四川省宜宾市叙州区行知学校2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分).在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2023九上·叙州开学考)数据0.00000022用科学记数法表示为( )
A.0.22×10﹣6 B.2.2×10﹣7
C.0.22×10﹣9 D.0.22×10﹣10
2.(2023九上·叙州开学考)下列计算正确的是( )
A.(a4)2=a8 B.
C.(x﹣2)2=x2﹣4 D.a6÷a2=a3
3.(2023·阜新)某中学甲、乙两支国旗护卫队的队员身高(单位:)数据如下:
甲队:178,177,179,179,178,178,177,178,177,179;
乙队:178,177,177,176,178,175,177,181,180,181.
若要判断哪支护卫队队员身高更为整齐,应该比较两组数据的( )
A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差
4.(2023九上·叙州开学考)函数y=kx+b的图象如图所示,根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为( )
A.x=1 B.x=﹣2 C.x=0 D.x=3
5.(2023九上·叙州开学考) 将一元二次方程6x2﹣1=3x化成一般形式后,二次项的系数和一次项系数分别是( )
A.6,-3 B.6,3 C.6,-1 D.6,1
6.(2023九上·叙州开学考) 如图,点P是反比例函数y=图象上一点,过点P作PA⊥y轴,垂足为点A,点B在x轴上,则△PAB的面积是( )
A. B.1 C.2 D.4
7.(2023九上·叙州开学考) 如图,在平行四边形ABCD中,AB=,AD=2,连接AC,BD相交于点O,E为BC的中点,若BD=,则四边形OECD的面积为( )
A. B. C. D.
8.(2023九上·叙州开学考) 已知a是方程x2﹣2x﹣2=0的根,则的值是( )
A. B. C. D.2
9.(2023九上·叙州开学考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,,D为BC边上一点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,连接EF,则EF的最小值为( )
A. B. C. D.
10.(2023九上·宁德开学考)三角形两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的两根,则该三角形的周长为( )
A.4 B.13 C.4或9 D.13或18
11.(2023九上·叙州开学考) 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,连接OE.若OB=6,菱形ABCD的面积为54,则OE的长为( )
A.4 B.4.5 C.5 D.5.5
12.(2023九上·叙州开学考) 如图,已知点A(3,0),B(0,4),C是y轴上位于点B上方的一点,AD平分∠OAB,BE平分∠ABC,直线BE交AD于点D.若反比例函数y=(x<0)的图象经过点D,则k的值是( )
A.﹣8 B.﹣9 C.﹣10 D.﹣12
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分).
13.(2023九上·叙州开学考) 已知,则xy的平方根为 .
14.(2023九上·叙州开学考) 已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根,则代数式a2+a+1的值是 .
15.(2023九上·叙州开学考)如图,在平面直角坐标系中,函数与y=x﹣1的图象交于点P(a,b),则代数式的值为 .
16.(2023九上·叙州开学考) 如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E,F分别为边BC,CD上一点,连接OE,OF,EF,OE⊥OF.若∠AOE=150°,EF=4,则DF的长为 .
17.(2019八上·乐亭期中)若 + =3,则 的值为 .
18.(2023九上·叙州开学考) 如图,已知四边形ABCD为正方形,,E为对角线AC上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.下列结论:①矩形DEFG是正方形;②;③CG平分∠DCF;④CE=CF.其中正确的是 (填序号).
三、解答题:(本大题共7个小题,共78分)解答题应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.(注意:在试题卷上作答无效)
19.(2023九上·叙州开学考)计算或解方程:
(1);
(2).
20.(2023九上·叙州开学考)化简求值:,其中x=﹣3.
21.(2023九上·叙州开学考)光明学校为了提高学生的“甲流病毒防范”意识,特组织了一场“防疫”知识竞赛,学校在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的成绩(分数)进行整理分析,已知成绩(分数)x均为整数,且分为A,B,C,D,E五个等级,分别是:
A:90≤x≤100,B:80≤x<90,C:70≤x<80,D:60≤x<70,E:0≤x<60.并给出了部分信息:
①八年级B等级中由低到高的10个分数为:80,80,81,83,83,83,84,84,85,85;
②两个年级学生“防疫”知识竞赛分数统计图:
③两个年级学生“防疫”知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下:
平均数 中位数 众数
八年级 84 a 76
九年级 84 81 75
(1)直接写出a,m的值;
(2)若分数不低于80分表示该生对“防疫”知识掌握较好,该校八年级有学生1800人,九年级有学生1900人,请估计该校八、九年级所有学生中,对“防疫”知识掌握较好的学生人数.
22.(2023九上·叙州开学考)如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,E为线段AD的中点,延长BE与CD的延长线交于点F,连接AF,∠BDF=90°.
(1)求证:四边形ABDF是矩形;
(2)若AD=5,BD=4,求CF的长.
23.(2023八下·肇源月考)某种商品进价为每件50元,若以每件60元出售,每天可售出800件.经市场调查发现,若每件商品售价每提高5元,则每天要少卖100件.求该商品应如何定价,才能使每天卖出该商品的利润为12000元?
24.(2023九上·叙州开学考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB∥DC,对角线AC,BD交于点O,以OD、OC为边作矩形DOCE,连接OE,交CD于点F.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若OE=4,∠ABC=120°,求菱形ABCD的面积.
25.(2023九上·叙州开学考)已知,矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示,点C在x轴的正半轴上,点A在y轴的正半轴上,已知点B坐标为(3,6),反比例函数的图象经过AB的中点D,且与BC交于点E,顺次连接O,D,E.
(1)求m的值及点E的坐标;
(2)点M为y轴正半轴上一点,若△MBO的面积等于△ODE的面积,求点M的坐标;
(3)平面直角坐标系中是否存在一点N,使得O,D,E,N四点顺次连接构成平行四边形?若存在,请直接写出N的坐标;若不存在,请说明理由.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解: 0.00000022=2.2×10-7,
故答案为:B.
【分析】 把一个绝对值大于10的实数记为a×10n的形式(1≤|a|<10,n为整数),这种记数法叫做科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
2.【答案】A
【知识点】同底数幂的除法;完全平方公式及运用;二次根式的性质与化简;幂的乘方
【解析】【解答】解: A:(a4)2=a8,计算正确,符合题意;
B:,计算错误,不符合题意;
C:(x﹣2)2=x2﹣4x+4≠x2﹣4,计算错误,不符合题意;
D:a6÷a2=a4≠a3,计算错误,不符合题意;
故答案为:A.
【分析】利用幂的乘方,二次根式的性质,完全平方公式以及同底数幂的除法法则等计算求解即可。
3.【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解:若要判断哪支护卫队队员身高更为整齐,应该比较两组数据的方差.
故答案为:D.
【分析】平均数是指一组数据之和,除以这组数的个数,平均数是反应一组数据集中趋势的量;众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做众数,(众数可能有多个),简单的说,就是一组数据中占比最多的那个数,反应的是一组数据的集中趋势的量;中位数:将一组数据按从小到大(或者从大到小)的顺序排列后,如果数据的个数是奇数个时,则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数个时,则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数,数组中,一半的数据比中位数大,另一半的数据比中位数小,中位数是一种衡量集中趋势的量;方差是反映一组数据的波动大小的一个量,方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好,据此一一判断得出答案.
4.【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;一次函数与一元一次方程的综合应用
【解析】【解答】解:观察函数图象可知,函数y=kx+b经过(-2,3)和(0,1),
由题意可得:,
解得:,
∴函数y=-x+1,
∴当y=0时,-x+1=0,
解得:x=1,
故答案为:A.
【分析】利用待定系数法求出函数y=-x+1,再求出当y=0时,-x+1=0,最后计算求解即可。
5.【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解:∵一元二次方程6x2﹣1=3x,
∴6x2﹣3x-1=0,
∴二次项的系数和一次项系数分别是 6和-3,
故答案为:A.
【分析】根据题意先求出6x2﹣3x-1=0,再根据一元二次方程二次项系数和一次项系数的定义求解即可。
6.【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义;三角形的面积
【解析】【解答】解:如图所示:连接OP,
,
∵PA⊥y轴,
∴,
故答案为:B.
【分析】先作图,再根据反比例函数k的几何意义计算求解即可。
7.【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理;矩形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵AB=,AD=2,BD=,
∴AB2+AD2=6,BD2=6,
∴AB2+AD2=BD2,
∴∠BAD=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形,
∴,
∵点E为BC的中点,
∴BE=EC,
∴,
∴,
故答案为:C.
【分析】利用矩形的判定方法求出平行四边形ABCD是矩形,再求出,最后求面积即可。
8.【答案】B
【知识点】分式的化简求值;一元二次方程的根
【解析】【解答】解:∵a是方程x2﹣2x﹣2=0的根,
∴a2﹣2a﹣2=0,
∴a2﹣2a=2,
∴a2=2a+2,
∴,
故答案为:B.
【分析】根据方程的根求出a2﹣2a﹣2=0,再求出a2=2a+2,最后代入计算求解即可。
9.【答案】B
【知识点】垂线段最短;三角形的面积;勾股定理;矩形的判定与性质
【解析】【解答】解:如图所示:连接AD,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠AED=∠AFD=90°,
∵∠BAC=90°,
∴四边形AFDE是矩形,
∴EF=AD,
∴当AD⊥BC时,AD最短,
∵AB=3,,
∴,
∴,
解得:,
∴EF的最小值为,
故答案为:B.
【分析】根据题意先求出四边形AFDE是矩形,再求出当AD⊥BC时,AD最短,最后利用勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。
10.【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程;三角形三边关系;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的两根
∴(x-4)(x-9)=0
∴x-4=0或x-9=0,
解之:x1=4,x2=9,
∴第三边长为4或9,
当第三边长为4时,3+4=7>6,
∴该三角形的周长为3+4+6=13;
当第三边长为9时,3+6=9,不能构成三角形.
故答案为:B.
【分析】利用因式分解法求出方程的解,再分情况讨论:当第三边长为4时;当第三边长为9时;利用三角形的三边关系定理,可得答案.
11.【答案】B
【知识点】菱形的性质;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,OA=OC,OB=OD=BD,
∴BD=2OB=12,
∵菱形ABCD的面积为54,
∴,
∴AC=9,
∵AE⊥BC,
∴∠AEC=90°,
∴4.5,
故答案为:B.
【分析】根据菱形的性质求出BD⊥AC,OA=OC,OB=OD=BD,再利用菱形的面积公式求出,最后计算求解即可。
12.【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义;三角形全等及其性质;角平分线的性质;正方形的判定与性质
【解析】【解答】解:如图所示:过点D作DF⊥x轴,DG⊥y轴,延长AB,过点D作DH⊥AB,
∵AD平分∠OAB,BE平分∠ABC,
∴DF=DG,DG=DH,∠CBE=∠ABE,∠HBC= ∠OBA,
∴∠1=∠2,DH=DG,
∵DB=DB,
∴△DBH≌△DBG,
∴BH=BG,
∵∠DGO=∠DFO=∠GOF=90°,DG=DF,
∴四边形DGOF是正方形,
∴OG=FO,
∴OB=BG+GO,
∵ AD=AD,DH=DF,∠AHD=∠AFD =90°,
∴△ADF≌△ADH,
∴AH=AF,
∴AB+OB+AO=AH+AF,
∵A(3,0), B(0,4),
∴OA=3,OB=4,
∴,
∴,
∵OA=3,
∴OF=OG=3,
∴D(-3,3),
∴k=-3x3=-9,
故答案为:B.
【分析】根据角平分线求出DF=DG,DG=DH,∠CBE=∠ABE,∠HBC= ∠OBA,再利用正方形的判定与性质,三角形全等的判定与性质以及勾股定理等计算求解即可。
13.【答案】±2
【知识点】平方根;函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解:∵, x-1≥0,1-x≥0,
∴x-1=0,
解得:x=1,
∴y=4,
∴xy=4,
∴xy的平方根为,
故答案为:±2.
【分析】根据题意先求出x-1=0,再求出y=4,最后根据平方根计算求解即可。
14.【答案】2
【知识点】代数式求值;一元二次方程的根
【解析】【解答】解:∵ a是方程x2+x﹣1=0的一个根,
∴ a2+a-1=0,
解得: a2+a=1,
∴a2+a+1=1+1=2,
故答案为:2.
【分析】根据方程的根先求出a2+a-1=0,再求出 a2+a=1,最后计算求解即可。
15.【答案】
【知识点】分式的化简求值;反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解:∵ 函数与y=x﹣1的图象交于点P(a,b),
∴ab=5,b=a-1,
∴,
故答案为: .
【分析】根据题意先求出ab=5,b=a-1,再化简分式计算求解即可。
16.【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质;正方形的性质;等腰直角三角形
【解析】【解答】解:如图所示:过点F作FG⊥BD,
∵ 在正方形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,
∴OB=OC,∠AOB=∠BOC=90°,∠OBC=∠OCD=45°,
∵∠AOE=150°
∴∠BOE=∠AOE-∠AOB=60°,
∵OE⊥OF,
∴∠EOF=∠BOC=90°,
∴∠BOE=∠COF=60°,
∴△BOE≌△COF ,
∴OE=OF,
∴△OEF是等腰直角三角形,
∵∠BOE=60°,
∴∠DOF=180°-∠BOE-∠EOF=30°,
∴,
∴∠OGF=∠DGF=90°,
∵∠ODC=45°,
∴△DGF是等腰直角三角形,
∴DF=2GF=2,
故答案为:2.
【分析】根据正方形的性质求出OB=OC,∠AOB=∠BOC=90°,∠OBC=∠OCD=45°,再求出△BOE≌△COF ,最后根据全等三角形的性质,等腰直角三角形的判定与性质等计算求解即可。
17.【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解:∵ + =3,
∴ =3,即b+a=3ab,
则 = = = ,
故答案为:
【分析】将前后两个代数式分别进行化简,即可得到a+b和ab之间的关系,将后者代数式进行化简,求出数值即可。
18.【答案】①③
【知识点】三角形全等及其性质;矩形的性质;正方形的判定与性质
【解析】【解答】解:如图所示:过点E作EM⊥BC,EN⊥CD于点N,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD = 90°,∠ECN =45°,
∵EM⊥BC,EN⊥CD,
∴∠EMC= ∠ENC = ∠BCD=90°,
∴∠CEN=∠ECN =45°,
∴NE = NC,
∴四边形EMCN是正方形,
∴EM= EN,
∵四边形DEFG是矩形,
∴∠DEN + ∠NEF = ∠MEF+ ∠NEF=90°,
∴∠DEN = ∠MEF,
∵∠DNE = ∠FME,
∴△DEN≌△FEM,
∴ED = EF,
∴矩形DEFG是正方形,结论①正确;
∴∠EDC+∠CDG = 90°,DE =DG,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADE+ ∠EDC = 90°,AD = DC,
∴∠ADE = ∠CDG,
∴△ADE≌△CDG,
∴AE = CG,∠DAE= ∠DCG= 45°,
∵∠DCF =90°,
∴CG平分∠DCF,结论③正确;
∴AC= AE+CE = CE+CG= AD,结论②错误;
当DE⊥AC时,点C与点F重合,
∴CE不一定等于CF,结论④错误;
综上所述:正确的是①③.
故答案为:①③.
【分析】利用正方形的判定与性质,全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等对每个结论逐一判断求解即可。
19.【答案】(1)解:原式=4-2+8+3+4
=15+
(2)解:3x2﹣8x﹣2=0,
∵Δ=b2﹣4ac=64+24=88>0,
则,
解得:,.
【知识点】二次根式的混合运算;公式法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用二次根式的混合运算法则,完全平方公式计算求解即可;
(2)利用公式法解方程即可。
20.【答案】解:原式=
=
当x=﹣3时,原式=.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简分式,求出原式= ,再将x=-3代入计算求解即可。
21.【答案】(1)a=84,m=30
(2)解:18001900×(22%+30%)
=1080+988
=2068(人),
答:该校八年级1800名学生,九年级1900名学生中,对“防疫”知识掌握较好的学生人数大约有2068人.
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解:(1)将八年级这50名学生的成绩从小到大排列,处在第25、26位的两个数的平均数是=84,
∴中位数是84,
即a=84;
∵1﹣22%﹣36%﹣6%﹣6%=30%,
∴m=30,
即a=84,m=30;
【分析】(1)根据图表中的数据计算求解即可;
(2)根据题意列式求出 18001900×(22%+30%) ,再计算求解即可。
22.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠ABE=∠DFE,
∵AE=DE,∠AEB=∠DEF,
∴△AEB≌△DEF(AAS),
∴AB=DF,
∵AB∥DF,
∴四边形ABDF是平行四边形,
∵BDF=90°,
∴平行四边形ABDF是矩形.
(2)解:由(1)得:四边形ABDF是矩形,AB=DF,
∴BF=AD=5,
∴3,
则AB=DF=3,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=3,
∴CF=CD+DF=3+3=6.
【知识点】三角形全等及其性质;勾股定理;平行四边形的性质;矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质求出 AB∥CD, 再利用AAS证明 △AEB≌△DEF,最后利用矩形的判定方法证明求解即可;
(2)根据矩形的性质求出BF=AD=5,再利用勾股定理求出DF=3,最后根据平行四边形的性质计算求解即可。
23.【答案】解:设该商品定价为x元,
由题意可得:,
解得:或,
∴售价应定为70元或80元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设该商品定价为x元,则每件的利润为(x-50)元,每天的销售量为800-×100,根据买件的利润×每天的销售量=总利润结合题意可得关于x的方程,求解即可.
24.【答案】(1)证明:∵DA∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵四边形DOCE是矩形,
∴∠DOC=90°,
∴AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形;
(2)解:∵四边形DOCE是矩形,
∴OE=CD=4,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD=4,
∵∠ABC=120°,AB∥CD,
∴∠BAD=180°﹣120°=60°,
∵AB=AD,
∴△ABD是等边三角形,
∴OB=4=2,
∴OA=,OB=2,
∴AC=4,BD=4,
∴四边形ABCD的面积=AC BD=44=8.
【知识点】等边三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质;菱形的判定与性质;矩形的性质
【解析】【分析】(1)利用平行四边形的判定方法求出四边形ABCD是平行四边形,再根据矩形的判定方法求出∠DOC=90°, 最后利用菱形的判定方法证明即可;
(2)根据矩形的性质求出OE=CD=4,再求出 △ABD是等边三角形,最后利用菱形的面积公式计算求解即可。
25.【答案】(1)解:∵点B的坐标为(3,6),D为AB中点,
∴D(1.5,6),
∴m=1.5×6=9,
∴反比例函数解析式为y=,
把x=3代入得:y=3,
即E(3,3);
(2)解:设点M的坐标为(0,n),
∵点D的坐标为(1.5,6),点E的坐标为(3,3),
∴S△ODE=3×63×33,
由题意得:3×n=,
解得:n,
∴△MBO的面积等于△ODE的面积时,点M的坐标(0,);
(3)N的坐标为(,﹣3)或(﹣1.5,3)或(4.5,9)
【知识点】平行四边形的性质;矩形的性质;几何图形的面积计算-割补法;反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解:(3)由题意得:O(0,0),D(1.5,6),E(3,3),
设N(x,y),
分三种情况考虑:
①当四边形ON1ED为平行四边形时,可得0=3﹣x,6﹣0=3﹣y,
解得:x=,y=﹣3,
即N1(,﹣3);
②当四边形OEDN2为平行四边形时,可得0+1.5=3+x,0+6=3+y,
解得:x=﹣1.5,y=3,
即N2(﹣1.5,3);
③当四边形OEN3D为平行四边形时,可得1.5+3=0+x,6+3=0+y,
解得:x=4.5,y=9,
即N3(4.5,9),
综上,N的坐标为(,﹣3)或(﹣1.5,3)或(4.5,9).
【分析】(1)根据题意先求出 D(1.5,6), 再利用待定系数法求出反比例函数解析式为y=,最后求解即可;
(2)根据题意,利用矩形和三角形的面积公式列方程求解即可;
(3)分类讨论,结合图象,利用平行四边形的性质列方程求解即可。
1 / 1四川省宜宾市叙州区行知学校2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分).在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2023九上·叙州开学考)数据0.00000022用科学记数法表示为( )
A.0.22×10﹣6 B.2.2×10﹣7
C.0.22×10﹣9 D.0.22×10﹣10
【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解: 0.00000022=2.2×10-7,
故答案为:B.
【分析】 把一个绝对值大于10的实数记为a×10n的形式(1≤|a|<10,n为整数),这种记数法叫做科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
2.(2023九上·叙州开学考)下列计算正确的是( )
A.(a4)2=a8 B.
C.(x﹣2)2=x2﹣4 D.a6÷a2=a3
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法;完全平方公式及运用;二次根式的性质与化简;幂的乘方
【解析】【解答】解: A:(a4)2=a8,计算正确,符合题意;
B:,计算错误,不符合题意;
C:(x﹣2)2=x2﹣4x+4≠x2﹣4,计算错误,不符合题意;
D:a6÷a2=a4≠a3,计算错误,不符合题意;
故答案为:A.
【分析】利用幂的乘方,二次根式的性质,完全平方公式以及同底数幂的除法法则等计算求解即可。
3.(2023·阜新)某中学甲、乙两支国旗护卫队的队员身高(单位:)数据如下:
甲队:178,177,179,179,178,178,177,178,177,179;
乙队:178,177,177,176,178,175,177,181,180,181.
若要判断哪支护卫队队员身高更为整齐,应该比较两组数据的( )
A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差
【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解:若要判断哪支护卫队队员身高更为整齐,应该比较两组数据的方差.
故答案为:D.
【分析】平均数是指一组数据之和,除以这组数的个数,平均数是反应一组数据集中趋势的量;众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做众数,(众数可能有多个),简单的说,就是一组数据中占比最多的那个数,反应的是一组数据的集中趋势的量;中位数:将一组数据按从小到大(或者从大到小)的顺序排列后,如果数据的个数是奇数个时,则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数个时,则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数,数组中,一半的数据比中位数大,另一半的数据比中位数小,中位数是一种衡量集中趋势的量;方差是反映一组数据的波动大小的一个量,方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好,据此一一判断得出答案.
4.(2023九上·叙州开学考)函数y=kx+b的图象如图所示,根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为( )
A.x=1 B.x=﹣2 C.x=0 D.x=3
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;一次函数与一元一次方程的综合应用
【解析】【解答】解:观察函数图象可知,函数y=kx+b经过(-2,3)和(0,1),
由题意可得:,
解得:,
∴函数y=-x+1,
∴当y=0时,-x+1=0,
解得:x=1,
故答案为:A.
【分析】利用待定系数法求出函数y=-x+1,再求出当y=0时,-x+1=0,最后计算求解即可。
5.(2023九上·叙州开学考) 将一元二次方程6x2﹣1=3x化成一般形式后,二次项的系数和一次项系数分别是( )
A.6,-3 B.6,3 C.6,-1 D.6,1
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解:∵一元二次方程6x2﹣1=3x,
∴6x2﹣3x-1=0,
∴二次项的系数和一次项系数分别是 6和-3,
故答案为:A.
【分析】根据题意先求出6x2﹣3x-1=0,再根据一元二次方程二次项系数和一次项系数的定义求解即可。
6.(2023九上·叙州开学考) 如图,点P是反比例函数y=图象上一点,过点P作PA⊥y轴,垂足为点A,点B在x轴上,则△PAB的面积是( )
A. B.1 C.2 D.4
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义;三角形的面积
【解析】【解答】解:如图所示:连接OP,
,
∵PA⊥y轴,
∴,
故答案为:B.
【分析】先作图,再根据反比例函数k的几何意义计算求解即可。
7.(2023九上·叙州开学考) 如图,在平行四边形ABCD中,AB=,AD=2,连接AC,BD相交于点O,E为BC的中点,若BD=,则四边形OECD的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理;矩形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵AB=,AD=2,BD=,
∴AB2+AD2=6,BD2=6,
∴AB2+AD2=BD2,
∴∠BAD=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形,
∴,
∵点E为BC的中点,
∴BE=EC,
∴,
∴,
故答案为:C.
【分析】利用矩形的判定方法求出平行四边形ABCD是矩形,再求出,最后求面积即可。
8.(2023九上·叙州开学考) 已知a是方程x2﹣2x﹣2=0的根,则的值是( )
A. B. C. D.2
【答案】B
【知识点】分式的化简求值;一元二次方程的根
【解析】【解答】解:∵a是方程x2﹣2x﹣2=0的根,
∴a2﹣2a﹣2=0,
∴a2﹣2a=2,
∴a2=2a+2,
∴,
故答案为:B.
【分析】根据方程的根求出a2﹣2a﹣2=0,再求出a2=2a+2,最后代入计算求解即可。
9.(2023九上·叙州开学考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,,D为BC边上一点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,连接EF,则EF的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】垂线段最短;三角形的面积;勾股定理;矩形的判定与性质
【解析】【解答】解:如图所示:连接AD,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠AED=∠AFD=90°,
∵∠BAC=90°,
∴四边形AFDE是矩形,
∴EF=AD,
∴当AD⊥BC时,AD最短,
∵AB=3,,
∴,
∴,
解得:,
∴EF的最小值为,
故答案为:B.
【分析】根据题意先求出四边形AFDE是矩形,再求出当AD⊥BC时,AD最短,最后利用勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。
10.(2023九上·宁德开学考)三角形两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的两根,则该三角形的周长为( )
A.4 B.13 C.4或9 D.13或18
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程;三角形三边关系;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的两根
∴(x-4)(x-9)=0
∴x-4=0或x-9=0,
解之:x1=4,x2=9,
∴第三边长为4或9,
当第三边长为4时,3+4=7>6,
∴该三角形的周长为3+4+6=13;
当第三边长为9时,3+6=9,不能构成三角形.
故答案为:B.
【分析】利用因式分解法求出方程的解,再分情况讨论:当第三边长为4时;当第三边长为9时;利用三角形的三边关系定理,可得答案.
11.(2023九上·叙州开学考) 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,连接OE.若OB=6,菱形ABCD的面积为54,则OE的长为( )
A.4 B.4.5 C.5 D.5.5
【答案】B
【知识点】菱形的性质;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,OA=OC,OB=OD=BD,
∴BD=2OB=12,
∵菱形ABCD的面积为54,
∴,
∴AC=9,
∵AE⊥BC,
∴∠AEC=90°,
∴4.5,
故答案为:B.
【分析】根据菱形的性质求出BD⊥AC,OA=OC,OB=OD=BD,再利用菱形的面积公式求出,最后计算求解即可。
12.(2023九上·叙州开学考) 如图,已知点A(3,0),B(0,4),C是y轴上位于点B上方的一点,AD平分∠OAB,BE平分∠ABC,直线BE交AD于点D.若反比例函数y=(x<0)的图象经过点D,则k的值是( )
A.﹣8 B.﹣9 C.﹣10 D.﹣12
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义;三角形全等及其性质;角平分线的性质;正方形的判定与性质
【解析】【解答】解:如图所示:过点D作DF⊥x轴,DG⊥y轴,延长AB,过点D作DH⊥AB,
∵AD平分∠OAB,BE平分∠ABC,
∴DF=DG,DG=DH,∠CBE=∠ABE,∠HBC= ∠OBA,
∴∠1=∠2,DH=DG,
∵DB=DB,
∴△DBH≌△DBG,
∴BH=BG,
∵∠DGO=∠DFO=∠GOF=90°,DG=DF,
∴四边形DGOF是正方形,
∴OG=FO,
∴OB=BG+GO,
∵ AD=AD,DH=DF,∠AHD=∠AFD =90°,
∴△ADF≌△ADH,
∴AH=AF,
∴AB+OB+AO=AH+AF,
∵A(3,0), B(0,4),
∴OA=3,OB=4,
∴,
∴,
∵OA=3,
∴OF=OG=3,
∴D(-3,3),
∴k=-3x3=-9,
故答案为:B.
【分析】根据角平分线求出DF=DG,DG=DH,∠CBE=∠ABE,∠HBC= ∠OBA,再利用正方形的判定与性质,三角形全等的判定与性质以及勾股定理等计算求解即可。
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分).
13.(2023九上·叙州开学考) 已知,则xy的平方根为 .
【答案】±2
【知识点】平方根;函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解:∵, x-1≥0,1-x≥0,
∴x-1=0,
解得:x=1,
∴y=4,
∴xy=4,
∴xy的平方根为,
故答案为:±2.
【分析】根据题意先求出x-1=0,再求出y=4,最后根据平方根计算求解即可。
14.(2023九上·叙州开学考) 已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根,则代数式a2+a+1的值是 .
【答案】2
【知识点】代数式求值;一元二次方程的根
【解析】【解答】解:∵ a是方程x2+x﹣1=0的一个根,
∴ a2+a-1=0,
解得: a2+a=1,
∴a2+a+1=1+1=2,
故答案为:2.
【分析】根据方程的根先求出a2+a-1=0,再求出 a2+a=1,最后计算求解即可。
15.(2023九上·叙州开学考)如图,在平面直角坐标系中,函数与y=x﹣1的图象交于点P(a,b),则代数式的值为 .
【答案】
【知识点】分式的化简求值;反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解:∵ 函数与y=x﹣1的图象交于点P(a,b),
∴ab=5,b=a-1,
∴,
故答案为: .
【分析】根据题意先求出ab=5,b=a-1,再化简分式计算求解即可。
16.(2023九上·叙州开学考) 如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E,F分别为边BC,CD上一点,连接OE,OF,EF,OE⊥OF.若∠AOE=150°,EF=4,则DF的长为 .
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质;正方形的性质;等腰直角三角形
【解析】【解答】解:如图所示:过点F作FG⊥BD,
∵ 在正方形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,
∴OB=OC,∠AOB=∠BOC=90°,∠OBC=∠OCD=45°,
∵∠AOE=150°
∴∠BOE=∠AOE-∠AOB=60°,
∵OE⊥OF,
∴∠EOF=∠BOC=90°,
∴∠BOE=∠COF=60°,
∴△BOE≌△COF ,
∴OE=OF,
∴△OEF是等腰直角三角形,
∵∠BOE=60°,
∴∠DOF=180°-∠BOE-∠EOF=30°,
∴,
∴∠OGF=∠DGF=90°,
∵∠ODC=45°,
∴△DGF是等腰直角三角形,
∴DF=2GF=2,
故答案为:2.
【分析】根据正方形的性质求出OB=OC,∠AOB=∠BOC=90°,∠OBC=∠OCD=45°,再求出△BOE≌△COF ,最后根据全等三角形的性质,等腰直角三角形的判定与性质等计算求解即可。
17.(2019八上·乐亭期中)若 + =3,则 的值为 .
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解:∵ + =3,
∴ =3,即b+a=3ab,
则 = = = ,
故答案为:
【分析】将前后两个代数式分别进行化简,即可得到a+b和ab之间的关系,将后者代数式进行化简,求出数值即可。
18.(2023九上·叙州开学考) 如图,已知四边形ABCD为正方形,,E为对角线AC上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.下列结论:①矩形DEFG是正方形;②;③CG平分∠DCF;④CE=CF.其中正确的是 (填序号).
【答案】①③
【知识点】三角形全等及其性质;矩形的性质;正方形的判定与性质
【解析】【解答】解:如图所示:过点E作EM⊥BC,EN⊥CD于点N,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD = 90°,∠ECN =45°,
∵EM⊥BC,EN⊥CD,
∴∠EMC= ∠ENC = ∠BCD=90°,
∴∠CEN=∠ECN =45°,
∴NE = NC,
∴四边形EMCN是正方形,
∴EM= EN,
∵四边形DEFG是矩形,
∴∠DEN + ∠NEF = ∠MEF+ ∠NEF=90°,
∴∠DEN = ∠MEF,
∵∠DNE = ∠FME,
∴△DEN≌△FEM,
∴ED = EF,
∴矩形DEFG是正方形,结论①正确;
∴∠EDC+∠CDG = 90°,DE =DG,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADE+ ∠EDC = 90°,AD = DC,
∴∠ADE = ∠CDG,
∴△ADE≌△CDG,
∴AE = CG,∠DAE= ∠DCG= 45°,
∵∠DCF =90°,
∴CG平分∠DCF,结论③正确;
∴AC= AE+CE = CE+CG= AD,结论②错误;
当DE⊥AC时,点C与点F重合,
∴CE不一定等于CF,结论④错误;
综上所述:正确的是①③.
故答案为:①③.
【分析】利用正方形的判定与性质,全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等对每个结论逐一判断求解即可。
三、解答题:(本大题共7个小题,共78分)解答题应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.(注意:在试题卷上作答无效)
19.(2023九上·叙州开学考)计算或解方程:
(1);
(2).
【答案】(1)解:原式=4-2+8+3+4
=15+
(2)解:3x2﹣8x﹣2=0,
∵Δ=b2﹣4ac=64+24=88>0,
则,
解得:,.
【知识点】二次根式的混合运算;公式法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用二次根式的混合运算法则,完全平方公式计算求解即可;
(2)利用公式法解方程即可。
20.(2023九上·叙州开学考)化简求值:,其中x=﹣3.
【答案】解:原式=
=
当x=﹣3时,原式=.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简分式,求出原式= ,再将x=-3代入计算求解即可。
21.(2023九上·叙州开学考)光明学校为了提高学生的“甲流病毒防范”意识,特组织了一场“防疫”知识竞赛,学校在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的成绩(分数)进行整理分析,已知成绩(分数)x均为整数,且分为A,B,C,D,E五个等级,分别是:
A:90≤x≤100,B:80≤x<90,C:70≤x<80,D:60≤x<70,E:0≤x<60.并给出了部分信息:
①八年级B等级中由低到高的10个分数为:80,80,81,83,83,83,84,84,85,85;
②两个年级学生“防疫”知识竞赛分数统计图:
③两个年级学生“防疫”知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下:
平均数 中位数 众数
八年级 84 a 76
九年级 84 81 75
(1)直接写出a,m的值;
(2)若分数不低于80分表示该生对“防疫”知识掌握较好,该校八年级有学生1800人,九年级有学生1900人,请估计该校八、九年级所有学生中,对“防疫”知识掌握较好的学生人数.
【答案】(1)a=84,m=30
(2)解:18001900×(22%+30%)
=1080+988
=2068(人),
答:该校八年级1800名学生,九年级1900名学生中,对“防疫”知识掌握较好的学生人数大约有2068人.
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解:(1)将八年级这50名学生的成绩从小到大排列,处在第25、26位的两个数的平均数是=84,
∴中位数是84,
即a=84;
∵1﹣22%﹣36%﹣6%﹣6%=30%,
∴m=30,
即a=84,m=30;
【分析】(1)根据图表中的数据计算求解即可;
(2)根据题意列式求出 18001900×(22%+30%) ,再计算求解即可。
22.(2023九上·叙州开学考)如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,E为线段AD的中点,延长BE与CD的延长线交于点F,连接AF,∠BDF=90°.
(1)求证:四边形ABDF是矩形;
(2)若AD=5,BD=4,求CF的长.
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠ABE=∠DFE,
∵AE=DE,∠AEB=∠DEF,
∴△AEB≌△DEF(AAS),
∴AB=DF,
∵AB∥DF,
∴四边形ABDF是平行四边形,
∵BDF=90°,
∴平行四边形ABDF是矩形.
(2)解:由(1)得:四边形ABDF是矩形,AB=DF,
∴BF=AD=5,
∴3,
则AB=DF=3,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=3,
∴CF=CD+DF=3+3=6.
【知识点】三角形全等及其性质;勾股定理;平行四边形的性质;矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质求出 AB∥CD, 再利用AAS证明 △AEB≌△DEF,最后利用矩形的判定方法证明求解即可;
(2)根据矩形的性质求出BF=AD=5,再利用勾股定理求出DF=3,最后根据平行四边形的性质计算求解即可。
23.(2023八下·肇源月考)某种商品进价为每件50元,若以每件60元出售,每天可售出800件.经市场调查发现,若每件商品售价每提高5元,则每天要少卖100件.求该商品应如何定价,才能使每天卖出该商品的利润为12000元?
【答案】解:设该商品定价为x元,
由题意可得:,
解得:或,
∴售价应定为70元或80元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设该商品定价为x元,则每件的利润为(x-50)元,每天的销售量为800-×100,根据买件的利润×每天的销售量=总利润结合题意可得关于x的方程,求解即可.
24.(2023九上·叙州开学考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB∥DC,对角线AC,BD交于点O,以OD、OC为边作矩形DOCE,连接OE,交CD于点F.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若OE=4,∠ABC=120°,求菱形ABCD的面积.
【答案】(1)证明:∵DA∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵四边形DOCE是矩形,
∴∠DOC=90°,
∴AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形;
(2)解:∵四边形DOCE是矩形,
∴OE=CD=4,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD=4,
∵∠ABC=120°,AB∥CD,
∴∠BAD=180°﹣120°=60°,
∵AB=AD,
∴△ABD是等边三角形,
∴OB=4=2,
∴OA=,OB=2,
∴AC=4,BD=4,
∴四边形ABCD的面积=AC BD=44=8.
【知识点】等边三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质;菱形的判定与性质;矩形的性质
【解析】【分析】(1)利用平行四边形的判定方法求出四边形ABCD是平行四边形,再根据矩形的判定方法求出∠DOC=90°, 最后利用菱形的判定方法证明即可;
(2)根据矩形的性质求出OE=CD=4,再求出 △ABD是等边三角形,最后利用菱形的面积公式计算求解即可。
25.(2023九上·叙州开学考)已知,矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示,点C在x轴的正半轴上,点A在y轴的正半轴上,已知点B坐标为(3,6),反比例函数的图象经过AB的中点D,且与BC交于点E,顺次连接O,D,E.
(1)求m的值及点E的坐标;
(2)点M为y轴正半轴上一点,若△MBO的面积等于△ODE的面积,求点M的坐标;
(3)平面直角坐标系中是否存在一点N,使得O,D,E,N四点顺次连接构成平行四边形?若存在,请直接写出N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)解:∵点B的坐标为(3,6),D为AB中点,
∴D(1.5,6),
∴m=1.5×6=9,
∴反比例函数解析式为y=,
把x=3代入得:y=3,
即E(3,3);
(2)解:设点M的坐标为(0,n),
∵点D的坐标为(1.5,6),点E的坐标为(3,3),
∴S△ODE=3×63×33,
由题意得:3×n=,
解得:n,
∴△MBO的面积等于△ODE的面积时,点M的坐标(0,);
(3)N的坐标为(,﹣3)或(﹣1.5,3)或(4.5,9)
【知识点】平行四边形的性质;矩形的性质;几何图形的面积计算-割补法;反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解:(3)由题意得:O(0,0),D(1.5,6),E(3,3),
设N(x,y),
分三种情况考虑:
①当四边形ON1ED为平行四边形时,可得0=3﹣x,6﹣0=3﹣y,
解得:x=,y=﹣3,
即N1(,﹣3);
②当四边形OEDN2为平行四边形时,可得0+1.5=3+x,0+6=3+y,
解得:x=﹣1.5,y=3,
即N2(﹣1.5,3);
③当四边形OEN3D为平行四边形时,可得1.5+3=0+x,6+3=0+y,
解得:x=4.5,y=9,
即N3(4.5,9),
综上,N的坐标为(,﹣3)或(﹣1.5,3)或(4.5,9).
【分析】(1)根据题意先求出 D(1.5,6), 再利用待定系数法求出反比例函数解析式为y=,最后求解即可;
(2)根据题意,利用矩形和三角形的面积公式列方程求解即可;
(3)分类讨论,结合图象,利用平行四边形的性质列方程求解即可。
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