初中数学北师大版八上1.3勾股定理的应用 教案

1.3勾股定理的应用
一、教学目标
1．能熟练运用勾股定理求最短距离；
2．能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题；
3. 培养空间想象力，并增强数学知识的应用意识.
二、教学重难点
重点:能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.
难点:把立体图形转化成平面图形；在实际问题中构造直角三角形并利用代数解法来解决问题.
三、教法与学法
教法:利用生活实际问题，激发学生学习兴趣，逐步引导学生把实际问题转化为能应用“勾股定理”与“直角三角形判定条件”的问题.
学法:经历小组合作探究，同学间互通有无，发挥集体的力量，探索解决实际问题的最佳路径.
四、教学过程
（一）问题探究
问题1：如图，蚂蚁从圆柱下底面边缘的点A沿圆柱的侧面爬到上底面的边缘B处，
（1）如何爬有最短路径？
（2）若已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18 cm，求最短路径.
学生活动:小组合作探究.
师生合作探究:
(1)用做好的圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线.你觉得哪条路线最短呢
(2)如教材图1-12所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么 你画对了吗
教材图1-11
教材图1-12
(3)蚂蚁从点A出发，想吃到点B上的实物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少
教师总结:将圆柱的侧面展开是一个长方形，点B位于长方形长的中点位置.
根据两点间线段最短，线段AB就是从点A到点B的最短路线.
依题意.如右图所示，在Rt△ABC中，∠C是直角，BC=18÷2=9(cm)，AC=12(cm)，
根据勾股定理得，AB2=AC2+BC2=122+92=225 cm2.
所以，AB=15 cm.
所以，蚂蚁爬行的最短路程是15cm.
小结：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
问题2：点A和点B分别是棱长为10 cm的正方体盒子上相对的两点，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，
(1) 如何爬路径最短？
(2) 若正方体的棱长为1， 则这个最短路径是多少？
解:如图所示
在Rt△ABC中，
利用勾股定理可得，
AB 2 =AC2+BC2
=20 2+102
= 500
所以AB2=500.
问题3：如图，蚂蚁从长、宽、高分别为10 cm、6 cm和8 cm的长方体的顶点A沿表面爬到顶点B处，
(1) 如何爬路径最短？最短路径有几条？
(2) 你能求出这个最短路径吗？
AB12 =102 +（6+8）2 =296
AB22= 82 +（10+6）2 =320
AB32= 62 +（10+8）2 =360
因为360＞320＞296
所以AB1 最短.
（二）典例解析
例1：李叔叔想要检测雕塑(如教材图1-13)底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
(1)你能替他想办法完成任务吗
(2)李叔叔量得边AD长是30 cm，边AB长是40 cm，点B，D之间的距离是长50 cm.边AD垂直于边AB吗
(3)小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗 边BC与边AB呢
教材图1-13
学生活动:小组合作探究.
师生合作探究:由于卷尺只能测量长度，因此我们应该利用由长度推出角度是90的知识点:直角三角形的判定条件. 构造一个三角形，该三角形的边包含AD与AB，分别用卷尺测量出AD、AB、BD的长度，利用直角三角形的判定条件来说明是否垂直.
教师总结:
(2)在△ABD中，因为AD2+AB2=302+402=502=BD2，
所以△ABD是直角三角形，∠A是直角，即边AD垂直于边AB.
(3)找出一对小于20的勾股数，构造三边小于20 cm的三角形.如:在AD上取点E，使AE=5 cm，在AB上取点F，使AF=12 cm，构造△AEF，接着只要量出边EF的长即可，若EF=13 cm，则有AE2+AF2=52+122=132=EF2，从而得∠A是直角，即AD垂直于AB.若EF不等于13 cm，那么边AD不垂直于边AB.同样方法可检验边BC与边AB是否互相垂直.
例2：有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米 (已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3）
解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.
因为AA'=2×3×2=12， A'B'=5 m，
所以AB'=13 m. 即梯子最短需13 m.
例3：为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图①.已知圆筒的高为108 cm，其横截面周长为36 cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
解：如图②，在Rt△ABC中，
因为AC＝36 cm，BC＝108÷4＝27(cm)．
由勾股定理，得
AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，
所以AB＝45 cm，
所以整个油纸的长为45×4＝180(cm)．
（三）课堂演练
1.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为____cm（杯壁厚度不计）．
2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （　　）
3.如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积.
（四）课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获
本节课主要学习了:
1.把立体图形转化为平面图形，构造出直角三角形，利用勾股定理来解决立体图形问题.
2.利用直角三角形的判定条件来判断实际问题中是否垂直.
（五）布置作业
教材习题1.3.
五、板书设计
六、教学反思
本节课的主要内容是运用“勾股定理”及“直角三角形的判定条件”解决简单的实际问题.在这些具体问题的解决过程中，需要利用数学中的转化思想方法，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，因此，教学过程安排“学生合作探究”与“师生合作探究”，在这样的探究活动中，有助于发展学生分析问题、解决问题的能力以及应用意识.本节课在实际教学过程中，学生的探究活动可能偏简单，一些学生能力稍显不足，这需要教师引起注意，需要综合学生实际情况，适当安排教学进度以及调整教学方法.
1