初中数学北师大版八上1.1.1探索勾股定理 教案

1.1.1探索勾股定理
一、教学目标
1．探索勾股定理，进一步发展学生的推理能力；
2．理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系．(重点、难点)
二、教学重难点
重点:用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.
难点:勾股定理的探究和验证.
三、教法与学法
教法:设计从特殊到一般的正方形面积的计算，引导学生探索、发现直角三角形三边的数量关系；设置小问题逐步引导学生对勾股定理的验证过程进行探索、小组合作交流.在总结出一种方法后，启发学生用不同的割补法再次验证.
学法:在从特殊到一般的正方形面积的计算中，在小组交流合作中发现直角三角形三边的数量关系，归纳、总结出勾股定理，并对勾股定理进行简单的应用；利用数形结合思想，把图形的“割补”转化为图形面积之间的关系，进而转化为直角三角形三边之间的关系；把实际问题转化为直角三角形的问题.
四、教学过程
（一）情境导入
据说，有一天毕达哥拉斯去朋友家做客，他发现朋友家的地板是由全等的等腰直角三角形构成的，如图：
他圈出三个正方形，发现其中两个较小的正方形的面积之和正好等于较大的正方形的面积！
你能验证这一结论吗？
把等腰直角三角形改成一般的直角三角形，这一结论还成立吗？
（二）自主探究
问题1：如教材图1-2，小正方形的面积分别是多少，请填写下表，它们满足上面所猜想的数量关系吗 你是如何计算的
问题2.①两图中三个正方形A，B，C的面积有什么关系？
②两图中三个正方形A，B，C围成的直角三角形的三边有什么关系？
教材图1-2
问题3：观察课本第2页图1-3，请通过分割图形的方法验证刚才的结论.
教材图1-3
师生合作探究:假设每个小方格的边长为单位1，则每个小正方形的面积是1.那么有:
(1)教材图1-2左边的三个正方形关系图中，正方形A包含了9个小格子，可得其面积是9，则该正方形边长的平方是9；正方形B的面积是9，则其边长的平方是9；正方形C的面积可看成四个全等的三角形组合而成的，每个三角形的面积是一个可以数出格子的正方形面积的一半，这个长方形包含的格子数是9个，因此可得正方形C的面积是4×=18，则其边长的平方是18，从中可得它们的面积关系式:SC=SA+SB，假设三角形的边长分别是a、b、c，从而可得它们各自边长的关系式:a2+b2=c2.
(2)从教材图1-2右边的三个正方形关系图中，同上面(1)的方法可得其中三角形的三边关系.
(3)从教材图1-3左边的三个正方形关系图中，正方形A包含了16个小格子，可得其面积是16，则其边长的平方是16；正方形B的面积是9，则其边长的平方是9；正方形C的面积可看成四个全等的三角形和一个小正方形组成，每个三角形的面积是一个可以数出格子的长方形面积的一半，这个长方形包含的格子数是12个，因此可得正方形C的面积是1+4×=25，则其边长的平方是25，从中可得它们的面积关系式:　　　　，假设三角形的边长分别是a、b、c，从而可得它们各自边长的关系式:　　　　.
(4)从教材图1-3右边的三个正方形关系图中，同上面(3)的方法可得其中三角形的三边关系.
总结：由上面几个例子可归纳出:一些直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此，我国称上面的结论为勾股定理.
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.
（三）数学文化
我国是最早了解勾股定理的国家之一. 早在三千多年前， 周朝数学家商高就提出， 将一根直尺折成一个直角， 如果勾等于三，股等于四， 那么弦就等于五，即“勾三、 股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中， 以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，所以，在我国，人们就把这个定理叫“商高定理”，也叫“勾股定理”.
“勾股定理”在国外，尤其在西方被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”．相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的.他发现勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做“百牛定理”．
毕达哥拉斯发现勾股定理比商高晚五百多年． 　
（四）典例解析
例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5 cm，AC=12 cm，求斜边AB的长度.
解：在Rt△ABC中根据勾股定理，
AC +BC =AB ，
AC=12，BC=5
所以12 +5 =AB ，
所以AB =12 +5 =169，
所以AB=13 cm.
答：斜边AB的长度为13 cm.
例2:在△ABC中，已知AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积.
解析:当∠C为锐角时，如图(1)，BC=BD+CD；当∠C为钝角时，如图(2)，BC=BD-CD.
解：当高AD在△ABC内部时，如图①.
在Rt△ABD中，由勾股定理，
得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，
∴BD＝16；
在Rt△ACD中，由勾股定理，
得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，
∴CD＝9.
∴BC＝BD＋CD＝25，
∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.
当高AD在△ABC外部时，如图②.
同理可得 BD＝16，CD＝9.
∴BC＝BD－CD＝7，
∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.
综上所述，△ABC的周长为42或60.
(1)　　　(2)
总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
（五）课堂演练
1.两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为(　　)
A．4　 B．8 　C．16　 D．64
2.如图，阴影部分是一个半圆，求阴影部分的面积(结果保留π)．
3.直角三角形的斜边长为20 cm，且两直角边的长度比为3∶4，求两直角边的长．
4.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5 m，消防车的云梯最大升长为13 m，求云梯可以达到该建筑物的最大高度．
5.一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1.5 m的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2 m，树高为多少米？
（六）课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获
本节课主要学习了:
1.勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
2.数学方法:(1)观察—探索—归纳—应用；(2)面积法.
（七）布置作业
教材习题1.1.
五、板书设计
1.1.1.探索勾股定理 一、 探索勾股定理 二、 得出勾股定理结论 三、 把实际问题转化为能利用勾股定理的直角三角形问题
六、教学反思
依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点．
本节课首先创设情境激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得出勾股定理．
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