2023-2024学年湖南省岳阳十三中高一（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省岳阳十三中高一（上）入学数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
2.将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.世界近代三大数学难题之一哥德巴赫猜想于年由哥德巴赫在给欧拉的信中提出：任一大于的偶数都可写成两个奇素数之和这个猜想至今没有完全证明，目前最前沿的成果是年我国数学家陈景润证明了“”，即他证明了任何一个充分大的偶数，都可以表示为两个数之和，其中一个是素数，另一个或为素数，或为两个素数的乘积，被称为“陈氏定理”我们知道素数又叫质数，是指在大于的自然数中，除了和它本身以外，不能被其他自然数整除的数请问同学们，如果我们从不大于的自然数中任取两个不同的数，这个两个数都是素数有多少种不同的情况？( )
A. B. C. D.
5.下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
6.中，若：：：：，为的重心，则面积：面积：面积( )
A. ：： B. ：： C. ：： D. ：：
7.如图，在平行四边形中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
8.在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新的盐水，它的浓度为，又在新盐水中加入与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后，盐的浓度变为，那么原来盐水的浓度为( )
A. B. C. D.
9.一条抛物线的顶点为，且与轴的两个交点的横坐标为一正一负，则、、中为正数的( )
A. 只有 B. 只有 C. 只有 D. 只有和
10.反比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象只能是( )
A. B.
C. D.
11.如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒若按照这样的方法拼成的第个图形需要根小木棒，则的值为( )
A. B. C. D.
12.如图所示，已知三角形为直角三角形，，为圆切线，为切点，，则和面积之比为( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知实系数一元二次方程的两根分别为，，且，则实数的值为______ ．
14.对于实数，，定义符号，其意义为：当时，；当时，例如：，若关于的函数，则该函数的最大值为______ ．
15.火车匀速通过长米的铁桥用了秒，如果它的速度加快倍，通过米长的铁桥就只用了秒，求这列火车的长度为______ ．
16.如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点连接，将绕点顺时针旋转得到连接，，，则周长的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
计算：
；
解方程：．
18.本小题分
某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：绘画；唱歌；演讲；十字锈学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图请结合统计图中的信息，解决下列问题：
这次学校抽查的学生人数是_____；
将条形统计图补充完整；
求扇形统计图中，课程部分的圆心角的度数；
如果该校共有名学生，请你估计该校报的学生约有多少人？
19.本小题分
通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散学生注意力指标数随时间分钟变化的函数图象如图所示越大表示学生注意力越集中当时，图象是抛物线的一部分，当和时，图象是线段．
当时，求注意力指标数与时间的函数关系式；
一道数学竞赛题需要讲解分钟问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于．
20.本小题分
阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”如图所示，它揭示了为非负数展开式的各项系数的规律．
根据上述规律，完成下列问题：
直接写出_____．
的展开式中项的系数是_____．
利用上述规律求的值，写出过程．
21.本小题分
如图，内接于，为的直径，与相交于点，的延长线与过点的直线相交于点，且．
求证：是的切线；
已知，且与，分别相交于点，，若，，，求的值．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点在点的左侧，与轴相交于点，连接．
求点，点的坐标；
如图，点在线段上点不与点重合，点在轴负半轴上，，连接，，，设的面积为，的面积为，，当取最大值时，求的值；
如图，抛物线的顶点为，连接，，点在第一象限的抛物线上，与相交于点，是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合指数幂的运算法则，以及三角函数的特殊角的取值，即可求解．
本题主要考查指数幂的运算法则，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由平行线的性质可知，，
故选：．
根据三角板的内角度数和平行关系可知，．
本题考查了平行关系的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
根据完全平方公式求解即可．
本题考查了完全平方公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，在不大于的自然数中，素数有、、、，共个，
则取出个数都是素数的取法有种，
故选：．
根据题意，分析可得有个符合题意的素数，由组合数公式计算可得答案．
本题考查组合数公式的应用，注意认真审题，提升阅读能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由中心对称图形，轴对称图形的定义可知，选项C符合题意，
其他选项均不符合．
故选：．
根据中心对称图形，轴对称图形的定义，结合选项即可得解．
本题考查中心对称图形与轴对称图形的判断，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图所示，延长交于点，
则的面积的面积，
的面积的面积，
所以，
同理可证明．
所以面积：面积：面积：：．
故选：．
根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，可延长交于点，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，由此求得面积关系．
本题考查了三角形重心的概念与三角形面积计算问题，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：过点作，如图所示：
，
则，
，
．
故选：．
过点作，求出，再结合扇形面积公式，即可求解．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设原盐水溶液为克，其中含纯盐克，后加入“一杯水”为克，
依题意得：，
解得，
故原盐水的浓度为．
故选：．
根据溶液浓度溶质，可得到两个方程，解方程组即可．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为与轴有两个交点所以时，，即．
因为顶点为，所以，所以，．
又因为与轴的两个交点的横坐标为一正一负，所以，因为，所以．
故选：．
根据有两根和顶点坐标的符号确定，的符号，再根据韦达定理确定的符号．
本题主要考查二次函数的图像和韦达定理，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：当时，，反比例函数 在上应有，且单调递减，
而一次函数的斜率大于，故此时，、、、都不可能．
当时，，反比例函数 在上应有，且单调递增，
而一次函数的斜率满足，故只有成立．
当时，，反比例函数 在上应有，且单调递增，
而一次函数的斜率满足，故此时，、、、都不可能，
故选：．
由题意，利用反比例函数的单调性和函数值的符号，直线的斜率，数形结合，得出结论．
本题主要反比例函数的单调性和函数值的符号，直线的斜率，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：拼第个图形需要根小木棒，
拼第个图形需要根小木棒，
拼第个图形需要根小木棒，
拼第个图形需要根小木棒，
解得．
故选：．
拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒，从而拼第个图形需要根小木棒，由此能求出．
本题考查简单的归纳推理、图形排列规律等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：如图，连接，过点作于，
是的切线，为半径，
，即，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
∽，
，
，
故选：．
由题意首先作出辅助线，然后结合几何关系证得三角形相似，最后利用显示三角形的性质即可求得和面积之比．
本题主要考查三角形相似及其应用，属于基础题．
13.【答案】或
【解析】解：由题意得，
故或，
由方程的根与系数关系可得，，
则，
解得或．
故答案为：或．
由已知结合二次方程根的存在条件先求出的范围，然后结合方程的根与系数关系即可求解．
本题主要考查了二次方程根的存在条件及方程的根与系数关系的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：再平面直角坐标系中画出和的图像，根据符号的意义可知，截取下方的图像，得出如下图像：
联立方程，解得．
故答案为：．
根据图像求解即可．
本题主要考查新定义和函数的最值，属于基础题．
15.【答案】米
【解析】解：火车以原来的速度通过米长的铁桥，要用秒，
火车原来的速度为米秒，
火车的长度为米．
故答案为：米．
假设以原来的速度通过米长的铁桥，那么火车要用秒，火车原来的速度为米秒，火车的长度为米．
本题考查过桥问题，属中档题．
16.【答案】．
【解析】解：因为点为高上的动点，将绕点顺时针旋转得到，且是边长为的等边三角形，
所以，，，所以，
所以，所以，
所以点在射线上运动，
如图，作点关于的对称点，连接，
设交于点，则，
在中，，则，
则当，，三点共线时，取得最小值，
即，
因为，，，
所以，所以，
在中，，
所以周长的最小值为．
故答案为：．
由已知条件可得，则得，作点关于的对称点，连接，设交于点，则当，，三点共线时，取得最小值，再结合已知条件可求出周长的最小值．
本题考查三角形中的几何计算，属于中档题．
17.【答案】解：原式；
．
当时，
，解得，
故，
当时，
，解得，
故，
综上所述，原方程的解为或．
【解析】依次对各式化简，并计算，即可求解；
根据已知条件，结合绝对值不等式的解法，即可求解．
本题主要考查不等式的解法，属于基础题．
18.【答案】解：人，
这次学校抽查的学生人数是人；
样本中选择课程的人数为：人，
补全条形统计图如下：
，
即课程部分的圆心角的度数为；
人，
即该校名学生中报的大约有人．
【解析】从两个统计图可知，样本中选择课程的有人，占调查人数的，由频率即可求出调查人数；
求出样本中选择课程的人数即可补全条形统计图；
求出样本中选择课程的学生所占的百分比，进而求出相应的圆心角度数；
求出样本中选择课程的学生所占的百分比，估计总体中选择课程所占的百分比，进而求出相应的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频率是正确解答的关键，是基础题．
19.【答案】解：当时，设抛物线的函数关系式为，
由于它的图象经过点，，，
所以
解得，，，．
所以，分
当时，．
所以，当时，令，
得，
解得，舍去；
当时，令，得，
解得分
因为，
所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于时，讲授完这道竞赛题．
【解析】由已知我们易得函数的类型，故可以利用待定系数法解答本题，由函数的图象设出函数的解析式，将图象上的点代入后易构造出一个关于，，的方程组，解方程组求出，，的值，即可求出函数注意力指标数与时间的函数关系式；
根据中的函数解析式，我们可以求出学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于的的值，然后和进行比较，即可得到结论．
本题考查的知识点是函数的图象与图象的变化，其中根据已知中函数的图象，结合待定系数法，求出满足条件的函数的解析式是解答本题的关键．
20.【答案】解：由杨辉三角图可得；
展开式中项的系数为；
．
故答案为：；．
【解析】由所给的杨辉三角图可得的展开式；
由杨辉三角的性质可得的展开式二项式系数可知展开式中项的系数为；
，由二项式展开式可得的值．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
21.【答案】解：证明：连接，如图所示：
是直径，
，即，
，，
，
，
是的切线．
，
，
，
，
∽，
，即，
又，
，
，
，
∽，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，即，
，
，，
，
，
∽，
，即，
．
【解析】欲证明是的切线，只需证明．
由∽，得，根据条件即可求出，再由∽，得，根据条件即可求出，，，，再通过计算发现，进而可以证明，求出即可得出答案．
本题考查切线的判定、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是巧妙利用相似三角形的性质解决问题，属于难题．
22.【答案】解：当时，，
解得：，，
点的坐标为，点的坐标为；
当时，，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
，，
点的坐标为，，
，，
，
当时，取得最大值，
即当取最大值时，
的值为．
存在，设点的坐标为．
在图中，连接，过点作轴于点，过点作轴，
过点作轴交于点．
，，
为等腰直角三角形，
．
抛物线的顶点为，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
又，
∽，
，即，
解得：不合题意，舍去，，
点的坐标为．
【解析】利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点，的坐标；
由点，，的坐标可得出，，的长度，由点的坐标及，可得出，，的长，利用三角形的面积计算公式，即可找出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可找出当取最大值时的值；
存在，设点的坐标为，连接，过点作轴于点，过点作轴，过点作轴交于点，通过角的计算，可找出，结合，可得出，利用相似三角形的性质可求出的值，进而可得出点的坐标．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理的逆定理、两点间的距离公式以及相似三角形的判定与性质，属于中档题．
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