13.3.2 等边三角形一课一练（含解析）

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13.3.2 等边三角形一课一练
一、填空题
1．如上图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C，若PC=6，则PD=　 　
二、单选题
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA，BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则下列说法中不正确的是（　　）
A．BP是∠ABC的平分线 B．AD=BD
C． D．CD=BD
3．如图，在中，，则的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．16
4．若等边△ABC的边长为2，那么△ABC的面积为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2，则AC长为（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
6．如图，在中，，，，点D是边AC的中点，点E是边AB的中点，则的周长是（　　）
A．6 B． C． D．
三、解答题
7．如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，求∠APE的度数.
四、作图题
8．如图，已知在△ABC中，∠A=90°
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作 图痕迹，不写作法和证明）．
（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．
五、综合题
9．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是60°．△ABC是等边三角形，点D在BC所在直线上运动，连接AD，在AD所在直线的右侧作∠DAE=60°，交△ABC的外角∠ACF的角平分线所在直线于点E．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，请你猜想AD与AE的大小关系，并给出证明；
（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，依据题意补全图形，请问上述结论还成立吗？请说明理由．
六、实践探究题
10．根据要求回答问题：
（1）已知：等边△ABC的边长为4，点P在线段AB上，点D在线段AC上，且△PDE为等边三角形，当点P与点B重合时（如图1），AD+AE的值为　 　；
（2）[类比探究]在上面的问题中，如果把点P沿BA方向移动，使PB=1，其余条件不变（如图2），AD+AE的值是多少？请写出你的计算过程；
（3）[拓展迁移]如图3，△ABC中，AB=BC，∠ABC=a，点P在线段BA延长线上，点D在线段CA延长线上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=a，设AP=m，则线段AD、AE有怎样的等量关系？请用含m，a的式子直接写出你的结论．
答案解析部分
1．【答案】3
【解析】【解答】如图，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP＝15°．
∵PC∥OB，
∴∠BOP＝∠OPC＝15°，
∴∠PCE＝∠AOP＋∠OPC＝15°＋15°＝30°，
又∵PC＝6，
∴PE＝PC＝3，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB于D，PE⊥OA于E，
∴PD＝PE＝3，
故答案为3．
【分析】过点P作PE⊥OA于E，先求出∠PCE＝∠AOP＋∠OPC＝15°＋15°＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得PE＝PC＝3，再根据PD=PE即可得到答案。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：根据作图可得BD平分∠ABC，故A正确；
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝30°＝∠A，
∴AD＝BD，故B正确；
∵∠CBD＝∠ABC＝30°，
∴BD＝2CD，故D；
∴AD＝2CD，
∴S△ABD＝2S△CBD，故C错误．
故答案为：C．
【分析】根据作图即可判断A，根据角平分线的性质即可判断B，根据含30度角的直角三角形的性质，即可判断CD，
3．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
过点C作CD⊥AB交BA的延长线于D，
∵∠B＝∠ACB＝15°，AB＝AC＝4，
∴∠CAD＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°，
∴CD＝AC＝×4＝2，
∴△ABC的面积＝AB CD＝×4×2＝4，
故答案为：A.
【分析】过点C作CD⊥AB交BA的延长线于D，先求出∠CAD＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求出CD的长，最后利用三角形的面积公式可得答案。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，交BC于点D，如图，
因为是等边三角形，
所以可知BD=CD= BC=1，
在Rt△ABD中，由勾股定理可知AD= ，
所以 ，
故选：A．
【分析】利用等边三角形的三线合一，作出一边上的高，再利用勾股定理求出高的长度，即可计算出三角形的面积．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2，
∴AC= AB=1．
故选C．
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AC= AB=1．
6．【答案】B
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，
则，
即．
∵点D，E是AC，AB的中点，
∴AD=2，，DE是△ABC的中位线，
∴，，
∴DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴BD=AD=2，
∴△BDE的周长=．
故答案为：B．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=2BC=4，利用勾股定理求出AB的长，再结合DE是AB的垂直平分线，可得BD=AD=2，最后利用三角形的周长公式计算即可。
7．【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°.
在△ABD和△BCE中， ，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE.
∵∠APE＝∠ABP＋∠BAP，
∴∠APE＝∠ABP＋∠CBE＝∠ABC＝60°.
【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，根据“SAS”可得△ABD≌△BCE，可得∠BAD＝∠CBE.根据三角形外角的性质可得∠APE＝∠ABP＋∠BAP=∠ABP＋∠CBE＝∠ABC，从而求出结论.
8．【答案】（1）解：如图所示，则⊙P为所求作的圆．
（2）解：∵∠B=60°，BP平分∠ABC，
∴∠ABP=30°， ∴AP= ，∴S⊙P=3π
【解析】【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，作出∠ABC的角平分线，交AC于点P，以点P为圆心，PA的长为半径，画圆，该圆就是所求的圆；
（2）根据角平分线的定义得出∠ABP=30°，根据含30 直角三角形的边之间的关系得出AP 的长，再根据圆的面积计算方法即可算出答案。
9．【答案】（1）结论：AD=AE．
理由：如图，在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，BA=BC．
∴△BMD是等边三角形，∠BMD=60°．∠AMD=120°．
∵CE是外角∠ACF的平分线，
∴∠ECA=60°，∠DCE=120°．
∴∠AMD=∠DCE．
∵∠ADE=∠B=60°，∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B
∴∠1=∠2．
又∵BA-BM=BC-BD，即MA=CD．
在△AMD和△DCE中，
，
∴△AMD≌△DCE（ASA）．
∴AD=DE．
（2）正确．
证明：延长BA到M，使AM=CD，
与（1）相同，可证△BDM是等边三角形，
∵∠CDE=∠ADB+∠ADE=∠ADB+60°，
∠MAD=∠B+∠ADB=∠ADB+60°，
∴∠CDE=∠MAD，
同理可证，△AMD≌△DCE，
∴AD=DE．
【解析】【分析】（1）在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD．则△BDM是等边三角形，则易证AM=DC，根据ASA即可证得△AMD≌△DCE（ASA），根据全等三角形的对应边相等，即可证得；（2）延长BA到M，使AM=CD，与（1）相同，可证△BDM是等边三角形，然后证明△AMD≌△DCE（ASA），根据全等三角形的对应边相等，即可证得．
10．【答案】（1）4
（2）解：AD+AE=3
理由：如图2中，作PK∥BC交AC于K．连接AE．
易证△PAK是等边三角形，
由上面题目可知．AE+AD=AK=3
（3）解：如图3中，作PJ⊥AD于J，在AD上取一点K，使得PK=PA．
易证∠APK=∠DPE=α，
∵PD=PE，PK=PA，
∴∠DPK=∠EPA，
∴△PDK≌△PEA，
∴DK=AE，
∴AD﹣AE=AK=2AJ=2 m sin ．
∴AD﹣AE=2m sin
【解析】【解答】（1）解：如图1中，
∵△PDE．△PAC都是等边三角形，
∴PE=PD，PA=PC，∠EPD=∠APC=60°，
∴∠EPA=∠DPC，
∴△EPA≌△DPC，
∴AE=CD，
∴AD+AE=AD+DC=AC=4．
【分析】（1）只要证明△EPA≌△DPC，即可推出AE=CD，可得AD+AE=AD+DC=AC=4；（2）[类比探究]：如图2中，作PK∥BC交AC于K．连接AE．利用（1）中的结论即可解决问题；（3）[拓展迁移]：如图3中，作PJ⊥AD于J，在AD上取一点K，使得PK=PA．由△PDK≌△PEA，推出DK=AE，推出AD﹣AE=AK=2AJ=2 m sin 即可解决问题；
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