初中数学北师大版八上 1.1.2 探索勾股定理 教学设计

1.1.2探索勾股定理
一、教学目标
1．能用拼图的方法、面积法验证勾股定理，体会数形结合的思想．
2．能熟练地运用勾股定理解决实际问题.
二、教学重难点
重点：能熟练用拼图的方法验证勾股定理．
难点：用勾股定理解决实际问题．
三、教法与学法
教法:设计从特殊到一般的正方形面积的计算，引导学生探索、发现直角三角形三边的数量关系；设置小问题逐步引导学生对勾股定理的验证过程进行探索、小组合作交流.在总结出一种方法后，启发学生用不同的割补法再次验证.
学法:在从特殊到一般的正方形面积的计算中，在小组交流合作中发现直角三角形三边的数量关系，归纳、总结出勾股定理，并对勾股定理进行简单的应用；利用数形结合思想，把图形的“割补”转化为图形面积之间的关系，进而转化为直角三角形三边之间的关系；把实际问题转化为直角三角形的问题.
四、教学过程
（一）复习回顾
勾股定理的内容是什么？
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.
据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？
（二）问题探究
验证方法一：毕达哥拉斯证法
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 .
∵ (a+b)2 = c2 + 4 ab
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴ a2+b2=c2
方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理．
验证方法二：赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 .
∵ c2= 4 ab +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2
∴ a2+b2=c2
验证方法三：总统（美国第二十任总统伽菲尔德）证法
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2 + b2 = c2.
∵，
∴a2+b2=c2 .
验证方法四：青朱出入图
验证方法五：达·芬奇对勾股定理的证明
验证方法六：欧几里得证明勾股定理
如图，过 A 点AM⊥HK于点M， 交 BC 于 L.通过证明△BEC≌△BAH，利用三角形面积与长方形面积的关系，得到正方形ABED与矩形BHML等积，同理正方形ACGF与 矩形MKCL也等积，于是推得a2+b2=c2 .
至此，勾股定理得以验证.
对于直角三角形任意长度的边a、b、c，通过以上两种不同的推导过程，验证了在直角三角形中a2+b2=c2(其中a、b为直角边，c为斜边)的正确性.
（三）归纳总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要求无重叠，叠合是要求无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的．
（四）典例解析
例1：我方侦查员小王在距离东西向公路400 m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s后，汽车与他相距500 m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗
解:由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，
即 5002=BC2+4002，
所以，BC=300.
敌方汽车10 s行驶了300 m，那么它1h行驶的距离为300×6×60=108000（m）
即它行驶的速度为108 km/h.
例2：等腰三角形底边上的高为8 cm，周长为32 cm，求这个三角形的面积.
解：设这个三角形为ABC，高为AD，设BD为x cm，则AB为（16-x）cm，
由勾股定理得：x2+82=(16-x)2
即x2+64=256-32x+x2
所以x=6
S△ABC=
答：这个三角形的面积为48cm2.
（五）合作交流
判断图中三角形的三边是否满足a2+b2=c2.
钝角三角形：a2+b2 ＜ c2
锐角三角形：a2+b2 ＞ c2
直角三角形：a2+b2=c2
（六）巩固练习
1．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的 面积分别为3和4，则b的面积为(　　)
A．16 B．12 C．9 D．7
2.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1＝π， S2 ＝2π，试求出S3的面积.
3.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.
（七）课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获
本节课主要学习了:
1.勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
2.数学方法:(1)观察—探索—归纳—应用；(2)面积法；(3)“割、补、拼、接”法.
3.对于—般直角三角形，如何利用不同面积割补法来验证勾股定理，从中我们发现了解决问题的不同思路，进一步认识了直角三角形三边与正方形之间的关系.
4.对于一些可利用勾股定理的实际问题，我们应该找出或画出问题中的直角三角形，把实际问题转化为可利用勾股定理的直角三角形问题.
（八）布置作业
教材习题1.2.
五、板书设计
六、教学反思
勾股定理作为“千古第一定理”，其魅力在于其所具有的历史价值和应用价值，因此，应注意充分挖掘其内涵．特别是让学生进行调查，再进行展示，这极大地调动了学生的积极性．既加深了学生对勾股定理文化的理解，又培养了他们收集、整理资料的能力．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点．为了突破这一难点，本节课设计了拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手．这样学生较容易地突破了本节课的难点．
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