23.1 图形的旋转 提升练习（含解析）2023-2024学年人教版九年级数学上册

23.1 图形的旋转（提升练习）
一．选择题
1．下列图形分别绕某个点旋转120°后不能与自身重合的是（　　）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，将点P（4，3）绕原点旋转180°后，得到对应点Q的坐标是（　　）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，3） C．（3，4） D．（﹣4，﹣3）
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且AB＝CB′，则∠C′的度数为（　　）
A．18° B．20° C．24° D．28°
4．如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为（2，0），以点O为旋转中心，把△OAB逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（　　）
A．（﹣1，） B．（，﹣1） C．（﹣，1） D．（﹣2，1）
5．如图，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转到平行四边形A′B′C′D′的位置，使点B'落在BC上，B′C′与CD交于点E，若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．1
6．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．则下列结论不正确的是（　　）
A．∠EAF＝45° B．△EBF为等腰直角三角形
C．AE平分∠DAF D．BE+CD＞ED
第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
7．如图，在4×4的正方形网格中，△MPN绕某点旋转一定的角度，得到△M'P'N'，其旋转中心是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
8．如图，在等边三角形ABC中，点P是△ABC内一点，PA＝3，PB＝5，PC＝4，则∠CPA的度数为（　　）
A．160° B．155° C．150° D．145°
9．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2023次得到正方OA2023B2023C2023，如果点A的坐标为（1，0），那么B2023的坐标为（　　）
A．（1，1） B． C． D．（﹣1，﹣1）
10．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OC＝5，OB＝4，将线段BO以点B为旋转中心，逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
②点O与O′的距离为4；
③∠AOB＝150°；
④；
其中结论正确有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
11．如图，C为线段BE上一动点（不与点B，E重合），在BE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE、BD与AE交于点P，BD与AC交于点M，AE与CD交于点N，连结MN．以下四个结论：①CM＝CN；②∠APB＝60°；③PA+PC＝PB；④PC平分∠BPE，恒成立的结论有（　　）
A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．①④
12．如图，已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转n°（0＜n＜∠BAC）得到△ADE，AD交于点F，DE交BC，AC于点G，H，则以下结论：
①△ABF≌△AEH；
②连接AG，FH，则AG⊥FH；
③当AD⊥BC时，DF的长度最大；
④当H点是DE的中点时，四边形AFGH的面积等于AF×GH．
其中正确的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．5个 D．1个
二．填空题
13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠C＝25°，将△ABC绕点B逆时针旋转至△DBE且点A的对应点D落在CA延长线上，则∠CBE＝　 　．
14．如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：
①OD＝OE；
②S△ODE＝S△BDE；
③四边形ODBE的面积始终等于；
④△BDE周长的最小值为6．
上述结论中正确的有　 　（写出序号）．
15．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（﹣3，2），OA＝1，将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C，则点C的坐标是 　 　．
16．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝6，AD＝2AB，则BD的长为 　 　．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E＝　 　．
18．如图，在正方形ABCD中，PA＝1，PB＝2，PC＝3，则∠APB 的度数为 　 　．
三．解答题
19．如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，且点O的对应点C落在OB上．
（1）求∠OAC的度数；
（2）求点D的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转α度的角，得到矩形CFED，设FC与AB交于点H，且A（0，4）、C（8，0）．
（1）当α＝60°时，△CBD的形状是　 　．
（2）当AH＝HC时，求直线FC的解析式．
21．如图，四边形OAFB，OCED均为正方形，OA＝，OC＝5．
（1）连接DB，AC，试判断AC与DB之间的数及关系和位置关系，并说明理由．
（2）在正方形OAFB绕点O旋转的过程中，（1）的结论依旧成立，当A，B，D三点共线时，求BC的长．
22．如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与点A．C重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．
（1）连接CQ，求证：AP＝CQ；
（2）若正方形的边长为4，且PC＝3AP，求线段AP的长．
23．如图所示，点P的坐标为（1，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．
（1）写出点Q的坐标是　 　；
（2）若把点Q向右平移a个单位长度，向下平移a个单位长度后，得到的点M（m，n）落在第四象限，求a的取值范围；
（3）在（2）条件下，当a取何值，代数式m2+2n+5取得最小值．
24．如图1，在△ABC中，BA＝BC，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC．以点B为旋转中心，将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，连接DF．
（1）求证：DF＝DE；
（2）如图2，若AB⊥BC，其他条件不变．求证：DE2＝AD2+EC2．
25．如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将△ABC绕点A逆时针旋转α得△AEF，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．
（1）如图1，当α＝45°时，求证：OE＝OD；
（2）如图2，当45°＜α＜90°时，（1）OE＝OD还成立吗？请说明理由．
26．如图，将一个含45°角的三角尺的直角顶点放在点M（8，8）处，三角尺的两边分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点．
（1）求OA+OB的值；
（2）把三角尺绕点M旋转，在旋转的过程中保持AP平分∠OAB，AP交OM于P，PN⊥x轴于N．下列两个结论：①PN+AB的值不变；②PN+AB的值不变，其中只有一个正确，请选择正确的结论，直接写出其值．
27．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB，AC于M，N两点，以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），若DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．
（1）如图②，若DM与AB不垂直时，点M在边AB上，点N在边AC上，上述结论是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图③，若DM与AB不垂直时，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上，上述结论是否成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．
28．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a．
（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；
（2）如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′＝E′D；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由．
23.1 图形的旋转（提升练习）
一．选择题
1．下列图形分别绕某个点旋转120°后不能与自身重合的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、等边三角形绕它的中心旋转120°能与本身重合，本选项不符合题意．
B、圆绕圆心旋转任意角度能与本身重合，本选项不符合题意．
C、这个图形绕中心性质120°能与本身重合，本选项不符合题意．
D、五角星绕中心旋转72°与本身重合，本选项符合题意．
故选：D．
2．在平面直角坐标系中，将点P（4，3）绕原点旋转180°后，得到对应点Q的坐标是（　　）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，3） C．（3，4） D．（﹣4，﹣3）
【解答】解：∵将点P（4，3）绕原点O旋转180°后，得到的对应点Q，
∴点Q和点P关于原点对称，
∵点P的坐标为（4，3），
∴点Q的坐标是（﹣4，﹣3）．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且AB＝CB′，则∠C′的度数为（　　）
A．18° B．20° C．24° D．28°
【解答】解：∵AB'＝CB'，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°﹣108°，
∴∠C＝24°，
∴∠C'＝∠C＝24°，
故选：C．
4．如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为（2，0），以点O为旋转中心，把△OAB逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（　　）
A．（﹣1，） B．（，﹣1） C．（﹣，1） D．（﹣2，1）
【解答】解：如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．
∵B（2，0），△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∵AE⊥OB，
∴OE＝EB＝1，
∴AE＝＝＝，
∵A′H⊥OH，
∴∠A′HO＝∠AEO＝∠AOA′＝90°，
∴∠A′OH+∠AOE＝90°，∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠A′OH＝∠OAE，
∴△A′OH≌△OAE（AAS），
∴A′H＝OE＝1，OH＝AE＝，
∴A′（﹣，1），
故选：C．
5．如图，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转到平行四边形A′B′C′D′的位置，使点B'落在BC上，B′C′与CD交于点E，若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．1
【解答】解：如图，连接DD'，
由旋转可知，∠BAB′＝∠DAD′，AB′＝AB＝3，AD′＝AD＝4，
∴△BAB′∽△DAD′，
∴AB：BB′＝AD：DD′＝3：1，∠AD′D＝∠AB′B＝∠B，
∴DD′＝，
又∵∠AD′C′＝∠AB′C′＝∠B，∠AD′D＝∠B＝∠AB′B，
∴∠AD′C′＝∠AD′D，即点D′，D，C′在同一条直线上，
∴DC′＝，
又∠C′＝∠ECB′，∠DEC′＝∠B′EC，
∴△CEB′∽△C'ED，
∴B′E：DE＝CE：C′E＝B′C：DC′，即B′E：DE＝CE：C′E＝3：，
设CE＝x，B'E＝y，
∴x：（4﹣y）＝y：（3﹣x）＝3：，
∴x＝，
∴CE＝，
故选：A．
6．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．则下列结论不正确的是（　　）
A．∠EAF＝45° B．△EBF为等腰直角三角形
C．AE平分∠DAF D．BE+CD＞ED
【解答】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴△ADC≌△AFB，∠FAD＝90°，AD＝AF，BF＝CD，
∵∠DAE＝45°，
∴∠EAF＝90°﹣∠DAE＝45°，所以A正确，不符合题意；
∴∠DAE＝∠EAF，
∴AE平分∠DAF，所以C正确，不符合题意；
，
∴△AED≌△AEF（SAS），
∴ED＝EF，
∵BE+BF＞EF，
∴BE+CD＞ED，
所以D正确，不符合题意；
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵△ADC≌△AFB，
∴∠ACD＝∠ABF＝45°，
∵∠ABF+∠ABE＝∠ACD+∠ABC＝90°，
∴△EBF为直角三角形，
但是BE、CD不一定相等，所以BE、BF不一定相等，所以B不正确，符合题意．
故选：B．
7．如图，在4×4的正方形网格中，△MPN绕某点旋转一定的角度，得到△M'P'N'，其旋转中心是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【解答】解：如图，由旋转可知：P和P'为对应点，N和N'为对应点，
连接PP'、NN'，作PP'、NN'的垂直平分线，
可得：点B为旋转中心，
故选：B．
8．如图，在等边三角形ABC中，点P是△ABC内一点，PA＝3，PB＝5，PC＝4，则∠CPA的度数为（　　）
A．160° B．155° C．150° D．145°
【解答】解：如图，将△ACP绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE，连接PE，
∴△ACP≌△ABE，∠PAE＝60°，
∴AP＝AE＝3，CP＝BE＝4，∠AEB＝∠APC，
∴△PAE是等边三角形，
∴PE＝AE＝3，∠AEP＝60°，
∵PB2＝25，PE2+BE2＝9+16＝25，
∴PB2＝PE2+BE2，
∴∠PEB＝90°，
∴∠AEB＝150°＝∠APC，
故选：C．
9．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2023次得到正方OA2023B2023C2023，如果点A的坐标为（1，0），那么B2023的坐标为（　　）
A．（1，1） B． C． D．（﹣1，﹣1）
【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），
∴OA＝1，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠OAB＝90°，AB＝OA＝1，
∴B（2，2），
连接OB，如图：
由勾股定理得：，
由旋转的性质得：，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴，B2（﹣1，1），，B4（﹣1，﹣1），，B6（1，﹣1），，…，
发现是8次一循环，则2023÷8＝252…7，
∴点B2023的坐标为，
故选：B．
10．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OC＝5，OB＝4，将线段BO以点B为旋转中心，逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
②点O与O′的距离为4；
③∠AOB＝150°；
④；
其中结论正确有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：连接OO′，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC，
∵将线段BO以点B为旋转中心，逆时针旋转60°得到线段BO′，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
故①是正确的；
∵OB＝OB，∠OBO′＝60°，
∴△O′BO是等边三角形，
∴OO′＝OB＝4，
故②是正确的；
∵△O′BO是等边三角形，
∴∠O′OB＝60°，
∵OO′＝OB＝4，AO＝3，AO′＝OC＝5，
∴∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝150°，
故③是正确的；
④S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OO′B＝（4×4×+4×3）＝4+6，
故③是错误的，
故选：B．
11．如图，C为线段BE上一动点（不与点B，E重合），在BE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE、BD与AE交于点P，BD与AC交于点M，AE与CD交于点N，连结MN．以下四个结论：①CM＝CN；②∠APB＝60°；③PA+PC＝PB；④PC平分∠BPE，恒成立的结论有（　　）
A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．①④
【解答】解：∵△ABC和△DCE都为等边三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE＝120°，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CBD＝∠CAE，
∵∠AMP＝∠CMB，
∴∠APM＝∠BCM＝60°，
即∠APB＝60°，所以②正确；
∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACN＝60°，
在△BCM和△ACN中，
，
∴△BCM≌△ACN（ASA），
∴CM＝CN，所以①正确；
过C点作CH⊥BD于H点，CQ⊥AE于Q点，如图，
∵△BCD≌△ACE，
∴CH＝CQ，
∴PC平分∠BPE，所以④正确；
∵∠APB＝60°，
∴∠BPE＝120°，
∴∠BPC＝60°，
在PB上截取PG＝PC，如图，则△PCG为等边三角形，
∴CG＝PG＝PC，∠PGC＝60°，
∵∠APC＝∠APB+∠BPC＝120°，∠BGC＝180°﹣∠PGC＝120°，
∴∠APC＝∠BGC，
在△BCG和△ACP中，
，
∴△BCG≌△ACP（AAS），
∴BG＝AP，
∴PA+PC＝BG+PG＝PB，所以③正确．
故选：B．
12．如图，已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转n°（0＜n＜∠BAC）得到△ADE，AD交于点F，DE交BC，AC于点G，H，则以下结论：
①△ABF≌△AEH；
②连接AG，FH，则AG⊥FH；
③当AD⊥BC时，DF的长度最大；
④当H点是DE的中点时，四边形AFGH的面积等于AF×GH．
其中正确的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．5个 D．1个
【解答】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
由旋转得AB＝AC＝AE，∠BAF＝∠HAE，∠B＝∠C＝∠E，
∴△ABF≌△AEH（ASA），故①正确；
②连接AG、FH，
∵△ABF≌△AEH，
∴∠AFB＝∠AHE，AF＝AH，
∵∠AFB＝∠DFG，∠AHE＝∠CHG，
∴∠DFG＝∠CHG，
∵AD＝AB＝AC，∴DF＝CH，
又∵∠DGF＝∠CGH，
∴△DFG≌△CHG（AAS），
∴FG＝GH，
∴AG垂直平分FH，故②正确；
③∵DF＝AD﹣AF，AD是定长，
∴AF最小时，DF最长，
∴AD⊥BC时，DF的长度最大，故③正确；
④∵AD＝AE，
∴当点H是DE的中点时，有AH⊥DE，
∵AF＝AH，FG＝GH，AG＝AG，
∴△AFG≌△AHG（SSS），
∴S四边形AFGH＝2S△AGH＝2×GH×AH＝GH×AF，故④正确．
故选：A．
二．填空题
13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠C＝25°，将△ABC绕点B逆时针旋转至△DBE且点A的对应点D落在CA延长线上，则∠CBE＝　80°　．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝25°，
∴∠BAD＝50°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转至△DBE，
∴AB＝BD，∠ABC＝∠DBE＝25°，∠CBE＝∠DBE，
∴∠BDA＝∠BAD＝50°，
∴∠DBA＝80°，
∴∠CBE＝∠DBE＝80°，
故答案为：80°．
14．如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：
①OD＝OE；
②S△ODE＝S△BDE；
③四边形ODBE的面积始终等于；
④△BDE周长的最小值为6．
上述结论中正确的有　①③④　（写出序号）．
【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是△ABC的中心，
∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，所以①正确；
∴S△BOD＝S△COE，
∴四边形ODBE的面积＝S△OBC＝S△ABC＝＝，所以③正确；
作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，
∴DE＝OE，
∴S△ODE＝ OE OE＝OE2，
即S△ODE随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；所以②错误；
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝4+DE＝4+OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，
∴△BDE周长的最小值＝4+2＝6，所以④正确．
故答案为①③④．
15．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（﹣3，2），OA＝1，将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C，则点C的坐标是 　（3，4）　．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
根据题意得：AC＝AB，∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴△ABE≌△CAD，
∴AD＝BE，CD＝AE，
∵点B的坐标是（﹣3，2），
∴OE＝3，AD＝BE＝2，
∵OA＝1，
∴OD＝3，CD＝AE＝4，
∴点C的坐标为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
16．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝6，AD＝2AB，则BD的长为 　10　．
【解答】解：如图，连接AC，
∵AE⊥BC，BE＝CE，
∴AB＝AC，
将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG，
∴BD＝CG，∠BAD＝∠CAG，
∴∠BAC＝∠DAG，
∵AB＝AC，AD＝AG，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，
∴ADG，
∵AD＝2AB，∴DG＝2BC，
∵BE＝CE＝2，
∴BC＝4，∴DG＝8，
∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，
∴∠ADC+∠ADG＝90°，∴∠GDC＝90°°，
∴CG＝＝10，
∴BD＝CG＝10，
故答案为：10．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E＝　3﹣3　．
【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，
∴AC＝3，BC＝3，∠CAB＝60°，
∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，
∴△ABC≌△AB′C′，∠C'AE＝45°，
∴AC＝AC'＝C'E＝3，BC＝B'C'＝3，
∴B'E＝B'C'﹣C'E＝3﹣3．
18．如图，在正方形ABCD中，PA＝1，PB＝2，PC＝3，则∠APB 的度数为 　135°　．
【解答】解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，
则△ABP'≌△CBP，AP'＝CP＝3，BP'＝BP＝2，∠PBP'＝90°，
∴∠BPP'＝45°，
根据勾股定理得，P'P＝＝＝2，
∵AP＝1，
∴AP2+P'P2＝1+8＝9，
又∵P'A2＝32＝9，
∴AP2+P'P2＝P'A2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，
∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°．
故答案为：135°．
三．解答题
19．如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，且点O的对应点C落在OB上．
（1）求∠OAC的度数；
（2）求点D的坐标．
【解答】解：（1）由旋转的性质可知AO＝AC＝4，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC＝60°；
（2）如图，过点D作DE⊥x轴于点E．
∵B（6，0），
∴OB＝6，
由旋转的性质可知OB＝CD＝6，∠ACD＝∠AOB＝60°，
∵△AOC是等边三角形，
∴OC＝OA＝4，∠ACO＝60°，
∴∠DCE＝60°，
∴CE＝CD＝3，DE＝3，
∴OE＝OC+CE＝4+3＝7，
∴D（7，3）．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转α度的角，得到矩形CFED，设FC与AB交于点H，且A（0，4）、C（8，0）．
（1）当α＝60°时，△CBD的形状是　等边三角形　．
（2）当AH＝HC时，求直线FC的解析式．
【解答】解：（1）∵矩形COAB绕点C顺时针旋转60度的角，得到矩形CFED，
∴∠BCD＝60°，CB＝CD，
∴△CBD为等边三角形；
（2）∵A（0，4）、C（8，0），
∴OA＝BC＝4，OC＝AB＝8，
设AH＝HC＝x，则BH＝8﹣x，CB＝4，
在Rt△CBH中，
∵CH2＝BH2+BC2，
∴x2＝（8﹣x）2+42，解得x＝5，
∴H点的坐标为（5，4），
设直线FC的解析式为y＝kx+b，
把C（8，0）、H（5，4）代入得，解得，
∴直线FC的解析式为．
21．如图，四边形OAFB，OCED均为正方形，OA＝，OC＝5．
（1）连接DB，AC，试判断AC与DB之间的数及关系和位置关系，并说明理由．
（2）在正方形OAFB绕点O旋转的过程中，（1）的结论依旧成立，当A，B，D三点共线时，求BC的长．
【解答】解：（1）DB＝AC，DB⊥AC，理由如下：
如图，延长CA交BD与点G，
∵四边形OAFB，OCED均为正方形，
∴OB＝OA，OD＝OC，
∠AOB＝∠COD＝90°，
在△BOD和△AOC中，
，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴BD＝AC，∠DBO＝∠CAO，
∵∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠ACO+∠DBO＝90°，
∴∠CGB＝90°，
∴DB⊥AC；
（2）①如图，连接OF交AB于点H，AC交DO于点M，
∵四边形OAFB为正方形，
∴OF⊥AB，
OH＝FH＝BH＝AH＝＝＝1，AB＝2AH＝2，
在Rt△DOH中，DH＝＝＝7，
∴BD＝DH+BH＝7+1＝8，
∴BD＝AC＝8，
∵DB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝；
②如图，连接OF交AB于点K，AD交OC于点N，
同理可得：DK＝7，BK＝1，AB＝2，
∴BD＝DK﹣BK＝7﹣1＝6，
∴AC＝BD＝6，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝．
综上，BC＝或．
22．如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与点A．C重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．
（1）连接CQ，求证：AP＝CQ；
（2）若正方形的边长为4，且PC＝3AP，求线段AP的长．
【解答】解：如图，过点P作PM⊥AB于M，
（1）由题意得：PB＝QB，∠PBQ＝∠2+∠3＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△APB和△CQB中，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP＝CQ；
（2）由（1）知：∠ABC＝90°，AB＝CB；
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝4，
又∵PC＝3AP，
∴AC＝AP+PC＝AP+3AP＝4AP＝4
∴AP＝，
故线段AP的长为．
23．如图所示，点P的坐标为（1，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．
（1）写出点Q的坐标是　（﹣3，1）　；
（2）若把点Q向右平移a个单位长度，向下平移a个单位长度后，得到的点M（m，n）落在第四象限，求a的取值范围；
（3）在（2）条件下，当a取何值，代数式m2+2n+5取得最小值．
【解答】解：（1）由题意：Q（﹣3，1）．
（2）把点Q（﹣3，1）向右平移a个单位长度，向下平移a个单位长度后，
得到的点M的坐标为（﹣3+a，1﹣a），而M在第四象限，则有，
解得a＞3，
即a的范围为a＞3．
（3）由（2）得，m＝﹣3+a，n＝1﹣a
∴m2+2n+5＝（a﹣3）2+2（1﹣a）+5
＝a2﹣6a+9+2﹣2a+5＝a2﹣8a+16＝（a﹣4）2
∵（a﹣4）2≥0，
∴当a＝4时，代数式m2+2n+5的最小值为0．
24．如图1，在△ABC中，BA＝BC，D、E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC．以点B为旋转中心，将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，连接DF．
（1）求证：DF＝DE；
（2）如图2，若AB⊥BC，其他条件不变．求证：DE2＝AD2+EC2．
【解答】（1）证明：∵∠DBE＝∠ABC，
∴∠ABD+∠CBE＝∠DBE＝∠ABC，
∵△ABF由△CBE旋转而成，
∴BE＝BF，∠ABF＝∠CBE，
∴∠DBF＝∠DBE，
在△DBE与△DBF中，
，
∴△DBE≌△DBF（SAS），
∴DF＝DE；
（2）证明：∵将△CBE按逆时针方向旋转得到△ABF，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCE＝45°，
∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AF重合，
∴AF＝EC，
∴∠FAB＝∠BCE＝45°，
∴∠DAF＝90°，
在Rt△ADF中，DF2＝AF2+AD2，
∵AF＝EC，
∴DF2＝EC2+AD2，
同（1）可得DE＝DF，
∴DE2＝AD2+EC2．
25．如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将△ABC绕点A逆时针旋转α得△AEF，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．
（1）如图1，当α＝45°时，求证：OE＝OD；
（2）如图2，当45°＜α＜90°时，（1）OE＝OD还成立吗？请说明理由．
【解答】解：（1）由旋转的性质得：AF＝AC，∠AEF＝∠B＝90°，AE＝AB
∴∠FEC＝90°
又∵O为CF的中点，
∴
同理：
∴OE＝OD．
（2）当45°＜α＜90°时，OE＝OD成立，理由如下：
连接CE，DF，如图所示：
在正方形ABCD中，AB＝AD
∴AD＝AE
∵O为CF的中点，
∴OC＝OF
∵AF＝AC
∴∠ACF＝∠AFC
∵∠DAC＝∠EAF
∴∠DAC﹣∠DAE＝∠EAF﹣∠DAE
∴∠EAC＝∠DAF
在△ACE和△AFD中，
∵AF＝AC，∠EAC＝∠DAF，AD＝AE
∴△ACE≌△AFD（SAS）
∴CE＝DF，∠ECA＝∠DFA
又∵∠ACF＝∠AFC
∴∠ACF﹣∠ECA＝∠AFC﹣∠DFA
∴∠ECO＝∠DFO
在△EOC和△DOF中，
∵EC＝DF，∠ECO＝∠DFO，CO＝FO
∴△EOC≌△DOF（SAS）
∴EO＝DO．
26．如图，将一个含45°角的三角尺的直角顶点放在点M（8，8）处，三角尺的两边分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点．
（1）求OA+OB的值；
（2）把三角尺绕点M旋转，在旋转的过程中保持AP平分∠OAB，AP交OM于P，PN⊥x轴于N．下列两个结论：①PN+AB的值不变；②PN+AB的值不变，其中只有一个正确，请选择正确的结论，直接写出其值．
【解答】证明：（1）作ME⊥x轴于E，MF⊥y轴于F，
∵M（8，8），
∴ME＝MF＝8，
∵∠AMF+∠AME＝∠AMF+∠BMF＝90°，
∴∠AME＝∠BMF，
在△AME和△BMF中，
，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴AE＝BF，
∴OA+OB＝OA+OF+BF＝OA+OF+AE＝OE+OF＝16；
（2）解：①ON+AB的值不会发生变化正确，
理由如下：过P作PQ⊥ME于Q，延长PQ到R，使QR＝PQ，连接MR，
∵△AEM≌△BFM，
∴MB＝MA，
∵∠AMB＝90°，
∴∠MBA＝∠MAB＝45°，
∵OM平分∠AOB，AP平分∠BAO，∠BOA＝90°，
∴∠MOA＝45°，∠BAP＝∠PAO，
∴∠MOA+∠PAO＝∠MAB+∠BAP，
即∠MAP＝∠MPA，
∴MP＝MA，
∵∠MOE＝45°，ME＝OE＝2，
∴∠OME＝45°，
∵PR⊥ME，PQ＝QR，
∴MP＝MR，
∴MB＝MP＝MA＝MR，
∴∠RMQ＝∠PMQ＝45°，
∴∠PMR＝90°＝∠BMA，
在△BMA和△PMR中，
，
∴△BMA≌△PMR（SAS），
∴AB＝PR，
∴ON+AB＝ON+PR＝ON+PQ＝OE＝8，
即ON+AB的值不会发生变化．
27．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB，AC于M，N两点，以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），若DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．
（1）如图②，若DM与AB不垂直时，点M在边AB上，点N在边AC上，上述结论是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图③，若DM与AB不垂直时，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上，上述结论是否成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．
【解答】解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：
过点D作DE∥AC交AB于E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，
∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，
∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，
∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，
∴∠CDN＝∠EDM，
∵D是BC边的中点，
∴DE＝BD＝CD，
在△CDN和△EDM中，，
∴△CDN≌△EDM（ASA），
∴CN＝EM，
∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；
（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下：
过点D作DE∥AC交AB于E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠NCD＝120°，
∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠ACB＝60°，
∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，
∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，
∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，
∴∠CDN＝∠EDM，
∵D是BC边的中点，
∴DE＝BD＝CD，
在△CDN和△EDM中，，
∴△CDN≌△EDM（ASA），
∴CN＝EM，
∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，
∴BM﹣CN＝BD．
28．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a．
（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；
（2）如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′＝E′D；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由．
【解答】（1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴CD′＝CD＝2，
在Rt△CED′中，CD′＝2，CE＝1，
∴∠CD′E＝30°，
∵CD∥EF，
∴∠α＝30°；
（2）证明：∵G为BC中点，
∴CG＝1，
∴CG＝CE，
∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴∠D′CE′＝∠DCE＝90°，CE＝CE′＝CG，
∴∠GCD′＝∠DCE′＝90°+α，
在△GCD′和△E′CD中
，
∴△GCD′≌△E′CD（SAS），
∴GD′＝E′D；
（3）解：能．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝CD，
∵CD＝CD′，
∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，
当∠BCD′＝∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，
当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α＝＝135°，
当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′＝∠DCD′＝∠BCD＝45°
则α＝360°﹣＝315°，
即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等．