初中数学北师大版八上2.1.2认识无理数 教案

2.1.2认识无理数
一、教学目标
1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.
2．探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.
3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.
4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力.
二、教学重难点
重点：探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数.
难点：能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由.
三、教学过程
（一）情境导入
想一想：
1. 有理数是如何分类的？
整数（如，0，2，3，…)
有理数
分数(如，，，0.5，… )
2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数 如圆周率，0.020020002…上节课又了解到一些数，如，中的a，b不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.
意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.
效果：激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数不够用了（2）”.
（二）问题探究
1. 探索无理数的小数表示
内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a和面积为5的正方形的边长b进行估计.
请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a的取值范围大致是多少 如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2 说说你的理由.
边长a 面积s
11.41.411.4141.4142归纳总结:a是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.
请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.
目的：让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出a=1.41421356…，b=2.2360679…，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想.
效果：学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续定义无理数打下基础.
2. 探索有理数的小数表示，明确无理数的概念
内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.
议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？
探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.
即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
强调：像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.
我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故是无理数).
注意：有理数与无理数的区别:①有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数;②所有的有理数都能化成分数(整数可以看成是分母为1的分数)，而无理数不能化成分数.注意: 形似分数，但它不是分数，是无理数.
目的：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.
效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性，建立了无理数的概念.
（三）归纳总结
内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？(按小数的形式来分).
强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别. 无理数还可以进行怎样的分类
目的：培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解.
效果：通过师生的共同探究，形成对中学现阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力.
（四）典例解析
课件出示教材第23页例题．
例1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14 ，-， 0.， 0.101 000 100 000 1……（相邻两个1之间0的个数逐次加2）.
解：有理数有：3.14，－，0.；
无理数有：0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)．
强调：(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
(2)任何一个有理数都可以化成分数的形式，而无理数不能．
例2：面积为3的正方形的边长为a．
(1)a的整数部分是几？
(2)估计a的值．(结果精确到百分位)
解：(1)因为a2＝3，1＜3＜4，
所以1＜a＜2，
所以a的整数部分为1．
(2)当1.7＜a＜1.8时，
2.89＜a2＜3.24，
所以a的十分位是7．
当1.73＜a＜1.74时，
2.9929＜a2＜3.0276，
所以a的百分位是3．所以a≈1.73 ．
（五）课堂演练
1. 下列语句正确的是(　　)
A.0.101 001 000 1是无理数
B.无限小数不能转化为分数
C.无理数是无限循环小数
D.无限不循环小数就是无理数
2. 若x2＝88，估计x的大小应在(　　)
A．9.1与9.2之间　 B．9.2与9.3之间
C．9.3与9.4之间　 D．9.4与9.5之间
如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为1，则在网格上的△ABC中，边长为无理数的边长有(　　)
A．0条　 B．1条　C．2条　 D．3条
判断下列说法是否正确
(1)有限小数是有理数; （ ）
(2)无限小数都是无理数; （ ）
(3)无理数都是无限小数; （ ）
(4)有理数是有限数. （ ）
5.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14，π，0，－，2.6，0.101 001 000 100 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)．
（五）课堂小结
内容：本节课你有哪些收获
1．无理数的定义.
2．你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？
3．请把已学过的数怎样分类？
目的：让学生学会及时对知识点、数学方法进行总结，并整理成经验，形成知识体系，培养学生良好的学习习惯，提高其归纳总结能力.
效果：师生共同总结补充，形成完整的知识体系.
（六）布置作业
习题2.2 1.2.3.
四、板书设计
1.有理数的定义：有限小数或无限循环小数.
2.无理数的定义：无限不循环小数.
3.数分类：
五、教学反思
本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”，让学生通过估计、借助计算器进行探索、讨论等途径，体会数学学习的乐趣，体会无限逼近的数学思想，得到无理数的概念；可能在教学实施过程中，对基础较薄弱的学生和班级，这一探索过程所需时间较长，会影响后面环节的进行，但感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的，所以绝对不能淡化.让学生在数学学习中能将抽象的知识形象具体化，复杂知识体系化.同时引导学生回顾旧知、探索新知，形成一定的数学探究能力，进一步培养学生的分类和归纳的思想，为今后的数学学习打下坚实基础. 但对概念的理解掌握一些同学还不很到位，只能在以后的教学过程中不断的加深.另外，由于学生对有理数和无理数的概念具体感知还不够，所以在第三环节：知识分类整理环节，学生自主整理和接受会有一定困难，若学生学习例1后再进行知识分类整理可能会更好.
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