2023-2024学年广东省湛江市雷州二中高二(上)开学数学试卷(含解析)

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名称 2023-2024学年广东省湛江市雷州二中高二(上)开学数学试卷(含解析)
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2023-09-29 13:36:20

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文档简介

2023-2024学年广东省湛江市雷州二中高二(上)开学数学试卷
一、单选题(本大题共8小题,共56.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.下列命题正确的个数是( )
向量就是有向线段;
零向量是没有方向的向量;
零向量的方向是任意的;
零向量的长度为.
A. B. C. D.
2.如图所示,已知,分别为的边,上的中线,,,则( )
A.
B.
C.
D.
3.在中,已知边长,,,则边长等于( )
A. B. C. D.
4.如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为( )
A. 三棱锥
B. 四棱锥
C. 四棱柱
D. 平行六面体
5.如图,在三棱锥中,平面,,则图中直角三角形的个数为( )
A.
B.
C.
D.
6.一组数据的平均数是,方差是,若将这组数据中的每一个数据都加上,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A. B. C. D.
7.辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示,则时速在的汽车大约有( )
A. 辆 B. 辆 C. 辆 D. 辆
8.甲、乙、丙三人独立地去译一个密码,分别译出的概率为,,,则此密码能译出的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共4小题,共28.0分。在每小题有多项符合题目要求)
9.下列四个命题中正确的是( )
A. 若事件,是互斥事件,则,是对立事件
B. 若事件,是对立事件,则,是互斥事件
C. 若事件是必然事件,则
D. 若事件,是互斥事件,则
10.若,,且,则( )
A. B. C. D.
11.如图是某市月日至日的空气质量指数变化趋势图,空气质量指数小于表示空气质量优良,空气质量指数大于表示空气重度污染,则下列说法正确的是( )
A. 该市天空气质量指数的平均值大于
B. 该市天空气质量指数的中位数为
C. 该市天空气质量指数的百分位数为
D. 计算连续天空气质量指数的方差,其中日到日的方差最大
12.如图,正方体的棱长为,则下列四个命题正确的是( )
A. 两条异面直线和所成的角为
B. 直线与平面所成的角等于
C. 点到面的距离为
D. 三棱柱外接球半径为
三、填空题(本大题共4小题,共28.0分)
13.某医院老年医生、中年医生和青年医生的人数分别为,,,为了解该医院医生的出诊情况,按年龄采用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本,已知抽取青年医生的人数为,则抽取老年医生的人数为 .
14.以下数据为参加数学竞赛决赛的人的成绩:单位:分,,,,,,,,,,,,,,则这人成绩的第百分位数是______.
15.若平面,直线,直线,,则点与的位置关系为______ .
16.如图,某登山队在山脚处测得山顶的仰角为,沿倾斜角为的斜坡前进千米后到达处,又测得山顶的仰角为,则山的高度为 千米.
四、解答题(本大题共3小题,共38.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.本小题分
已知平面向,.
求的值:
若向量与夹角为,求实数的值.
18.本小题分
某数学兴趣小组共有名学生,其中有名男生、、,名女生、,现从中随机抽取名学生参加比赛.
问共有多少个基本事件列举说明?
抽取的学生恰有一男生一女生的概率是多少?
19.本小题分
如图,该几何体是由圆柱和三棱锥组合而成的,四边形为轴截面,是圆的直径,平面,,,,.
求证:垂直,,所确定的平面.
求该几何体的表面积.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:有向线段只是向量的一种表示形式,但不能把两者等同起来,故错误;
因为零向量的方向是任意的,所以零向量有方向,故错误,正确;
长度为的向量叫做零向量,故正确,所以正确的有个.
故选:.
由零向量的概念直接判断即可.
本题考查零向量的概念,属于基础题.
2.【答案】
【解析】解:根据图形得,所以.
故选:.
,以此可求得.
本题考查平面向量线性运算,考查数学运算能力,属于基础题.
3.【答案】
【解析】解:直接利用正弦定理:,解得:.
故选:.
直接利用三角函数的值和正弦定理的应用求出结果.
本题考查的知识要点:正弦定理和三角函数的值,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.
4.【答案】
【解析】解:由展开图可知,该几何体有四个三角形面与一个四边形面,故该几何体为四棱锥.
故选:.
根据棱锥的定义判断即可.
本题主要考查几何体的展开图,属于基础题.
5.【答案】
【解析】解:由平面,,,平面,
可得,,,
又,,
可得平面,
而平面,可得,
所以,,,均为直角三角形.
故选:.
由线面垂直的判定和性质可得结论.
本题考查线面垂直的判定和性质,考查转化思想和推理能力,属于基础题.
6.【答案】
【解析】解:设这组数据分别为,,,则,
方差为,
每一组数据都加后,

方差

故选:.
首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式,把数据都加上以后,再表示出新数据的平均数和方差的表示式,两部分进行比较,得到结果.
本题考查平均数和方差的变换特点,若在原来数据前乘以同一个数,平均数也乘以同一个数,而方差要乘以这个数的平方,在数据上同加或减同一个数,方差不变.应作为性质记忆.
7.【答案】
【解析】解:由图得:时速在的频率为.
所以时速在的汽车大约有:辆.
故选:.
先求出时速在的频率值,再乘以中数;即可得到时速在的汽车大约有多少辆.
本题考查频率分布直方图的相关知识.直方图中的各个矩形的面积代表了频率,所以各个矩形面积之和为
8.【答案】
【解析】解:甲、乙、丙三人独立地去译一个密码,分别译出的概率为,,,
此密码不能译出的概率,
故此密码能译出的概率,
故选:
此密码能译出是此密码不能译出的对立事件,求出此密码不能译出的概率,利用对立事件的概率减法公式可得答案.
本题考查的知识点是互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式,对立事件的概率减法公式,难度不大,属于基础题.
9.【答案】
【解析】解:根据题意,依次分析选项:
对于,互斥事件不一定是对立事件,A错误;
对于,对立事件一定互斥,B正确;
对于,若事件是必然事件,则,C正确;
对于,当事件,是对立事件时,,D错误;
故选:.
根据题意,依次分析选项是否正确,即可得答案.
本题考查互斥事件和对立事件,注意两者的联系与区别,属于基础题.
10.【答案】
【解析】解:因为,
所以.
故选:.
根据复数的乘法运算和复数相等的定义计算即可.
本题主要考查复数相等,属于基础题.
11.【答案】
【解析】解:由表中数据可得,,
则该市天空气质量指数的平均值小于,故A错误,
将天的空气质量指数由小到大排列为:
,,,,,,,,,,,,,,
则该市天空气质量指数的中位数为:,故B正确,

则该市天空气质量指数的百分位数为,故C正确,
对于,由图象可知,连续天空气质量指数的方差,其中日到日的波动最大,即方差最大,故D正确.
故选:.
根据已知条件,平均值,中位数,百分位数,方差的定义,即可求解.
本题主要考查频率分布折线图的应用,属于基础题.
12.【答案】
【解析】解:连接、,
且,则四边形为平行四边形,
异面直线和所成的角为,
,则为正三角形,即,不正确;
连接,在正方形中,,
平面,平面,
,又,则平面,
直线与平面所成的角为,B正确;
根据等体积转换可知,
即,则,C正确;
三棱柱的外接球即为正方体的外接球,
则外接球的半径即为正方体体对角线的一半,
即,D正确.
故选:.
对于:根据条件,可得异面直线和所成的角为,然后求出即可;对于:可证平面,则直线与平面所成的角为;对于:根据等体积转换,求点到面的距离;对于:三棱柱的外接球即为正方体的外接球,直接求正方体外接球的半径即可.
本题主要考查了空间角、空间距离的计算,几何体的外接球问题,属于中档题.
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分层抽样,属于基础题.
根据抽样比相等列方程求解.
【解答】
解:设抽取老年医生的人数为人,则,解得.
故答案为:.
14.【答案】
【解析】解:把成绩按从小到大的顺序排列为:,,,,,,,,,,,,,,,
因为,所以这人成绩的第百分位是.
故答案为:.
由样本数据第百分位的定义以及求解步骤直接求解即可得出答案.
本题考查百分位数的定义,是基础题.
15.【答案】
【解析】解:因为,
所以直线,直线,
因为直线,直线,
所以平面,平面,
又平面,
所以.
故答案为:.
根据基本事实公理求解即可.
本题考查平面的基本性质,属于基础题.
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用正弦定理解决高度问题,属于较易题.
由题意可得、、,利用正弦定理求出,解三角形求出山的高度.
【解答】
解:由题意得,,,,,
所以,,
所以,
在中,千米,,,
由正弦定理得,
所以千米,
所以千米.
故答案为:.
17.【答案】解:,.


由题意知:,.
与夹角为.

解得:或.
【解析】直接根据向量的模长公式求解即可.
根据向量的夹角公式构造方程,求解即可.
本题主要考查向量的模长公式和数量积公式,属于基础题.
18.【答案】解:、、、、、、、、、共个;
记事件“抽取的学生恰有一男生一女生”为,则包含基本事件、、、、、,共个,因此.
【解析】由题意知本题是一个古典概型,按照一定的规则,从开始,依次取、、、,与之组合,而后从开始,依次取,、,与之组合,依此类推,列出基本事件;
由中基本事件,找出事件的基本事件,查其个数,与基本事件的总数作比,得出概率.
在使用古典概型的概率公式时,应该注意:要判断该概率模型是不是古典概型;要找出随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.
19.【答案】解:证明:四边形为轴截面,垂直上底面圆,即平面,
又平面,由过一点作平面的垂线有且只有一条,
得,,三点共线.平面.
为圆的直径,,即,
又平面,,又,
平面.
由知,又,,



该几何体的表面积.
【解析】由已知中平面,,结合线面垂直的定义及线面垂直的判定定理,我们易得平面;
几何体的表面积分成几部分去解,即可求得.
本题主要考查空间中的线面垂直关系,几何体的表面积,属于中档题.
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