅期中）矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
5．（2023九上·房山开学考）某工厂由于管理水平提高，生产成本逐月下降。原来每件产品的成本是元，两个月后降至元，若产品成本的月平均降低率为，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022八下·平谷期末）已知一次函数 ，那么下列结论正确的是（ ）
A．y 的值随 x 的值增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限
C．图象必经过点 D．当 时，y<0
7．（2023九上·房山开学考） 方差的统计含义：表示一组数据的每个数（ ）
A．偏离它的众数的差的平均值
B．偏离它的平均数的差的绝对值的平均值
C．偏离它的中位数的差的平方数的平均值
D．偏离它的平均数的差的平方数的平均值
8．（2023九上·房山开学考）下面的四个问题中都有两个变量：变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象的是（ ）
A．汽车从地匀速行驶到地，汽车的行驶路程与行驶时间
B．用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的一条边长与另一条边长
C．将水匀速注入水箱中，水箱中的水量与注水时间下x
D．在弹簧测力计的弹性范围内，弹簧挂重物伸长后的总长度与所挂重物质量
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9．（2023九上·房山开学考） 在平面直角坐标系中，点和点关于 轴对称．
10．（2023九上·房山开学考） 函数的定义域是 ．
11．（2023九上·房山开学考） 如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形空地上围一个四边形花坛，已知点、分别是边、的中点，量得米，则的长是 米
12．（2023九上·房山开学考） 已知关于的方程有一个根为，则的值为 ．
13．（2023九上·房山开学考） 若关于的方程有两个相等的实数根，则 ．
14．（2023九上·房山开学考）九章算术是中国传统数学最重要的著作，在九章算术中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原处竹子尺远，则原处还有几尺的竹子？这个问题中，如果设原处还有尺的竹子，则可列方程为 注：丈尺
15．（2023九上·房山开学考） 下表记录了四名运动员米短跑几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加市运动会米短跑项目，应选择 ．
甲 乙 丙 丁
平均数(秒) 12.2 12.1 12.2 12.1
方差 6.3 5.2 5.8 6.1
16．（2023九上·房山开学考） 如图，在 中，为的中点，点，为 同一边上任意两个不重合的动点不与端点重合，，的延长线分别与 的另一边交于点，，连接，，
下面四个推断：
；
；
若 是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；
对于任意的 ，存在无数个四边形是矩形；
其中，所有正确的有 填写序号
三、解答题（本大题共11小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023九上·房山开学考） 解方程：
（1）．
（2） ．
18．（2023九上·房山开学考） 一次函数的图象经过点和．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）画出该函数的图象；
（3）结合图象回答：当时，的取值范围是 ．
19．（2023九上·房山开学考）在数学课上，老师布置任务：利用尺规“作以三点，，为顶点的平行四边形”．
小怀的作法如下：
分别连接线段，；
以点为圆心，长为半径，在上方作弧，以点为圆心，长为半径，在右侧作弧，两弧交于点；
分别连接线段，所以四边形就是所求作的平行四边形．
根据小怀的作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；
（2）完成下面的证明．
证明： ▲ ， ▲ ，
四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
20．（2023九上·房山开学考） 近日，某高校举办了一次以“中国梦青春梦”为主题的诗歌朗诵比赛，共有名学生参加．为了更好地了解本次比赛成绩的分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本，绘制的频数分布表与频数分布直方图的一部分如下每组分数段中的分数包括最低分，不包括最高分：
样本成绩频数分布表
分组分 频数 频率
合计
样本成绩频数分布直方图
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ，c= ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若成绩在分及以上均为“优秀”，请你根据抽取的样本数据，估计参加这次比赛的名学生中成绩优秀的有多少名？
21．（2023九上·房山开学考） 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为按要求画四边形，使它以为对角线，且四个顶点均落在格点上：
（1）在图1中画一个平行四边形；
（2）在图2中画一个矩形．
（3）在图3中画一个正方形．
22．（2023九上·房山开学考） 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于，求的取值范围．
23．（2023九上·房山开学考） 如图，在高，宽的长方形墙面上有一块长方形装饰板图中阴影部分，装饰板的上面和左右两边都留有相同宽度的空白墙面若长方形装饰板的面积为，那么相同的宽度应该是多少米？
24．（2023九上·房山开学考） 如图， 的对角线、交于点，点是上一点，点在延长线上，且，与交于点．
（1）求证：；
（2）连结、，如果，且恰好是的中点，求证：四边形是矩形．
25．（2023九上·房山开学考） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象向下平移得到一次函数，若平移后的函数图象经过点，
（1）求，的值；
（2）对于自变量的每一个值，一次函数，和，所对应的函数值分别记为，，，若当时，总有，请你直接写出n的取值范围．
26．（2023九上·房山开学考）如图，正方形中，点在边上，延长至，连结，使，平分，交于点，连接、、．
（1）依题意补全图形；
（2）判断的形状，并证明；
（3）用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明．
27．（2023九上·房山开学考） 在平面直角坐标系中，点，点，点，点，为四边形边上一点对于点给出如下定义：若，，点在轴下方，点关于原点的对称点为，我们称点为点关于点为直角顶点的“变换点”．
（1）在图中分别画出点关于点和点直角顶点的“变换点”、；
连结，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
（2）直线上存在点关于点为直角顶点的“变换点”，直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】任意多边形的外角和都为 ，与边数无关
故答案为：B．
【分析】根据多边形的外角和定理即可得．
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，A不符合题意；
B、是中心对称图形，B符合题意；
C、不是中心对称图形，C不符合题意；
D、不是中心对称图形，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 方程，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据所给的方程，利用配方法求解即可。
4．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；
C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；
D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．
5．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设产品成本的月平均降低率为，
∵ 原来每件产品的成本是元，两个月后降至元，
∴由题意可列方程：，
故答案为：A.
【分析】根据题意找出等量关系，列方程求解即可。
6．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由于一次函数y=-x+2的k=-1<0，所以y的值随x的值增大而减小，故该选项不符合题意；
B、一次函数y=-x+2的k=-1<0，b=2>0，所以该函数过一、二、四象限，故该选项不符合题意；
C、将（0，2）代入y=-x+2中得2=0+2，等式成立，所以（0，2）在y=-x+2上，故该选项符合题意；
D、一次函数y=-x+2的k=-1<0，所以y的值随x的值增大而减小，所以当x<2时，y>0，故该选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系逐项判断即可。
7．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：方差的统计含义： 表示一组数据的每个数偏离它的平均数的差的平方数的平均值.
故答案为：D.
【分析】根据方差的定义对每个选项逐一判断求解即可。
8．【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A.汽车行驶的路程y随行驶时间x的增加而增加，该选项不符合题意；
B：用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的一条边长随另一条边长的增加而减小，该选项符合题意；
C：将水匀速注入水箱中，水箱中的水量随注水时间x的增加而增加，该选项不符合题意；
D：在弹簧测力计的弹性范围内，弹簧挂重物伸长后的总长度随所挂重物质量的增加而增加，该选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据所给的函数图象，对每个选项逐一判断即可。
9．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 在平面直角坐标系中，点和点关于 y轴对称，
故答案为：y.
【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等判断求解即可。
10．【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解： 函数，
∴x-6≥0，
解得：x≥6，
即函数的定义域是x≥6，
故答案为：x≥6.
【分析】根据题意求出x-6≥0，再计算求解即可。
11．【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点、分别是边、的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴，
∵BC=16米，
∴EF=8米，
故答案为：8.
【分析】根据题意先求出EF是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线求出，最后计算求解即可。
12．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于的方程有一个根为，
∴1-3+a=0，
解得：a=2，
故答案为：2.
【分析】根据方差的根求出1-3+a=0，再计算求解即可。
13．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴4-4m=0，
解得：m=1，
故答案为：1.
【分析】根据方程有两个相等的实数根求出4-4m=0，再计算求解即可。
14．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解： 设原处还有尺的竹子，
由题意可列方程： ，
故答案为：.
【分析】根据题意找出等量关系列方程求解即可。
15．【答案】乙
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由平均数可知乙运动员和丁运动员的成绩较好，
∵5.2＜6.1，
∴乙运动员比丁运动员发挥稳定，
∴应选择乙运动员参加市运动会米短跑项目，
故答案为：乙.
【分析】根据平均数求出乙运动员和丁运动员的成绩较好，再根据方差判断求解即可。
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接，，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
同理可得，
四边形是平行四边形，
，与不一定相等，故错误，正确，
若四边形是菱形，
，
点，为边上任意两个不重合的动点不与端点重合，
，
不存在四边形是菱形，故错误，
当时，则，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形，故正确，
故答案为：、．
【分析】利用平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形和矩形的判定方法等对每个推断逐一判断即可。
17．【答案】解：，移项得：，化简得：．两边开方得：，解得：，； ．
【答案】解：，移项得：，配方得：，即，开方得：，原方程的解是：，．
（1）解：，
移项得：，
化简得：．
两边开方得：，
解得：，；
（2）解：，
移项得：，
配方得：，
即，
开方得：，
原方程的解是：，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程求解即可。
18．【答案】（1）解：将和分别代入，得：
，
解得：，
这个一次函数的表达式为：；
（2）解：当时，，
函数图象过点和．
画出函数图象如图所示：
（3）x＞1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（3）根据（2）的图象可知： 当时，的取值范围是x＞1，
故答案为：x＞1.
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出函数图象过点和， 再作函数图象即可；
（3）根据（2）的函数图象判断求解即可。
19．【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：，，
四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）利用平行四边形的判定方法求解即可。
20．【答案】（1）；；
（2）解：补全直方图如下：
（3）解：名，
答：估计参加这次比赛的名学生中成绩优秀的有名．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：d=4÷0.1=40；
∴a=2÷40=0.05，b=40×0.35=14，c=12÷40=0.30，
故答案为：0.05；14；0.30.
【分析】（1）根据图表中的数据计算求解即可；
（2）根据（1）所求补全频数分布直方图即可；
（3）根据题意求出 名， 即可作答。
21．【答案】（1）解：如图： 即为所求；
（2）解： 如图2 矩形即为所求；
（3）解：如图：正方形即为所求．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据题意作平行四边形即可；
（2）根据题意作矩形即可；
（3）根据题意作正方形即可。
22．【答案】（1）证明：，
方程总有两个实数根；
（2）解：，即，
，．
方程有一个根小于，
．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）利用因式分解法求出 ， 再解方程判断求解即可。
23．【答案】解：设相同的宽度为，
长方形装饰板的长为，宽为．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又，
，
．
答：相同的宽度应该是米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意先求出 ， 再解方程求解即可。
24．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中位线，
，
即；
（2）解：证明：如图所示：连接，
由得：，
，，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，
，
平行四边形是矩形．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出BO=DO，再求出OE 是的中位线， 最后证明求解即可；
（2）根据平行线的性质求出∠DFG=∠CEG， ， 再利用全等三角形的判定与性质以及矩形的判定方法证明求解即可。
25．【答案】（1）解：一次函数的图象向下平移得到一次函数，
，
一次函数的解析式为，
平移后的函数图象经过点，
，
；
（2）当或时，在的范围内，恒成立．
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：（2）函数与中，随的增大而增大，
在的范围内，，，
当时，函数中随的增大而增大，
在的范围内，，
在的范围内，恒成立，
，
解得：，
；
当时，函数中随的增大而减小，
在的范围内，，
在的范围内，恒成立，
，
解得：，
此时；
综上所述：当或时，在的范围内，恒成立．
【分析】（1）根据题意先求出 一次函数的解析式为， 再计算求解即可；
（2）根据题意先求出在的范围内，，，再分类讨论，列不等式组计算求解即可。
26．【答案】（1）解：如图，即为补全的图形；
（2）解：是等腰直角三角形，
证明：四边形是正方形，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，
，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）解：，
证明：如图，过点作于点，交的延长线于点，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
≌，
，
，，
平分，
，
如图，过点作于点，交的延长线于点，
由知：，，
，
，
，
四边形是矩形，
平分，
，
四边形是正方形，
，
同法≌，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；等腰直角三角形；作图-角的平分线；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据正方形的性质求出DC=DA，再利用全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定方法证明求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用矩形的判定与性质和全等三角形的判定与性质证明求解即可。
27．【答案】（1）解：画出点关于点和点直角顶点的“变换点”、如图：
，证明如下：
过作轴于，如图：
，，，
≌，
，，
；
，关于原点对称，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）
【知识点】三角形全等及其性质；定义新运算；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（2）直线过定点，
由（1）知，点关于点为直角顶点的“变换点”坐标为，点关于点为直角顶点的“变换点”坐标为，
当直线过时，，
解得，
当直线过时，，
解得，
同理可得点关于点为直角顶点的“变换点”坐标为，点关于点为直角顶点的“变换点”坐标为，
当直线过时，，
解得，
当直线过时，，
解得，
的取值范围是．
【分析】（1）①根据题意作图即可；
②利用全等三角形的判定与性质，勾股定理等计算求解即可；
（2）分类讨论，结合题意，列方程计算求解即可。
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