12.3 角的平分线的性质 提升练习 （含解析）2023-2024学年人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 12.3 角的平分线的性质 提升练习 （含解析）2023-2024学年人教版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 502.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-29 23:49:58 | ||
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文档简介
12.3 角的平分线的性质（提升练习）
一．选择题
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A．60 B．30 C．15 D．10
2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（ ）
A．16 B．20 C．40 D．80
3．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F．若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．7.5 B．12 C．8 D．6
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是∠ABC的平分线，BE交AD于点F，下面说法：①∠BAD＝∠C；②AE＝AF；③∠CAD＝2∠CBE；④S△BCE＝BC AE．其中正确的说法有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为30，则△ACO的面积为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，小丽进行如图步骤尺规作图，根据操作，对下列判断正确的序号是（ ）
①AD平分∠BAC
②AD是△ABC的中线
③S△ADC＝S△ABD④S△ADC＝2S△ADG
A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④
8．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA＝PB B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
9．如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为从N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；
②∠BPC＝∠BAC；
③∠APC＝90°﹣∠ABC；
④S△APM+S△CPN＞S△APC．
其中结论正确的是（ ）（填写结论的编号）
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
10．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题
11．如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝18cm，AB＝11cm，那么DE的长度为 cm．
12．如图所示，已知△ABC的周长是15，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，则△ABC的面积是 ．
13．如图△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：①DC＝DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB；⑤∠BAC＝∠BDE．其中正确的是 （写序号）
14．如图，在△ABC中，两条角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，若PD＝1，△ABC的周长为12，则△ABC的面积为 ．
15．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是 ．
16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P是BC边上一动点，则DP的最小值为 ．
三．解答题
17．如图，已知△ABC中，∠B＝40°，∠C＝76°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求S△ABC．
18．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BOC的度数；
（2）若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积．
19．如图，AD∥BC，∠D＝90°．
（1）如图1，若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？
（2）如图2，如果P是DC的中点，BP平分∠ABC，∠CPB＝35°，求∠PAD的度数为多少？
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连接DE．
（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；
（2）求∠DEB的度数．
22．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，EF⊥BC，FM⊥AC，垂足分别是D，F，M，求证：FM＝FD．
23．如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．
（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．
（2）如图②，连接OA，求证：AO平分∠BAC．
（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．
24．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠GAC；
（2）若AB＝AD，请判断△ABC的形状，并证明你的结论．
25．已知直线EF与直线AB、CD分别交于E、F两点，∠BEF和∠DFE的角平分线交于点P，且∠BEP+∠DFP＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数；
（3）如图3，若∠BEP＝60°，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得射线FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止．设它们同时开始旋转，当射线EP1∥FP2时，求满足条件的t的值为多少．
12.3 角的平分线的性质（提升练习）
一．选择题
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A．60 B．30 C．15 D．10
【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∵AB＝10，
∴△ABD的面积＝AB DE＝×10×3＝15，
故选：C．
2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（ ）
A．16 B．20 C．40 D．80
【解答】解：过P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，
∴∠BAP+∠CDP＝180°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAP＝90°，∴∠CDP＝90°，
即AD⊥CD，
∵PE⊥BC，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
∴PA＝PE，PE＝PD，
∴PA＝PD，
∵AD＝8，
∴PE＝PD＝AP＝4，
∵BC＝10，
∴△BCP的面积为＝＝20．
故选：B．
3．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F．若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝2．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝4，
∴7＝×4×2+×AC×2，
解得AC＝3．
故选：B．
4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．7.5 B．12 C．8 D．6
【解答】解：过点D作DE⊥BC，交BC于点E，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴DA＝DE＝3，
∴．
故选：A．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是∠ABC的平分线，BE交AD于点F，下面说法：①∠BAD＝∠C；②AE＝AF；③∠CAD＝2∠CBE；④S△BCE＝BC AE．其中正确的说法有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，
∴∠ABC+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°
∴∠ABC＝∠CAD，∠C＝∠BAD，
∴∠CAD＝2∠CBE．
故①③符合题意．
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠AEB＝∠AFE，
∴AE＝AF．
故②符合题意．
如图，过点E作EP⊥BC于P，
∵∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，
∴AE＝EP，
S△BCE＝BC EP＝BC AE，
故④符合题意．
故选：D．
6．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为30，则△ACO的面积为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【解答】解：∵点O是三条角平分线的交点，
∴点O到AB，AC的距离相等，
∴△AOB、△AOC面积的比＝AB：AC＝10：8＝5：4．
∵△ABO的面积为30，
∴△ACO的面积为24．
故选：D．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，小丽进行如图步骤尺规作图，根据操作，对下列判断正确的序号是（ ）
①AD平分∠BAC
②AD是△ABC的中线
③S△ADC＝S△ABD④S△ADC＝2S△ADG
A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④
【解答】解：由作法得DG垂直平分BC，
∴DG⊥BC，BD＝CD，
∴AD为△ABC的中线，所以①错误；
∵EF是线段BC的垂直平分线，
∴D是线段BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，所以②正确；
∵∠C＝90°，
∴DG∥AC，
∴DG为△ABC的中位线，
∴AC＝2DG，
BG＝AG，
∴S△ADC＝S△ABD，所以③正确；
S△ADG＝S△BDG，
∴S△ADC＝2S△ADG，所以④正确．
故选：D．
8．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA＝PB B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
【解答】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴PA＝PB，故A选项正确；
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（HL），
∴∠APO＝∠BPO，OA＝OB，故B、C选项正确；
由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，故D选项错误．
故选：D．
9．如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为从N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；
②∠BPC＝∠BAC；
③∠APC＝90°﹣∠ABC；
④S△APM+S△CPN＞S△APC．
其中结论正确的是（ ）（填写结论的编号）
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
【解答】解：①作PD⊥AC于D，
∵BP平分∠ABC，AP平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
∴CP平分∠ACF，
故①正确；
②∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACF，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACF＝2∠PCF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCF＝∠PBC+∠BPC，
∴∠BAC＝2∠BPC，
∴∠BPC＝∠BAC，
故②正确；
③∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
∵PM＝PN＝PD，
∴∠APD＝∠MPD，∠CPD＝∠NPD，
∴∠APC＝∠MPN＝90°﹣∠ABC，
故③正确；
④∵AP＝AP，PM＝PD．CP＝CP，PD＝PN，
∴Rt△APM≌Rt△APD（HL），Rt△CPN≌Rt△CPD（HL），
∵S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，
故④不正确．
综上所述，①②③正确．
故选：A．
10．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：（1）证明：作PH⊥AB于H，
∵AP是∠CAB的平分线，
∴∠PAE＝∠PAH，
在△PEA和△PHA中，
，
∴△PEA≌△PHA（AAS），
∴PE＝PH，
∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，
∴PF＝PH，∴PE＝PF，∴（1）正确；
（2）与（1）可知：PE＝PF，
又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，
∴点P在∠COD的平分线上，∴（2）正确；
（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，
又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，
∴∠O+∠EPF＝180°，
即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，
由（1）知：△PEA≌△PHA，
∴∠EPA＝∠HPA，
同理：∠FPB＝∠HPB，
∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，即∠O+2∠APB＝180°，
∴∠APB＝90°﹣，∴（3）错误；
故选：C．
二．填空题
11．如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝18cm，AB＝11cm，那么DE的长度为 3.5 cm．
【解答】解：过C点作CF⊥AB于F，如图，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，
∴CF＝CE，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AF＝AE，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°，
∴∠CBF＝∠D，
在△CBF和△CDE中，
，
∴△CBF≌△CDE（AAS），
∴BF＝DE，
∵AF＝AE，
∴AB+BF＝AD﹣DE，
即11+DE＝18﹣DE，
∴DE＝3.5cm．
故答案为：3.5．
12．如图所示，已知△ABC的周长是15，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，则△ABC的面积是 30 ．
【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD＝4，OF＝OD＝4，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC
＝×4×AB+×4×BC+×4×AC
＝2（AB+BC+AC）＝2×15＝30．
故答案为30．
13．如图△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：①DC＝DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB；⑤∠BAC＝∠BDE．其中正确的是 ①②④⑤ （写序号）
【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DC＝DE，故①正确；
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠ADC＝∠ADE，AC＝AE，
∴DA平分∠CDE，故②正确；
BE+AC＝BE+AE＝AB，故④正确；
∵∠BAC+∠B＝90°，
∠BDE+∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠BDE，故⑤正确；
∵∠ADE+∠BAD＝90°，而∠BAD≠∠B，
∴∠BDE≠∠ADE，
∴DE平分∠ADB错误，故③错误；
综上所述，正确的有①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
14．如图，在△ABC中，两条角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，若PD＝1，△ABC的周长为12，则△ABC的面积为 6 ．
【解答】解：连接PA，过点P分别作AB，AC的垂线段PE，PF，
∵BP，CP是△ABC的角平分线，PD⊥BC，
∴PD＝PE＝PF＝1，
∵△ABC的周长为12，
∴AB+BC+AC＝12，
∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC
＝＝
＝＝6，
故答案为：6．
15．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是 7.5 ．
【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，过点D作DG⊥AC，垂足为G，
∵AD是∠BAC的平分线，DF⊥AB，DG⊥AC，
∴DF＝DG，
∵AB＝5，AC＝3，
∴＝＝＝，
∵△ABC的面积是24，
∴△ABD的面积＝△ABC的面积＝×24＝15，
∵BE是△ABD边AD上的中线，
∴△ABE的面积＝△ABD的面积＝7.5，
故答案为：7.5．
16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P是BC边上一动点，则DP的最小值为 10 ．
【解答】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，
∵BD⊥CD，即∠BDC＝90°，又∠A＝90°，
∴∠A＝∠BDC，又∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，
∴AD＝DP，又AD＝10，
∴DP＝10．
故答案为：10．
三．解答题
17．如图，已知△ABC中，∠B＝40°，∠C＝76°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求S△ABC．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝76°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣76°＝64°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴，
∵DE⊥AB，
∴∠EDA＝90°﹣∠DAE＝58°．
（2）过点D作DF⊥AC于点F，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝6，
∴．
18．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BOC的度数；
（2）若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°
∴∠OBC＝30°，∠OCB＝20°，
∴∠COB＝180°﹣（30°+20°）＝130°；
（2）过O作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接AO，如图，
∵∠ABC＝60°，OB＝4
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝OB＝2，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC
＝×2×AB+×2×AC+×2×BC＝AB+BC+AC，
又∵△ABC的周长为16，
∴S△ABC＝16．
19．如图，AD∥BC，∠D＝90°．
（1）如图1，若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？
（2）如图2，如果P是DC的中点，BP平分∠ABC，∠CPB＝35°，求∠PAD的度数为多少？
【解答】解：（1）点P是线段CD的中点．理由如下：
过点P作PE⊥AB于E，
∵AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠D＝90°，即PC⊥BC，
∵∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，
∴PD＝PE，PC＝PE，
∴PC＝PD，
∴点P是线段CD的中点；
（2）过点P作PE⊥AB于E，
∵AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠D＝90°，即PC⊥BC．
在△PBE与△PBC中，
，
∴△PBE≌△PBC（AAS），
∴∠EPB＝∠CPB＝35°，PE＝PC，
∵PC＝PD，
∴PD＝PE，
在Rt△PAD与Rt△PAE中，
，
∴Rt△PAD≌Rt△PAE（HL），
∴∠APD＝∠APE，
∵∠APD+∠APE＝180°﹣2×35°＝110°，
∴∠APD＝55°，
∴∠PAD＝90°﹣∠APD＝35°．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
【解答】（1）证明：过点O作OM⊥AB，
∵BD是∠ABC的一条角平分线，
∴OE＝OM，
∵四边形OECF是正方形，
∴OE＝OF，
∴OF＝OM，
∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；
（2）解：∵在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
设CE＝CF＝x，BE＝BM＝y，AM＝AF＝z，
∴，
解得：，
∴CE＝2，
∴OE＝2．
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连接DE．
（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；
（2）求∠DEB的度数．
【解答】（1）证明：
过E作EH⊥AB于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∵∠CAH＝180°﹣120°＝60°，
∴AE平分∠HAD，
∴EH＝EG，
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，
∴EH＝EF，
∴EF＝EG，
∴点E到DA、DC的距离相等；
（2）解：∵由（1）知：DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠DEB+∠DBE，
∴＝∠DEB+∠ABC，
∴∠DEB＝（∠CDA﹣∠ABC）＝∠BAD＝30°．
22．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，EF⊥BC，FM⊥AC，垂足分别是D，F，M，求证：FM＝FD．
【解答】证明：作EH⊥AD于H，
则四边形FDFE是矩形，
∴DF＝HE，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，∠BAC＝90°，
∴EA＝EF，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
∴∠HAE＝∠MEF，
在△HAE和△MEF中，
，
∴△HAE≌△MEF，
∴EH＝MF，
∴FM＝FD．
23．如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．
（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．
（2）如图②，连接OA，求证：AO平分∠BAC．
（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．
【解答】（1）解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°；
（2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OD＝OE，OD＝OF，
∴OE＝OF，
∴OA平分∠BAC；
（3）证明：∵OC平分∠ACB，CP平分∠ACD，
∴∠ACO＝∠ACB，∠ACP＝∠ACD，
∴∠OCP＝∠ACO+∠ACP＝∠ACB+∠ACD＝∠BCD＝×180°＝90°，
∴OC⊥CP．
24．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠GAC；
（2）若AB＝AD，请判断△ABC的形状，并证明你的结论．
【解答】（1）证明：过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，
∴DM＝DN＝DK，
∴AD平分∠GAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠GAD＝∠DAC，
∴AD平分∠GAC．
（2）解：△ABC是等腰三角形，
证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴∠GAD＝∠ABC，∠DAC＝∠ACB，
∵AD平分∠GAC，
∴∠GAD＝∠CAD，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
25．已知直线EF与直线AB、CD分别交于E、F两点，∠BEF和∠DFE的角平分线交于点P，且∠BEP+∠DFP＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数；
（3）如图3，若∠BEP＝60°，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得射线FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止．设它们同时开始旋转，当射线EP1∥FP2时，求满足条件的t的值为多少．
【解答】解：（1）∵∠BEF和∠DFE的角平分线交于点P，
∴∠EBF＝2∠BEP，∠DFE＝2∠DFP，
∴∠EBF+∠DFE＝2（∠BEP+∠DFP）＝2×90°＝180°，
∴AB∥CD．
（2）∵∠BEP+∠DFP＝90°，又AB∥CD．
∴∠P＝180﹣（∠PEF+∠PFE）＝180°﹣（∠BEP+∠DFP）＝90°，
由外角性质得：∠Q＝∠MFQ﹣∠MEQ
＝∠MFP﹣∠MEP
＝（∠MFP﹣∠MEP）
＝，
∵∠P＝90°，
∴∠Q＝＝45°．
（3）当FP2在EF右侧时，EP1∥FP2时，∠P1EF+∠EFP2＝180°，
根据题意可知：∠P1EF＝15t+60°，∠EFP2＝3t+30°，
∴15t+60°+3t+30°＝180，
解得t＝5．
当FP2在EF左侧时，EP1∥FP2时，∠P1EF+∠EFP2＝180°，
根据题意可知：∠P1EF＝15t﹣60°，∠EFP2＝3t﹣30°，
∴15t﹣60°+3t﹣30°＝180°，
解得t＝15．
综上分析，t＝5或t＝15时，EP1∥FP2．
一．选择题
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A．60 B．30 C．15 D．10
2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（ ）
A．16 B．20 C．40 D．80
3．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F．若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．7.5 B．12 C．8 D．6
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是∠ABC的平分线，BE交AD于点F，下面说法：①∠BAD＝∠C；②AE＝AF；③∠CAD＝2∠CBE；④S△BCE＝BC AE．其中正确的说法有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为30，则△ACO的面积为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，小丽进行如图步骤尺规作图，根据操作，对下列判断正确的序号是（ ）
①AD平分∠BAC
②AD是△ABC的中线
③S△ADC＝S△ABD④S△ADC＝2S△ADG
A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④
8．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA＝PB B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
9．如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为从N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；
②∠BPC＝∠BAC；
③∠APC＝90°﹣∠ABC；
④S△APM+S△CPN＞S△APC．
其中结论正确的是（ ）（填写结论的编号）
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
10．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题
11．如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝18cm，AB＝11cm，那么DE的长度为 cm．
12．如图所示，已知△ABC的周长是15，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，则△ABC的面积是 ．
13．如图△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：①DC＝DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB；⑤∠BAC＝∠BDE．其中正确的是 （写序号）
14．如图，在△ABC中，两条角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，若PD＝1，△ABC的周长为12，则△ABC的面积为 ．
15．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是 ．
16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P是BC边上一动点，则DP的最小值为 ．
三．解答题
17．如图，已知△ABC中，∠B＝40°，∠C＝76°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求S△ABC．
18．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BOC的度数；
（2）若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积．
19．如图，AD∥BC，∠D＝90°．
（1）如图1，若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？
（2）如图2，如果P是DC的中点，BP平分∠ABC，∠CPB＝35°，求∠PAD的度数为多少？
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连接DE．
（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；
（2）求∠DEB的度数．
22．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，EF⊥BC，FM⊥AC，垂足分别是D，F，M，求证：FM＝FD．
23．如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．
（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．
（2）如图②，连接OA，求证：AO平分∠BAC．
（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．
24．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠GAC；
（2）若AB＝AD，请判断△ABC的形状，并证明你的结论．
25．已知直线EF与直线AB、CD分别交于E、F两点，∠BEF和∠DFE的角平分线交于点P，且∠BEP+∠DFP＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数；
（3）如图3，若∠BEP＝60°，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得射线FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止．设它们同时开始旋转，当射线EP1∥FP2时，求满足条件的t的值为多少．
12.3 角的平分线的性质（提升练习）
一．选择题
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A．60 B．30 C．15 D．10
【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∵AB＝10，
∴△ABD的面积＝AB DE＝×10×3＝15，
故选：C．
2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（ ）
A．16 B．20 C．40 D．80
【解答】解：过P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，
∴∠BAP+∠CDP＝180°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAP＝90°，∴∠CDP＝90°，
即AD⊥CD，
∵PE⊥BC，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
∴PA＝PE，PE＝PD，
∴PA＝PD，
∵AD＝8，
∴PE＝PD＝AP＝4，
∵BC＝10，
∴△BCP的面积为＝＝20．
故选：B．
3．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F．若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝2．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝4，
∴7＝×4×2+×AC×2，
解得AC＝3．
故选：B．
4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．7.5 B．12 C．8 D．6
【解答】解：过点D作DE⊥BC，交BC于点E，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴DA＝DE＝3，
∴．
故选：A．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是∠ABC的平分线，BE交AD于点F，下面说法：①∠BAD＝∠C；②AE＝AF；③∠CAD＝2∠CBE；④S△BCE＝BC AE．其中正确的说法有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，
∴∠ABC+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°
∴∠ABC＝∠CAD，∠C＝∠BAD，
∴∠CAD＝2∠CBE．
故①③符合题意．
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠AEB＝∠AFE，
∴AE＝AF．
故②符合题意．
如图，过点E作EP⊥BC于P，
∵∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，
∴AE＝EP，
S△BCE＝BC EP＝BC AE，
故④符合题意．
故选：D．
6．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为30，则△ACO的面积为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【解答】解：∵点O是三条角平分线的交点，
∴点O到AB，AC的距离相等，
∴△AOB、△AOC面积的比＝AB：AC＝10：8＝5：4．
∵△ABO的面积为30，
∴△ACO的面积为24．
故选：D．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，小丽进行如图步骤尺规作图，根据操作，对下列判断正确的序号是（ ）
①AD平分∠BAC
②AD是△ABC的中线
③S△ADC＝S△ABD④S△ADC＝2S△ADG
A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④
【解答】解：由作法得DG垂直平分BC，
∴DG⊥BC，BD＝CD，
∴AD为△ABC的中线，所以①错误；
∵EF是线段BC的垂直平分线，
∴D是线段BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，所以②正确；
∵∠C＝90°，
∴DG∥AC，
∴DG为△ABC的中位线，
∴AC＝2DG，
BG＝AG，
∴S△ADC＝S△ABD，所以③正确；
S△ADG＝S△BDG，
∴S△ADC＝2S△ADG，所以④正确．
故选：D．
8．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA＝PB B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
【解答】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴PA＝PB，故A选项正确；
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（HL），
∴∠APO＝∠BPO，OA＝OB，故B、C选项正确；
由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，故D选项错误．
故选：D．
9．如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为从N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；
②∠BPC＝∠BAC；
③∠APC＝90°﹣∠ABC；
④S△APM+S△CPN＞S△APC．
其中结论正确的是（ ）（填写结论的编号）
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
【解答】解：①作PD⊥AC于D，
∵BP平分∠ABC，AP平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
∴CP平分∠ACF，
故①正确；
②∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACF，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACF＝2∠PCF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCF＝∠PBC+∠BPC，
∴∠BAC＝2∠BPC，
∴∠BPC＝∠BAC，
故②正确；
③∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
∵PM＝PN＝PD，
∴∠APD＝∠MPD，∠CPD＝∠NPD，
∴∠APC＝∠MPN＝90°﹣∠ABC，
故③正确；
④∵AP＝AP，PM＝PD．CP＝CP，PD＝PN，
∴Rt△APM≌Rt△APD（HL），Rt△CPN≌Rt△CPD（HL），
∵S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，
故④不正确．
综上所述，①②③正确．
故选：A．
10．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：（1）证明：作PH⊥AB于H，
∵AP是∠CAB的平分线，
∴∠PAE＝∠PAH，
在△PEA和△PHA中，
，
∴△PEA≌△PHA（AAS），
∴PE＝PH，
∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，
∴PF＝PH，∴PE＝PF，∴（1）正确；
（2）与（1）可知：PE＝PF，
又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，
∴点P在∠COD的平分线上，∴（2）正确；
（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，
又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，
∴∠O+∠EPF＝180°，
即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，
由（1）知：△PEA≌△PHA，
∴∠EPA＝∠HPA，
同理：∠FPB＝∠HPB，
∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，即∠O+2∠APB＝180°，
∴∠APB＝90°﹣，∴（3）错误；
故选：C．
二．填空题
11．如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝18cm，AB＝11cm，那么DE的长度为 3.5 cm．
【解答】解：过C点作CF⊥AB于F，如图，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，
∴CF＝CE，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AF＝AE，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°，
∴∠CBF＝∠D，
在△CBF和△CDE中，
，
∴△CBF≌△CDE（AAS），
∴BF＝DE，
∵AF＝AE，
∴AB+BF＝AD﹣DE，
即11+DE＝18﹣DE，
∴DE＝3.5cm．
故答案为：3.5．
12．如图所示，已知△ABC的周长是15，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，则△ABC的面积是 30 ．
【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD＝4，OF＝OD＝4，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC
＝×4×AB+×4×BC+×4×AC
＝2（AB+BC+AC）＝2×15＝30．
故答案为30．
13．如图△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：①DC＝DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB；⑤∠BAC＝∠BDE．其中正确的是 ①②④⑤ （写序号）
【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DC＝DE，故①正确；
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠ADC＝∠ADE，AC＝AE，
∴DA平分∠CDE，故②正确；
BE+AC＝BE+AE＝AB，故④正确；
∵∠BAC+∠B＝90°，
∠BDE+∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠BDE，故⑤正确；
∵∠ADE+∠BAD＝90°，而∠BAD≠∠B，
∴∠BDE≠∠ADE，
∴DE平分∠ADB错误，故③错误；
综上所述，正确的有①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
14．如图，在△ABC中，两条角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，若PD＝1，△ABC的周长为12，则△ABC的面积为 6 ．
【解答】解：连接PA，过点P分别作AB，AC的垂线段PE，PF，
∵BP，CP是△ABC的角平分线，PD⊥BC，
∴PD＝PE＝PF＝1，
∵△ABC的周长为12，
∴AB+BC+AC＝12，
∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC
＝＝
＝＝6，
故答案为：6．
15．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是 7.5 ．
【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，过点D作DG⊥AC，垂足为G，
∵AD是∠BAC的平分线，DF⊥AB，DG⊥AC，
∴DF＝DG，
∵AB＝5，AC＝3，
∴＝＝＝，
∵△ABC的面积是24，
∴△ABD的面积＝△ABC的面积＝×24＝15，
∵BE是△ABD边AD上的中线，
∴△ABE的面积＝△ABD的面积＝7.5，
故答案为：7.5．
16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P是BC边上一动点，则DP的最小值为 10 ．
【解答】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，
∵BD⊥CD，即∠BDC＝90°，又∠A＝90°，
∴∠A＝∠BDC，又∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，
∴AD＝DP，又AD＝10，
∴DP＝10．
故答案为：10．
三．解答题
17．如图，已知△ABC中，∠B＝40°，∠C＝76°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求S△ABC．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝76°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣76°＝64°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴，
∵DE⊥AB，
∴∠EDA＝90°﹣∠DAE＝58°．
（2）过点D作DF⊥AC于点F，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝6，
∴．
18．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BOC的度数；
（2）若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°
∴∠OBC＝30°，∠OCB＝20°，
∴∠COB＝180°﹣（30°+20°）＝130°；
（2）过O作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接AO，如图，
∵∠ABC＝60°，OB＝4
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝OB＝2，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC
＝×2×AB+×2×AC+×2×BC＝AB+BC+AC，
又∵△ABC的周长为16，
∴S△ABC＝16．
19．如图，AD∥BC，∠D＝90°．
（1）如图1，若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？
（2）如图2，如果P是DC的中点，BP平分∠ABC，∠CPB＝35°，求∠PAD的度数为多少？
【解答】解：（1）点P是线段CD的中点．理由如下：
过点P作PE⊥AB于E，
∵AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠D＝90°，即PC⊥BC，
∵∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，
∴PD＝PE，PC＝PE，
∴PC＝PD，
∴点P是线段CD的中点；
（2）过点P作PE⊥AB于E，
∵AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠D＝90°，即PC⊥BC．
在△PBE与△PBC中，
，
∴△PBE≌△PBC（AAS），
∴∠EPB＝∠CPB＝35°，PE＝PC，
∵PC＝PD，
∴PD＝PE，
在Rt△PAD与Rt△PAE中，
，
∴Rt△PAD≌Rt△PAE（HL），
∴∠APD＝∠APE，
∵∠APD+∠APE＝180°﹣2×35°＝110°，
∴∠APD＝55°，
∴∠PAD＝90°﹣∠APD＝35°．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
【解答】（1）证明：过点O作OM⊥AB，
∵BD是∠ABC的一条角平分线，
∴OE＝OM，
∵四边形OECF是正方形，
∴OE＝OF，
∴OF＝OM，
∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；
（2）解：∵在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
设CE＝CF＝x，BE＝BM＝y，AM＝AF＝z，
∴，
解得：，
∴CE＝2，
∴OE＝2．
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连接DE．
（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；
（2）求∠DEB的度数．
【解答】（1）证明：
过E作EH⊥AB于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∵∠CAH＝180°﹣120°＝60°，
∴AE平分∠HAD，
∴EH＝EG，
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，
∴EH＝EF，
∴EF＝EG，
∴点E到DA、DC的距离相等；
（2）解：∵由（1）知：DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠DEB+∠DBE，
∴＝∠DEB+∠ABC，
∴∠DEB＝（∠CDA﹣∠ABC）＝∠BAD＝30°．
22．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，EF⊥BC，FM⊥AC，垂足分别是D，F，M，求证：FM＝FD．
【解答】证明：作EH⊥AD于H，
则四边形FDFE是矩形，
∴DF＝HE，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，∠BAC＝90°，
∴EA＝EF，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
∴∠HAE＝∠MEF，
在△HAE和△MEF中，
，
∴△HAE≌△MEF，
∴EH＝MF，
∴FM＝FD．
23．如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．
（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．
（2）如图②，连接OA，求证：AO平分∠BAC．
（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．
【解答】（1）解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°；
（2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OD＝OE，OD＝OF，
∴OE＝OF，
∴OA平分∠BAC；
（3）证明：∵OC平分∠ACB，CP平分∠ACD，
∴∠ACO＝∠ACB，∠ACP＝∠ACD，
∴∠OCP＝∠ACO+∠ACP＝∠ACB+∠ACD＝∠BCD＝×180°＝90°，
∴OC⊥CP．
24．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠GAC；
（2）若AB＝AD，请判断△ABC的形状，并证明你的结论．
【解答】（1）证明：过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，
∴DM＝DN＝DK，
∴AD平分∠GAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠GAD＝∠DAC，
∴AD平分∠GAC．
（2）解：△ABC是等腰三角形，
证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴∠GAD＝∠ABC，∠DAC＝∠ACB，
∵AD平分∠GAC，
∴∠GAD＝∠CAD，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
25．已知直线EF与直线AB、CD分别交于E、F两点，∠BEF和∠DFE的角平分线交于点P，且∠BEP+∠DFP＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数；
（3）如图3，若∠BEP＝60°，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得射线FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止．设它们同时开始旋转，当射线EP1∥FP2时，求满足条件的t的值为多少．
【解答】解：（1）∵∠BEF和∠DFE的角平分线交于点P，
∴∠EBF＝2∠BEP，∠DFE＝2∠DFP，
∴∠EBF+∠DFE＝2（∠BEP+∠DFP）＝2×90°＝180°，
∴AB∥CD．
（2）∵∠BEP+∠DFP＝90°，又AB∥CD．
∴∠P＝180﹣（∠PEF+∠PFE）＝180°﹣（∠BEP+∠DFP）＝90°，
由外角性质得：∠Q＝∠MFQ﹣∠MEQ
＝∠MFP﹣∠MEP
＝（∠MFP﹣∠MEP）
＝，
∵∠P＝90°，
∴∠Q＝＝45°．
（3）当FP2在EF右侧时，EP1∥FP2时，∠P1EF+∠EFP2＝180°，
根据题意可知：∠P1EF＝15t+60°，∠EFP2＝3t+30°，
∴15t+60°+3t+30°＝180，
解得t＝5．
当FP2在EF左侧时，EP1∥FP2时，∠P1EF+∠EFP2＝180°，
根据题意可知：∠P1EF＝15t﹣60°，∠EFP2＝3t﹣30°，
∴15t﹣60°+3t﹣30°＝180°，
解得t＝15．
综上分析，t＝5或t＝15时，EP1∥FP2．