2023-2024学年河北省邯郸市永年二中高二(上)开学数学试卷
一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.已知复数,则在复平面上对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知向量,若,则实数( )
A. B. C. D.
3.某超市举行有奖促销活动,活动中设置一等奖、二等奖、幸运奖三个奖项,其中中幸运奖的概率为,中二等奖的概率为,不中奖的概率为,则中一等奖的概率为( )
A. B. C. D.
4.在中,角,,的对边分别为,,,且,则( )
A. B. C. D.
5.若为一条直线,,,为三个互不重合的平面,则下列命题正确的是( )
A. , B. 若,
C. , D. 若,
6.在中,,,,是线段上靠近的一个三等分点,则( )
A. B. C. D.
7.定义:我们把每个数字都比其左边数字大的正整数叫做“渐升数”,比如,等在二位“渐升数”中任取一数,则该数比小的概率为( )
A. B. C. D.
8.某钟楼的钟面部分是一个正方体,在该正方体的四个侧面分别有四个时钟,如果四个时钟都是准确的,那么从零点开始到十二点的过程中,相邻两个面上的时针所成的角为的位置有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)
9.下列各对向量中,共线的是( )
A. B.
C. D.
10.设,,为复数,,则下列命题正确的是( )
A. 若,则
B. 若,则
C. 若,互为共轭复数,则为实数
D. 若为虚数单位,为正整数,则
11.一组数据按从小到大排列为、、、、、,若这组数据的平均数是中位数的倍,则下列说法正确的是( )
A. B. 众数为 C. 分位数为 D. 方差为
12.已知一圆锥的母线长为,底面半径为,其侧面展开图是圆心角为的扇形,,为底面圆的一条直径上的两个端点,则( )
A.
B. 从点经过圆锥的表面到达点的最短距离为
C. 该圆锥的体积为
D. 过该圆锥的顶点作圆锥的截面,则截面面积的最大值为
三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.已知向量,则向量在向量上的投影向量为______ .
14.甲、乙两名同学进行篮球投篮练习,甲同学一次投篮命中的概率为,乙同学一次投篮命中的概率为,假设两人投篮命中与否互不影响,则甲、乙两人各投篮一次,恰有一人命中的概率是______ .
15.在中,内角,,所对的边分别为,,,且,的面积为,,则 ______ .
16.已知在三棱锥中,平面,且,,则三棱锥的外接球的体积为______ .
四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.本小题分
已知向量.
若向量与垂直,求实数的值;
若向量满足且,求向量的坐标.
18.本小题分
某工厂在加大生产量的同时,狠抓质量管理,不定时抽查产品质量该企业质检人员从所生产的产品中随机抽取了个,将其质量指标值分成以下六组:,,,,得到如下频率分布直方图.
求出直方图中的值;
利用样本估计总体的思想,估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和分位数同一组中的数据用该组区间中点值作代表,分位数精确到.
19.本小题分
从条件,中任选一个,补充到下面的问题中并作答在中,角,,的对边分别为,,,且,,_____,求.
注:如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分
20.本小题分
如图,在三棱台中,,,分别为,的中点.
求证:平面;
若平面,,,,求二面角的大小.
21.本小题分
甲、乙两位同学参加某知识闯关训练,最后一关只有两道题目,已知甲同学答对每道题的概率都为,乙同学答对每道题的概率都为,且在考试中每人各题答题结果互不影响已知同一题甲、乙至少一人答对的概率为,两人都答对的概率为.
求和的值;
试求最后一关甲同学答对的题数小于乙同学答对的题数的概率.
22.本小题分
如图所示,在四棱锥中底面是边长为的菱形,,面面,.
证明:;
求点到平面的距离.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:由,得在复平面上对应的点的坐标为.
故选:.
根据共轭复数的定义与复数的几何意义求解即可.
本题主要考查共轭复数的定义与复数的几何意义,属于基础题.
2.【答案】
【解析】解:由,得,
所以.
故选:.
由向量垂直的坐标运算计算可得结果.
本题主要考查向量垂直的性质,属于基础题.
3.【答案】
【解析】解:由于奖项一等奖、二等奖,幸运奖和不中奖四个事件是相互互斥的,
且构成事件为必然事件,故中一等奖的概率为.
故选:.
根据事件间的关系,利用概率公式,可得答案.
本题主要考查互斥事件的概率加法,属于基础题.
4.【答案】
【解析】解:因为,
所以由正弦定理有:,
即,
所以,
又因为,
所以,
故.
故选:.
根据正弦定理结合三角形边角性质求解即可.
本题考查正弦定理的应用,属于基础题.
5.【答案】
【解析】解:对,若,,,可能相交也可能平行,故A项不正确;
对,,,则可能有,故B,项不正确;
对,,,则必有,故C项正确.
故选:.
根据线面,面面的平行及垂直的性质与判定判断即可.
本题考查了线面,面面的平行及垂直的性质与判定,属于中档题.
6.【答案】
【解析】解:建立如图坐标系,,,,所以,
则,,,,
是线段上靠近的一个三等分点,,,
所以
.
故选:.
通过建系,求解,的坐标,然后利用向量的数量积公式求解即可.
本题考查向量的数量积的求法,是基础题.
7.【答案】
【解析】解:十位是的“渐升数”有,,,,共个,
十位是的“渐升数”有,,,,共个,
,
十位是的“渐升数”有,,共个,
十位是的“渐升数”有,共个.
故二位“渐升数”共有个,
比小的共有个,
所以由古典概率的计算公式得所求的概率为.
故选:.
根据古典概型公式求解概率即可.
本题主要考查了古典概率公式的应用,属于基础题.
8.【答案】
【解析】解:在正方体中,相邻两个面的对角线所成的角为,如图所示:
所以这样的位置有个.
故选:.
根据题意,由正方体相邻两个面的对角线夹角为,即可得到结果.
本题考查了正方体的结构特征应用问题,也考查了空间中直线的位置关系应用问题,是基础题.
9.【答案】
【解析】解:设,则,
选项A中,;选项B中,;
选项C中,;选项D中,,满足上述等式的只有,项.
故选:.
利用平面向量共线的条件即可解决.
本题考查的知识要点:向量的坐标运算,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于中档题.
10.【答案】
【解析】解:对于项,取,,满足,但是不成立,故A项错误;
对于项,当时,有,又,所以,故B项正确;
对于项,,互为共轭复数,则,
即为实数,故C项正确;
对于项,,故D项错误.
故选:.
根据复数的模、复数乘法、共轭复数、复数的乘方等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.
本题主要考查了复数的四则运算,属于基础题.
11.【答案】
【解析】解:因为这组数据的平均数是中位数的倍,
所以,
解得,故A项正确;
这组数据的众数为,故B项正确;
由不是整数,故分位数为该组数据的第个数字,即为,故C项错误;
平均数为,
方差为,故D项正确.
故选:.
利用中位数的定义求出的值,可判断选项;利用众数的定义可判断选项;利用百分位数的定义可判断选项;利用方差公式可判断选项.
本题主要考查了中位数、众数、方差和百分位数的定义,属于基础题.
12.【答案】
【解析】解:根据题意,依次分析选项:
对于,一圆锥的母线长为,底面半径为,其侧面展开图是圆心角为的扇形,由,得,所以A正确;
对于,假设该圆锥的轴截面将该圆锥分成两部分,将其中的一部分展开,
则其侧面展开图是一个圆心角为的扇形,
所以从点经过圆锥的表面到达点的最短距离为,故B不正确;
对于,因为,母线长为,所以该圆锥的高为,所以其体积为,故C正确;
对于,过该圆锥的顶点作圆锥的截面,则截面为腰长为的等腰三角形,
设其顶角为,则该三角形的面积为.
故当时,,故D不正确.
故选:.
根据题意,结合圆锥的几何性质逐项分析即可.
本题考查圆锥的结构特征,涉及圆锥的体积、表面积的计算,属于基础题.
13.【答案】
【解析】解:由题意,,
故向量在向量上的投影向量为.
故答案为:.
由投影向量的定义,结合向量夹角公式计算可求结果.
本题主要考查投影向量的定义,基础题.
14.【答案】
【解析】解:设,分别表示事件“一次投篮中甲命中”和“一次投篮中乙命中”
所以
则恰有一人命中的概率为.
故答案为:.
根据互斥事件与独立事件的概率运算公式求解即可得所求事件的概率.
本题考查互斥事件与独立事件的概率运算公式,属于基础题.
15.【答案】或
【解析】解:因为,的面积为,,
所以的面积,
可得,
可得,
由余弦定理可得,
则或,经检验满足构成三角形.
所以或.
故答案为:或.
由已知利用三角形面积公式可得,平方关系求其余弦值,再利用余弦定理可求的值.
本题考查了三角形的面积公式,余弦定理以及同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用,属于基础题.
16.【答案】
【解析】解:底面三角形的外接圆的半径为,可得,所以,
外接球的半径为,,
三棱锥的外接球的体积为:.
故答案为:.
求解外接球的半径,然后求解外接球的体积.
本题考查空间几何体的外接球的体积的求法,是中档题.
17.【答案】解:因为向量,
所以,
又因为向量与垂直,所以,
所以,解得.
设,由,且,得,
又,所以,解得或,
所以或.
【解析】根据平面向量坐标运算求得与的坐标,再根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可得实数的值;
设,根据平面向量平行的坐标运算及模长公式列方程即可得设,的值,从而得向量的坐标.
本题考查了平面向量坐标运算应用问题,也考查了运算求解能力,是基础题.
18.【答案】解:由,得.
平均数,
设分位数为,则由,,
可得在上,由,得.
故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为,分位数为.
【解析】根据频率分布直方图的性质,建立方程即可得答案;
根据频率分布直方图的平均数与百分位数的计算方法即可得答案.
本题考查频率分布直方图、平均数、分位数,考查学生的运算能力,属中档题.
19.【答案】解:选条件:由,得,
又,
所以,
故,
所以由正弦定理得:;
选条件:由,得,
因为,,
所以由正弦定理,
得,
因为,
所以,
因为,
所以,
因为,所以,
所以,
解得,
由于,
故,
所以,
所以,
由正弦定理得:.
【解析】选择条件后,根据三角恒等变换、正弦定理等知识求得.
本题考查三角恒等变换和正弦定理,属于中档题.
20.【答案】解:证明:在三棱台中,由,知,又为的中点,可得,,
故四边形为平行四边形,则,因为平面,平面,故BE平面.
在中,为的中点,为的中点,
所以,因为平面,平面,故AB平面.
又,,平面,
所以平面平面.
因为平面,所以平面.
由平面,平面,得,
又,,则,
又,,平面,
所以平面,又,平面,故GH,.
又平面平面,故为二面角的平面角.
又,,所以,又,,所以,
故,即二面角的大小为.
【解析】根据题意可得,,进而可得,再根据面面垂直的判定可得平面平面,再根据面面平行的性质证明即可;
根据线面垂直的性质与判定可得为二面角的平面角,再根据几何关系可得即可得.
本题考查空间中直线与平面的平行的证明,考查二面角大小的求法,解题中需要理清思路,属于中档题.
21.【答案】解:根据题意,设甲同学答对第一题,乙同学答对第一题,则,.
由于二人答题互不影响,且每人各题答题结果互不影响,所以与相互独立,
所以,,
即,解得.
设,分别表示最后一关甲、乙两位同学答对的题目数,
由题意得,
.
【解析】根据设甲同学答对第一题,乙同学答对第一题,再根据所给概率列式求解即可;
设,分别表示最后一关甲、乙两位同学答对的题目数,由题意得所求概率为,再分别计算求和即可.
本题考查概率的应用,关键求出、的值,属于基础题.
22.【答案】证明:如图,取中点,连接,,,
是边长为的菱形,,
由,得,
,
,为的中点,
,为的中点,,
而,,平面,
平面,又平面,
,
又,;
解:因为,平面,平面,
所以平面,
由平面知点与点到平面距离相等,
由知平面,,
平面,而平面,
平面平面,过点作于,
又平面平面,平面,
即为点到平面的距离,
由平面平面,平面平面,平面,,
平面,而平面,
,
又,,,
.
【解析】根据面面垂直以及等腰三角形的性质,可得线面垂直,进而可得线线垂直,根据菱形的性质,结合线面垂直性质定理,可得答案;
根据线面平行,将问题等价转化,利用直角三角形的性质,可得答案.
本题主要考查了线面垂直的判定定理,考查了求点到平面的距离,属于中档题.
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