初中数学北师大版八上2.7.1二次根式 教案

2.7.1二次根式
一、教学目标
1．了解二次根式和最简二次根式的概念．
2．探究二次根式的性质，并能利用性质将二次根式化为最简二次根式．
二、教学重难点
重点:积的算术平方根、商的算术平方根和最简二次根式.
难点:通过化简得到最简二次根式.
三、教法与学法
教法:引导学生通过探索发现积与商的算术平方根公式，启发学生观察题目算式的特点，利用相应的公式进行计算.
学法:通过小组合作探索、讨论、得到运算公式，计算之前需观察算式的特征，运用适当的方法进行计算，利用适量的练习熟练计算方法.
四、教学过程
（一）情境引入
填空：
(1)如图的海报为正方形，若面积为2 m2，则边长为_____m；若面积为S m2，则边长为_____m．
(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6 m2，则它的宽为_____m．
图
图
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____．
（二）问题探究
上面问题中，得到的结果分别是：，，，．
问题1 这些式子分别表示什么意义？
问题2 这些式子有什么共同特征？
学生活动:小组合作交流.
教师总结:可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是:都含有开方运算，并且被开方数都是非负数.
一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数.
注意：
1. a可以是实数，也可以是代数式
2.它具有双重的非负性
3.形式上必须含有二次根号
4.它既可以表示开方运算，也可以表示运算结果
二次根式有些什么性质呢 让我们一起来探索吧.
通过观察简单的，有共同特征的式子，易于学生认识二次根式的概念，激发他们对二次根式相关性质的求知欲.
（三）自主探究
(1)计算下面各式，你能得到什么猜想
=　　　　，×=　　　　；=　　　　，=　　　　；
=　　　　，=　　　　.
引导:猜想与可以分别转化为什么类型的式子 a、b的取值范围又是什么
(2)根据上面的猜想，估计下面每组两个数的数值是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流.
与×，与.
学生活动:先独立计算，再小组合作交流.
师生合作探究:==6，×=2×3=6；其他两题可以用类似的计算方法求解.
总结:(1)第2、3两个式子的结果都是；第4、5两个式子的结果都是.则猜想=·(a≥0，b≥0)；=(a≥0，b>0).
(2)估计相等，并用计算器得以验证.
概括:=·(a≥0，b≥0)；=(a≥0，b>0).
即积的算术平方根，等于各因数(因式)算术平方根的积；
商的算术平方根，等于被除数算术平方根与除数算术平方根的商.
从特殊到一般，让学生经历探索、发现规律的过程，感受规律带给他们运算的便利.通过师生合作探究，引导学生思考问题的方向.
（四）典例解析
例1：化简:（1）； （2）；（3）
解：（1）
（2）
（3）
最简二次根式：
如果一个二次根式符合下列条件：
1. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
2. 被开方数中不含分母；分母中不含根号.
这样的二次根式叫最简二次根式.
例2：化简：
解：
例3 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由．
解：(1)不是，因为被开方数中含有分母．
(3)不是，因为被开方数是小数(即含有分母)．
(4)不是，因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数4，4＝22.
(5)不是，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝x(x ＋3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式．
(6)不是，因为分母中有二次根式．
（五）巩固练习
1.要使式子有意义，a的取值范围是（ ）
A. a≠ 0 B. a＞-2且a≠ 0
C. a＞-2或a≠ 0 D. a≥-2且a≠ 0
2．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A. B.C. D.
3.下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4. 计算：
（1） （2）
5. 化简
（六）课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获
本节课主要学习了:
1.一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数.
2.=·(a≥0，b≥0)；=(a≥0，b>0). 即积的算术平方根，等于各因数(因式)算术平方根的积；商的算术平方根，等于被除数算术平方根与除数算术平方根的商.
3.一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
4.化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.
（七）布置作业
教材习题2.9第1题
五、板书设计
2.7.1　二次根式的定义 1.一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数 2.=·(a≥0，b≥0)；=(a≥0，b>0) 3.一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式 4.化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式
六、教学反思
本节课的主要内容是二次根式的概念，积的算术平方根，商的算术平方根以及最简二次根式与化简.二次根式源于算术平方根，但极大地丰富了算术平方根的内容，其重点在于根式之间的四则运算.学生在课中或课后的解题中，常常会因没有认真观察题目算式的特点，盲目计算，从而使得计算变得麻烦甚至出错，化简的结果也常常没有彻底，因此，应安排适量的练习加以巩固，熟练计算方法，并提醒学生应注意检验结果是否彻底化简.
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