13.4 课题学习 最短路径问题一课一练（含解析）
文档属性
| 名称 | 13.4 课题学习 最短路径问题一课一练（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 787.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-29 11:05:20 | ||
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文档简介
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13.4课题学习 最短路径问题一课一练
一、单选题
1．如图，中，，垂直平分，点P为直线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
2．数学课上，老师提出如下问题：
如图1，点P、Q是直线l同侧的两点，请你在直线l上确定一个点R.使 的周长最小.小明的作法如下，如图2：
（ 1 ）作点Q关于直线l的对称点 ；
（ 2 ）连接 ，交直线l于点R；
（ 3 ）连接RQ、PQ.
那么点R就是使 的周长最小的点.
老师说，小明的做法正确.接着.老师问同学们，小明这种作法应用了哪些我们学过的定理呢？有四位同学分别说了一个定理，下面的A，B，C，D四个答案分别代表了四个同学所说的定理，其中小明没有应用到的定理是（ ）
A．如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线
B．等腰三角形底边上的高也是顶角的角平分线
C．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
D．两点之间，线段最短
3．已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α＝（ ）．
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到海岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ）
A．750 米 B．1500米 C．500 米 D．1000米
5．如图， 直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 、 分别为线段 、 的中点， 点 为 上一动点， 当 最小时， 点 的坐标为
A． B． C． ， D． ，
二、填空题
6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，点B在y轴上运动，以为边作等腰，（点A，B，C按照顺时针排列），当点B在y轴上运动时，点C也随之运动．在点C的运动过程中，的最小值为 ．
三、解答题
7．如图要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线图（2）问题就转化为要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点 ；
②连接 交直线l于点P，则点P即为所求.
请你参考小明的做法解决下列问题：
如图（3），在 ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使 的周长最小.
四、作图题
8．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为(-1，5)。
（1）若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A'B'C'，并写出B'的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，并求最小值。
五、综合题
9．如图，在平面直角坐标系中完成下列各题：（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图一中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出A1、B1、C1的坐标．
（2）在图二中x轴上画出点P，使PA+PB的值最小．
10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，AC＝10，CD是角平分线.
（1）如图1，若E是AC边上的一个定点，在CD上找一点P，使PA+PE的值最小；
（2）如图2，若E是AC边上的一个动点，在CD上找一点P，使PA+PE的值最小，并直接写出其最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴关于对称，
设交于D，
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
的最小值是5.
故答案为：B．
【分析】设交于D，当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，再求解即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：作点Q关于直线l的对称点 ，可得直线l是 的垂直平分线，用到定理为：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线，故A不符合题意；
由 ，用到的定理为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，故C不符合题意；
从而得出QR＋PR= ＋PR
根据两点之间线段最短，可得 的长即为QR＋PR的最小值，故D不符合题意；
没有用到B选项定理，故B符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质可得直线l是 的垂直平分线，从而判断A选项；然后得出 ，从而判断C选项；最后根据两点之间线段最短可得 的长即为QR＋PR的最小值，从而判断D选项，即可得出结论.
3．【答案】A
【解析】解答：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．
连接OC，OD，PE，PF．
∵点P与点C关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，
同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．
∴∠COA＋∠DOB＝∠AOP＋∠BOP＝∠AOB＝α，OC＝OD＝OP＝2，
∴∠COD＝2α．
又∵△PEF的周长＝PE＋EF＋FP＝CE＋EF＋FD＝CD＝2，
∴OC＝OD＝CD＝2，
∴△COD是等边三角形，
∴2α＝60°，
∴α＝30°．
故选A．
分析：设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE＋EF＋FP＝CD，此时周长最小，根据CD＝2可求出α的度数．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：作出A的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长．
由题意：AC=BD，所以A′C=BD，
所以CM=DM，M为CD的中点，
易得△A′CM≌△BDM，
∴A′M=BM
由于A到河岸CD的中点的距离为500米，
所以A′到M的距离为500米，
A′B=2A′M=1000米．
故最短距离是1000米．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接A′B，得到最短距离为A′B，再根据全等三角形的性质和A到河岸CD的中点的距离为500米，即可求出A'B的值．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：（方法一）如图所示
作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，
令y= x+4中x=0，则y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y= x+4中y=0，则 x+4=0，解得：x=-6，
∴点A的坐标为（-6，0）．
∵点C、D分别为线段A
B、OB的中点，
∴点C（-3，2），点D（0，2）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，-2）．
设直线CD′的解析式为y=kx+b，
∵直线CD′过点C（-3，2），D′（0，-2），
∴有 ，解得： ，
∴直线CD′的解析式为y= ，
令y= 中y=0，则0= 解得：x= ，
∴点P的坐标为 .
故答案为：C．
（方法二）如图所示
连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，
令y= 中x=0，则y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y= 中y=0，则 =0，解得：x=-6，
∴点A的坐标为（-6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（-3，2），点D（0，2），CD∥x轴，
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，-2），点O为线段DD′的中点．
又∵OP∥CD，
∴点P为线段CD′的中点，
∴点P的坐标为（ ）.
故答案为：C．
【分析】（方法一）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．
（方法二）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．
6．【答案】
【解析】【解答】如图，过点A作直线l⊥x轴，过C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E，
∵∠DCA+∠CAD=90°，∠EAB+∠CAD=180°-90°=90°，
∴∠DCA=∠EAB，
又∵∠CDA=∠AEB=90°，AB=AC，
∴ CDA≌ AEB（AAS），
∴BE=AD，
∵，
∴AD=BE=OA=3，
作点A关于CD的对称点A′，连接
，则点
在直线l上，
，
，
∴，
∵在 COA′中，
∴当O，C，A′三点共线时，
有最小值=OA′，此时，OA′=
，
∴最小值=
．
故答案是：
．
【分析】过点A作直线l⊥x轴，过C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E，再利用“AAS”证明 CDA≌ AEB可得BE=AD，再作点A关于CD的对称点A′，连接
，则点
在直线l上，
，
，当O，C，A′三点共线时，
有最小值=OA′，此时，OA′=
，即可得到答案。
7．【答案】解：如图所示：
的周长
为 的中位线
，DE为定值
要使 的周长最小
则 的和最小
根据小明的做法，
过点D作关于BC的对称点F，连接EF与线段BC交于P点，
则此时 的和最小，此时 的周长最小.
【解析】【分析】由于DE为定值，只需 的和最小，根据材料提供的方法作图即可，过点D作关于BC的对称点F，连接EF与线段BC交于P点.
8．【答案】（1）解：△A'B'C'如图所示，点B'的坐标为（3，-2）；
（2）解：作点A关于x轴的对称点A1，
∴A1的坐标为（-4，-4），
连接BA1，交x轴于点P，则PA+PB=PA1+PB=BA1，点P即为所求.
此时PA+PB的值最小，
最小值=.
【解析】【分析】（1）分别作出A、B、C的对应点A'、B'、C'，顺次连接各顶点即可；
（2）作点A关于x轴的对称点A1，连接BA1，交x轴于点P，根据两点之间线段最短，点P即为所求. 把线段BA1放到两直角边分别为5和2个单位长度的直角三角形中，作为斜边，因此BA1即为 PA+PB 的最小值，长度为.
9．【答案】（1）解：如图一所示；
，
由图可知，A1（﹣1，2），B1（﹣3，1），C1（2，﹣1）
（2）解：如图二所示．
【解析】【分析】（1）画出各点关于y轴的对称点，再顺次连接并写出各点坐标即可；（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则点P即为所求点．
10．【答案】（1）解：如图，
过D作DF⊥BC于F，过F作EF⊥AC交CD于P，
则此时，PA+PE的值最小；
点P即为所求
（2）解：如图，过D作DF⊥BC于F，过F作EF⊥AC交CD于P，
则此时，PA+PE的值最小；
PA+PE的最小值＝EF，
∵CD是角平分线，∠BAC＝90°，
∴DA＝DF，
即点A与点F关于CD对称，
∴CF＝AC＝10，
∵∠ACB＝30°，
∴EF＝ CF＝5.
【解析】【分析】（1） 过D作DF⊥BC于F，过F作EF⊥AC交CD于P， 由轴对称的性质可知： 此时PA+PE的值最小，即点P为所求 ；
（2）过D作DF⊥BC于F，过F作EF⊥AC交CD于P，由（1）知此时PA+PE的值最小，由角平分线的性质可得DA＝DF，由轴对称的性质可得 CF＝AC，再根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可求解.
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13.4课题学习 最短路径问题一课一练
一、单选题
1．如图，中，，垂直平分，点P为直线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
2．数学课上，老师提出如下问题：
如图1，点P、Q是直线l同侧的两点，请你在直线l上确定一个点R.使 的周长最小.小明的作法如下，如图2：
（ 1 ）作点Q关于直线l的对称点 ；
（ 2 ）连接 ，交直线l于点R；
（ 3 ）连接RQ、PQ.
那么点R就是使 的周长最小的点.
老师说，小明的做法正确.接着.老师问同学们，小明这种作法应用了哪些我们学过的定理呢？有四位同学分别说了一个定理，下面的A，B，C，D四个答案分别代表了四个同学所说的定理，其中小明没有应用到的定理是（ ）
A．如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线
B．等腰三角形底边上的高也是顶角的角平分线
C．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
D．两点之间，线段最短
3．已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α＝（ ）．
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到海岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ）
A．750 米 B．1500米 C．500 米 D．1000米
5．如图， 直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 、 分别为线段 、 的中点， 点 为 上一动点， 当 最小时， 点 的坐标为
A． B． C． ， D． ，
二、填空题
6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，点B在y轴上运动，以为边作等腰，（点A，B，C按照顺时针排列），当点B在y轴上运动时，点C也随之运动．在点C的运动过程中，的最小值为 ．
三、解答题
7．如图要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线图（2）问题就转化为要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点 ；
②连接 交直线l于点P，则点P即为所求.
请你参考小明的做法解决下列问题：
如图（3），在 ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使 的周长最小.
四、作图题
8．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为(-1，5)。
（1）若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A'B'C'，并写出B'的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，并求最小值。
五、综合题
9．如图，在平面直角坐标系中完成下列各题：（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图一中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出A1、B1、C1的坐标．
（2）在图二中x轴上画出点P，使PA+PB的值最小．
10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，AC＝10，CD是角平分线.
（1）如图1，若E是AC边上的一个定点，在CD上找一点P，使PA+PE的值最小；
（2）如图2，若E是AC边上的一个动点，在CD上找一点P，使PA+PE的值最小，并直接写出其最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴关于对称，
设交于D，
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
的最小值是5.
故答案为：B．
【分析】设交于D，当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，再求解即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：作点Q关于直线l的对称点 ，可得直线l是 的垂直平分线，用到定理为：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线，故A不符合题意；
由 ，用到的定理为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，故C不符合题意；
从而得出QR＋PR= ＋PR
根据两点之间线段最短，可得 的长即为QR＋PR的最小值，故D不符合题意；
没有用到B选项定理，故B符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质可得直线l是 的垂直平分线，从而判断A选项；然后得出 ，从而判断C选项；最后根据两点之间线段最短可得 的长即为QR＋PR的最小值，从而判断D选项，即可得出结论.
3．【答案】A
【解析】解答：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．
连接OC，OD，PE，PF．
∵点P与点C关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，
同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．
∴∠COA＋∠DOB＝∠AOP＋∠BOP＝∠AOB＝α，OC＝OD＝OP＝2，
∴∠COD＝2α．
又∵△PEF的周长＝PE＋EF＋FP＝CE＋EF＋FD＝CD＝2，
∴OC＝OD＝CD＝2，
∴△COD是等边三角形，
∴2α＝60°，
∴α＝30°．
故选A．
分析：设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE＋EF＋FP＝CD，此时周长最小，根据CD＝2可求出α的度数．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：作出A的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长．
由题意：AC=BD，所以A′C=BD，
所以CM=DM，M为CD的中点，
易得△A′CM≌△BDM，
∴A′M=BM
由于A到河岸CD的中点的距离为500米，
所以A′到M的距离为500米，
A′B=2A′M=1000米．
故最短距离是1000米．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接A′B，得到最短距离为A′B，再根据全等三角形的性质和A到河岸CD的中点的距离为500米，即可求出A'B的值．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：（方法一）如图所示
作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，
令y= x+4中x=0，则y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y= x+4中y=0，则 x+4=0，解得：x=-6，
∴点A的坐标为（-6，0）．
∵点C、D分别为线段A
B、OB的中点，
∴点C（-3，2），点D（0，2）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，-2）．
设直线CD′的解析式为y=kx+b，
∵直线CD′过点C（-3，2），D′（0，-2），
∴有 ，解得： ，
∴直线CD′的解析式为y= ，
令y= 中y=0，则0= 解得：x= ，
∴点P的坐标为 .
故答案为：C．
（方法二）如图所示
连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，
令y= 中x=0，则y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y= 中y=0，则 =0，解得：x=-6，
∴点A的坐标为（-6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（-3，2），点D（0，2），CD∥x轴，
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，-2），点O为线段DD′的中点．
又∵OP∥CD，
∴点P为线段CD′的中点，
∴点P的坐标为（ ）.
故答案为：C．
【分析】（方法一）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．
（方法二）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．
6．【答案】
【解析】【解答】如图，过点A作直线l⊥x轴，过C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E，
∵∠DCA+∠CAD=90°，∠EAB+∠CAD=180°-90°=90°，
∴∠DCA=∠EAB，
又∵∠CDA=∠AEB=90°，AB=AC，
∴ CDA≌ AEB（AAS），
∴BE=AD，
∵，
∴AD=BE=OA=3，
作点A关于CD的对称点A′，连接
，则点
在直线l上，
，
，
∴，
∵在 COA′中，
∴当O，C，A′三点共线时，
有最小值=OA′，此时，OA′=
，
∴最小值=
．
故答案是：
．
【分析】过点A作直线l⊥x轴，过C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E，再利用“AAS”证明 CDA≌ AEB可得BE=AD，再作点A关于CD的对称点A′，连接
，则点
在直线l上，
，
，当O，C，A′三点共线时，
有最小值=OA′，此时，OA′=
，即可得到答案。
7．【答案】解：如图所示：
的周长
为 的中位线
，DE为定值
要使 的周长最小
则 的和最小
根据小明的做法，
过点D作关于BC的对称点F，连接EF与线段BC交于P点，
则此时 的和最小，此时 的周长最小.
【解析】【分析】由于DE为定值，只需 的和最小，根据材料提供的方法作图即可，过点D作关于BC的对称点F，连接EF与线段BC交于P点.
8．【答案】（1）解：△A'B'C'如图所示，点B'的坐标为（3，-2）；
（2）解：作点A关于x轴的对称点A1，
∴A1的坐标为（-4，-4），
连接BA1，交x轴于点P，则PA+PB=PA1+PB=BA1，点P即为所求.
此时PA+PB的值最小，
最小值=.
【解析】【分析】（1）分别作出A、B、C的对应点A'、B'、C'，顺次连接各顶点即可；
（2）作点A关于x轴的对称点A1，连接BA1，交x轴于点P，根据两点之间线段最短，点P即为所求. 把线段BA1放到两直角边分别为5和2个单位长度的直角三角形中，作为斜边，因此BA1即为 PA+PB 的最小值，长度为.
9．【答案】（1）解：如图一所示；
，
由图可知，A1（﹣1，2），B1（﹣3，1），C1（2，﹣1）
（2）解：如图二所示．
【解析】【分析】（1）画出各点关于y轴的对称点，再顺次连接并写出各点坐标即可；（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则点P即为所求点．
10．【答案】（1）解：如图，
过D作DF⊥BC于F，过F作EF⊥AC交CD于P，
则此时，PA+PE的值最小；
点P即为所求
（2）解：如图，过D作DF⊥BC于F，过F作EF⊥AC交CD于P，
则此时，PA+PE的值最小；
PA+PE的最小值＝EF，
∵CD是角平分线，∠BAC＝90°，
∴DA＝DF，
即点A与点F关于CD对称，
∴CF＝AC＝10，
∵∠ACB＝30°，
∴EF＝ CF＝5.
【解析】【分析】（1） 过D作DF⊥BC于F，过F作EF⊥AC交CD于P， 由轴对称的性质可知： 此时PA+PE的值最小，即点P为所求 ；
（2）过D作DF⊥BC于F，过F作EF⊥AC交CD于P，由（1）知此时PA+PE的值最小，由角平分线的性质可得DA＝DF，由轴对称的性质可得 CF＝AC，再根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可求解.
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