初中数学北师大版八上4.1函数 教案

4.1 函数
一、教学目标
1. 理解函数及其相关概念，并能判断两个变量之间的关系是不是函数关系.
2. 了解函数的三种表达方式，并会用含有一个变量的代数式表示另一个变量.
3. 经历对具体实例的研究过程,进一步发展抽象思维能力.
二、教学重难点
重点:函数的概念以及函数的三种表示方法.
难点:对函数概念的理解;把实际问题抽象概括,建立函数的数学模型.
三、教法与学法
教法:在教学中,通过“问题情境——建立模型——问题解决——反思拓展”的教学环节,让学生经历探究及数学建模的全过程,使学生能够抓住问题的本质,理解函数概念,初步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力,领会数学建模的思想和方法,提高数学的应用意识和应用数学知识解决实际问题的能力.
学法:上课认真听讲,勤于思考,积极与同伴交流自己的想法,快速理解课堂教学内容,并能够把老师讲解的要点归纳总结.
四、教学过程
（一）复习回顾
生活中有很多变化的量，七年级时，我们学习了《变量之间的关系》.你还记得以下概念吗？ 变量，自变量，因变量，常量
（二）情境导入
K线图：记录的是某一种股票上市以来的每天的价格随时间的变动情况.
心电图：记录的是心脏本身的生物电在每一心动周期中发生的电变化情况.
（三）问题探究
问题1：下图反映的是小明坐摩天轮时高度h随时间t变化而变化的情况：
教材图4-1
(1)摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间有一定的关系,如教材图4-1就反映了时间t(分)与摩天轮上一点的高度h(m)之间的关系.你能从教材图4-1观察出,有几个变化的量吗
(2)请你根据教材图4-1填写下表:
t/min 1 2 3 4 5 …
h/m
(3)当t分别取3,6,10时,相应的h是多少 给定一个t值,你都能找到相应的h值吗
问题2：罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加,物体的总数是如何变化的
填写下表:
层数x 1 2 3 4 5 …
物体总数y …
问题3：在平整的路面上，某型号的汽车紧急刹车后仍将滑行sm，一般地有经验公式s=,其中v表示刹车前汽车的速度(单位：km/h)
(1)计算当v分别是50，60，100时，相应的滑行距离s是多少？
(2)给定一个v值，你都能求出相应的s值吗？
在上面各例中,都有两个变量,给定其中某一个变量的值,相应地就确定了另一个变量的值.
一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数(function),其中x是自变量.
表示函数的方法一般有:列表法、关系式法和图象法.
想一想:上述问题中,自变量能取哪些值
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.
（四）例题讲解
例1 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子
（2）指出自变量x的取值范围
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x
(2) 由x≥0及50－0.1x ≥0　
得　0 ≤ x ≤ 500，
所以自变量的取值范围是0 ≤ x ≤ 500.
(3)当 x = 200时,函数y的值为y=50－0.1×200=30.
因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L.
（五）课堂演练
1.下列说法中，不正确的是（ C ）
A.函数不是数，而是一种关系 B.多边形的内角和是边数的函数
C.一天中时间是温度的函数 D.一天中温度是时间的函数
2.据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（　B　）
A．b=（1+22.1%×2）a B．b=（1+22.1%）2a
C．b=（1+22.1%）×2a D．b=22.1%×2a
3.表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度x（单位：m）落下时弹跳高度y（单位：m）与下落高度x的关系，据表可以写出的一个关系式是 y=0.5x ．
4.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）.
（1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值；
（2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为什么？
解：（1）当0＜x≤3时，y=8；
当x＞3时，y=8＋1.8（x－3）=1.8x＋2.6.
当x=2时，y=8；x=6时，y=1.8×3＋8=13.4.
（2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.
（六）课堂小结
通过本节课的学习,你有什么收获
本节课主要学习了:
1.函数的概念,函数值的概念,用函数的模型描述客观世界的某些变化规律.
2.理解函数的概念应抓住以下三点:
(1)函数的概念由三句话组成:“两个变量”,“x的每一个值”,“y有确定的值”;
(2)判断两个变量是否有函数关系不是看它们之间是否存在关系,而是看对于x的每一个确定的值,y是否有唯一确定的值与之对应;
(3)函数不是数,它是指在某一变化的过程中两个变量之间的关系.
3.函数的三种表达法:
(1)图象法(用图象来表示函数);
(2)列表法(把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表格来表示函数);
(3) 关系式法(用代数式来表示函数,用来表示函数关系的式子叫做函数关系式,函数关系式是等式,在书写时有顺序性,一般写成:“函数=含自变量的代数式”的形式).
（七）布置作业
教材习题4.1第1~3题.
五、板书设计
4.1 函数 1.函数的定义 2.函数的表示法 3.函数的自变量取值范围
六、教学反思
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.函数的思想方法将贯穿于中学数学课程的始终.函数的概念既是本书的重点也是难点.为了帮助学生建构函数的概念,本课主要以学生感兴趣的实际问题为背景 ,引出函数的概念,了解函数的表示方法.再通过练习的分析和解决,促进学生理解和建构函数的概念.对于新知识,不同学生的接受能力也不相同,因此要给学生思考和讨论的时间,帮助学生尽快建构新概念.在讲解函数的概念时,发现学生会误解函数为数,对于这点,教师应该重点强调.另外教师最好能够多举实例,避免过于抽象.
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