2023-2024学年河北省唐山市高三（上）摸底数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省唐山市高三（上）摸底数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知曲线在处的切线为，则的斜率为( )
A. B. C. D.
5.已知直线：，圆：，若圆上恰有三个点到直线的距离都等于，则( )
A. B. C. D.
6.设甲：为等比数列；乙：为等比数列，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7.已知为坐标原点，点是抛物线：的准线上一点，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.设，，当取得最大值时，，满足( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.有两组样本数据，分别为，和，，，，且平均数与，标准差分别为和，将两组数据合并为，，，重新计算平均数和标准差，则( )
A. 平均数为 B. 平均数为 C. 标准差为 D. 标准差为
10.已知函数的定义域为，是周期为的奇函数，则( )
A. B. C. D.
11.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度单位：可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数已知( )
A. 若，，则经过后，该物体的温度降为原来的
B. 若，则存在，使得经过后物体的温度是经过后物体温度的的倍
C. 若，且，则
D. 若，且，是的导数，则
12.如图，在三棱台中，下列说法正确的是( )
A.
B. ，，成等比数列
C. 若该三棱台存在内切球，则
D. 若该三棱台存在外接球，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.为了解一个鱼塘中养殖鱼的生长情况，从这个鱼塘多个不同位置捕捞出条鱼，分别做上记号，再放回鱼塘，几天后，再从鱼塘的多处不同位置捕捞出条鱼，发现其中带有记号的鱼有条，请根据这一情况来估计鱼塘中的鱼大概有______ 条
14.在圆锥中，为底面圆心，，为圆锥的母线，且，若棱锥为正三棱锥，则该圆锥的侧面积为______ ．
15.已知，，为与的交点，若为等边三角形，则正数的最小值为______ ．
16.已知，是椭圆：的左，右焦点，上两点，满足，，则的离心率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知和是公差相等的等差数列，且公差，的首项，记为数列的前项和，．
求和；
若，的前项和为，求证：．
18.本小题分
在长方体中，，是棱的中点．
求证：平面平面；
若异面直线与所成角为，求与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
在中，，，为边上一点，且平分．
若，求与；
若，设，求．
20.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
若，求的最小值．
21.本小题分
甲、乙两个袋子里各有个白球和个黑球，每次独立地从两个袋子中随机取出个球相互交换后放回袋中，若第次交换后，甲袋中两个球颜色相同，记，否则，．
求的概率；
求的概率；
记，求．
22.本小题分
已知，是双曲线：上的两个点，且关于原点对称的两条渐近线互相垂直．
求的方程；
设是双曲线上一点，直线，分别与直线交于，两点，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
所以，
故选：．
先解出的范围，进而可得．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由复数，可得，
所以．
故选：．
根据复数的运算法则，求得，得到，即可求得，即可求解．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
所以．
故选：．
由平面向量数量积的坐标运算直接计算即可．
本题考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由，得，
．
即的斜率为．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值得答案．
本题考查导数的几何意义，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：圆心，则点到直线的距离，
又因为圆上恰有三个点到直线的距离为，
所以圆心到直线的距离，即，
故选：．
先求出圆心到直线的距离，由圆上恰有三个点到直线的距离都为，得到圆心到直线的距离，由此能出的值．
本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：充分性：若为等比数列，设其公比为，则，所以为等比数列，公比为，满足充分性．
必要性：若为等比数列，公比为，则，即，
假设为等比数列，此时无解，故不满足必要性．所以甲是乙的充分条件但不是必要条件．
故选：．
根据等比数列的概念和充分必要条件的概念即可得到答案．
本题主要考查等比数列和充分必要条件，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：抛物线：的准线方程为，由在准线上，可得，可得，
即抛物线的方程为；
设直线的方程为：，设，，
联立，整理可得：，
，即，
，，
因为，所以，
即，即，整理可得：，解得：或，符合，
当时，，，
所以，
到直线：的距离，
所以；
当时，，，此时直线过原点，舍．
综上所述：的面积为．
故选：．
由抛物线的方程可得准线方程，再由在准线上，可得的值，设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之积，由，所以，可得参数的值，进而求出的大小，求出到直线的距离的值，代入三角形的面积公式，可得的面积．
本题考查直线与抛物线的综合应用，三角形的面积公式的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：令，而
，
，当，即时，取最大值．
则
其中，
，，当时，取得最大值，
此时，
当，时，取得最大值．
故选：．
根据题意，，是两个无关的变量，可以把看成未知量，看成参数，利用辅助角公式求得的最大值的最大值，进而求出结果．
本题考查三角恒等变换，以及三角函数最值问题，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：数据，，，的平均数为：，方差为：，标准差为．
故选：．
根据平均数和标准差的计算公式即可得解．
本题考查了平均数和标准差的计算公式，考查了计算能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，是周期为的周期函数，
则，即，变形可得，
则函数是周期为的周期函数，
又由是定义域为的奇函数，则，
令可得：，变形可得，
而是周期为的周期函数，则，C正确；
同时，由于是周期为的周期函数且，则有，
令可得：，变形可得，A正确；
设，满足是周期为的奇函数，
而，，则、D错误．
故选：．
根据题意，先分析的周期性，利用奇函数的定义以及特殊值法可得、的值，可得、C正确；举出反例，可得、D错误，综合可得答案．
本题考查函数的奇偶性和周期性，涉及函数值的计算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：把，，代入，
得，所以，所以，故A正确；
根据题意，，化简，得，
因为，所以方程无解，故B错误；
因为，，所以，
所以，即，故C正确；
因为，所以，
所以
，
即，故D错误．
故选：．
结合题意，代入公式，逐项判断，即可得到本题答案．
本题考查了根据实际问题选择函数模型和导数的运算性质，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，如图，，，
又在梯形中，，，
，故A正确；
对于，设三棱台上底面面积为，下底面面积为，高为，
则，，
又，
，，
，，成等比数列，故B正确；
对于，如图，设平面，三棱锥的内切球为球，作截面与球相切，
则球也是三棱台的内切球，
由题意得，，中，最小，即，，不一定相等，故C错误；
对于，如图，若该三棱台的外接球为球，球在上下底面的投影点为，，
则，分别为，的外心，
，，
平面，平面，
平面，，同理可证，
四边形是一个直角梯形，同理可得四边形，也是直角梯形，
三个直角梯形全等，则，故D正确．
故选：．
对于，根据等体积转换进行判断；对于，根据三棱台可以拆个三棱锥及其体积公式进行判断；对于，根据三棱锥有内切球，作截面与内切球相切，则此球也是三棱台的内切球进行判断；对于，三棱台的外接球在一下底面的投影点，为两个底面三角形的外心，得出三个直角梯形全等，再进行判断．
本题考查多面体的外接球球心、投影、多边形的外心、等体积法、三棱锥内切球等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：设鱼塘中有条鱼，
从鱼塘的多处不同位置捕捞出条鱼，发现其中带有记号的鱼有条，
由题意得，
解得，
估计鱼塘中的鱼大概有条．
故答案为：．
由题意捕捞出的条鱼中有条有记号，故可以算出标记的比例，进而估计鱼塘中鱼的总数．
本题考查用样本数据特征估计总体的数字特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：圆锥中，为底面圆心，，为圆锥的母线，且，
若棱锥为正三棱锥，则，
又因为，，所以，
所以，
所以该圆锥的侧面积为
故答案为：
根据题意画出图形，结合图形求出圆锥的母线和底面圆的半径，即可求出圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥与棱锥的结构特征应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：，，为与的交点，若为等边三角形，
则当最小时，，，为与个相邻的个交点．
由于交点的纵坐标为，则等边三角形的高为，
故等边三角形的边长为，
．
故答案为：
由题意，利用余弦函数的图象和性质，等边三角形的性质，得出结论．
本题主要考查余弦函数的图象和性质，等边三角形的性质，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图，
因为，所以可设，，
又，所以，
由椭圆定义，，即，
又，即点为短轴端点，
所以在中，
，
又在中，
，
解得或舍去．
故答案为：．
根据所给线段的长度关系及椭圆的定义，求出的边长，利用余弦定理求，在中再由余弦定理即可求出离心率．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
17.【答案】解：由，得，可得；
，即，解得．
，；
证明：由知，．
．
则
．
故．
【解析】由已知可得，进一步求解，即可得到和；
把和代入，放大后利用裂项相消法即可证明结论．
本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设．
证明：依题意得，，，，
，，．
因为，，则，，
又因为，在平面内，又，则平面，
又平面，则平面平面．
依题意得，，，
则，，解得．
依题意得，
设平面的法向量为，
则，取，
，，
所以与平面所成角的正弦值为．
【解析】以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法可证，，可证平面，进而可证结论；
求得平面的一个法向量，利用向量法可求与平面所成角的正弦值．
本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属中档题．
19.【答案】解：如图所示：
因为平分，所以，
又因为在上，所以，
因此，又，所以，
在中，，，可得，
在中，由余弦定理可得，
故．
因为平分，，又，
所以，，
在中，由正弦定理可得，
又，，所以，
展开并整理得，解得．
【解析】一方面由角平分线定理，另一方面，又，所以可以求出，接下来结合余弦定理即可求出；
由已知条件可知，，，在中运用正弦定理即可求解．
本题主要考查三角形中的几何计算，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
若，
此时，
所以，
因为，
所以，
即，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，
则的最大值为，
故的最小值为．
【解析】由题意，对函数进行求导，利用导数即可得到函数的单调性；
易得，即，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力．
21.【答案】解：设：，：，则．
由于第一次取球之前，两个袋子中的两球颜色各不相同，要使取球交换之后同一个袋子内的两球颜色仍然保持不同，需要取出的两球颜色相同，则．
当时，由得，则．
很明显，，依据全概率公式，得
．
则，
由得，则，
则．
由得的分布列，如下表所示：
则，
由得．
【解析】于第一次取球之前，两个袋子中的两球颜色各不相同，要使取球交换之后同一个袋子内的两球颜色仍然保持不同，需要取出的两球颜色相同计算概率即可得答案；
利用条件概率和全概公式即可求解．
列出分布列后根据数字特征即可求解．
本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，属于中档题．
22.【答案】解：因为点为双曲线上的点，
所以，
又的两条渐近线互相垂直，
所以，
联立，解得，
则双曲线的方程为；
因为是双曲线上一点，
不妨设，
此时，
整理得，
易知，
此时，，
所以，
不妨设直线的方程为，直线的方程为，
因为直线，分别与直线交于，两点，
所以，，
不妨令，，
此时，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当，即时，函数取得极小值也是最小值，最小值，
故的最小值为．
【解析】由题意，根据双曲线过点以及两条渐近线互相垂直，列出等式求出和的值，进而可得双曲线的方程；
设，因为点在双曲线上，此时，求出直线和的斜率之积为，设出直线和的方程，因为直线，分别与直线交于，两点，进而可得关于的表达式，利用换元法，令，，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而即可求解．
本题考查双曲线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
第1页，共1页