人教版2023-2024学年八年级数学上册《第11章 三角形》单元检测题（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版2023-2024学年八年级数学上册《第11章 三角形》单元检测题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-29 14:53:51 | ||
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文档简介
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2023-2024学年八年级数学上册《第11章 三角形》单元检测题（人教版）
一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．如图，△ABC的中线AD，CF相交于点G，连接BG并延长交AC于点E．以下结论一定正确的是（ ）
A．GF＝GD B．AE＝CE C．∠ABE＝∠CBE D．∠AGE＝∠CGE
2．给出下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．13，12，25 B．7，7，15 C．3，4，5 D．5，5，11
3．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的∠ABC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．75° D．80°
6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝22°，则∠DEA等于（ ）
A．22° B．158° C．68° D．112°
7．下列说法正确的是（ ）
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两边相等；
④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④
8．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（ ）
A．135° B．150° C．120° D．110°
9．平面内，将长分别为1，2，4，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
10．若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角A，B，E，F如法进一步截去，如图3，则图中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝（ ）
A．1080° B．1260° C．1200° D．900°
二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如图，AD为△ABC的中线，△ABD的周长为23，△ACD的周长为18，AB＞AC，则AB﹣AC为 ．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC，BD⊥AE，交AE的延长线于点D．若∠1＝24°，则∠EAB＝ ．
13．若△ABC三条边长为a，b，c，化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+c﹣b|＝ ．
14．如图，在正六边形ABCDEF的内部作正五边形DEMGH．
（1）∠CDH＝ °；
（2）连接EG并延长，交AB于点N，则∠ANE＝ °．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a+c﹣b|﹣|a+b+c|+|2b+c|．
16．（8分）已知a，b，c分别为△ABC的三边长，b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程2a﹣1＝5的解，请先判断△ABC的形状，再说明理由．
17．（8分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
18．（8分）如图，已知在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的角平分线，求∠DAE的度数．
19．（10分）如图，在△ABC中，点D为BC中点，E为AB上一点，AB＝10，AC＝6．若△BDE与四边形AEDC的周长相等，求BE﹣AE的值．
20．（10分）如图，佳佳从点A出发，前进10米后向右转45°再前进10米后又向右转45°，如此反复下去，直到他第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个多边形．
（1）佳佳一共走了多少米？
（2）求这个多边形的内角和．
21．（12分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，∠DFB+∠BEC＝180°．
（1）求证：∠FDE＝∠C；
（2）若BE平分∠ABC，∠BEC＝110°，∠FDE＝50°，求∠ABC的度数．
22．（12分）如图，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E为边AD（不与点A，D重合）上一动点，EF⊥BC于点F．
（1）若∠B＝40°，∠DEF＝20°，求∠C的度数；
（2）求证：∠C﹣∠B＝2∠DEF．
23．（14分）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角探究片段，完成所提出的问题．
（1）如图（1）所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠A＝50°，∠BOC＝ ；
（2）如图（2）所示，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOC＝∠A；
（3）如图（3）所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，写出∠BOC与∠A的关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．【分析】首先根据三角形重心的定义得出BE是△ABC的中线，然后根据三角形中线的定义分别对题目中的四个选项逐一进行甄别即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC的中线AD，CF相交于点G，
∴点G为△ABC的重心，
又∵BG的延长线交AC于点E，
∴BE是△ABC的中线，
∴选项A、C、D不一定成立，选项B一定成立．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的重心，解答此题的关键是理解三角形的重心为三角形三条中线的交点；特别地：已知三角形两条中线交于一点G，则第三条中线必过点G．
2．【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．
【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得：
A、13+12＝25，不能够组成三角形，不符合题意；
B、7+7＝14＜15，不能组成三角形，不符合题意；
C、3+4＞5，能组成三角形，符合题意；
D、5+5＝11，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：两边和大于第三边，两边之差小于第三边．解题的关键是理解组成三角形三边的关系．
3．【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案．
【解答】解：△ABC中AC边上的高即为过点B作AC的垂线段，该垂线段即为AC边上的高，四个选项中只有选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段叫三角形的高．
4．【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．
【解答】解：A、不是利用“三角形稳定性”，不符合题意；
B、利用了“三角形稳定性”，符合题意；
C、不是利用“三角形稳定性”，不符合题意；
D、不是利用“三角形稳定性”，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
5．【分析】由三角形的外角性质可求得∠ABF＝15°，从而可求得∠ABC的度数．
【解答】解：∵∠F＝30°，∠BAC＝45°，∠BAC是△ABF的外角，
∴∠ABF＝∠BAC﹣∠F＝15°，
∵∠CBF＝90°，
∴∠ABC＝∠CBF﹣∠ABF＝75°．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
6．【分析】由△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，∠BDC＝∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数．
【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝68°，
由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，
∠DEA＝180°﹣68°＝112°，
故选：D．
【点评】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
7．【分析】根据三角形的分类，等腰三角形的定义，等边三角形的定义一一判断即可．
【解答】解：①等腰三角形一定不一定是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，故①错误；
②三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，故②错误；
③等腰三角形至少有两边相等，有两条边相等的三角形是等腰三角形，故③正确；
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确．
综上，正确的有③④．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的分类，等腰三角形的定义，等边三角形的定义等知识，解题的关键是掌握三角形的分类．
8．【分析】利用三角形内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵AD平分∠CAB，EB平分∠ABC，
∴，
∴，
∴∠AFB＝180°﹣45°＝135°．
故选：A．
【点评】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．【分析】由三角形三边关系定理得到2＜AC＜6，AC﹣1＜x＜AC+1，因此1＜x＜7，即可得到答案．
【解答】解：连接AC，
在△ACD中，4﹣2＜AC＜2+4，
∴2＜AC＜6，
在△ABC中，AC﹣1＜x＜AC+1，
∴1＜x＜7，
∴x可能是2．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的三边关系，关键是连接AC，应用三角形的三边关系定理来解决问题．
10．【分析】根据图中可找出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案．
【解答】解：根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角之间的关系．有关五角星的角度问题是常见的问题，其5个角的和是180度．解此题的关键是找到规律利用规律求解．
二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．【分析】根据三角形的周长和中线的定义求AB与AC的差．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC．
∵△ABD的周长为23，△ACD的周长为18，
∴AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝AB﹣AC＝23﹣18＝5，
即AB﹣AC＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线、高，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键．
12．【分析】根据等角的余角相等求出∠CAE＝∠1，再根据角平分线的定义可得∠CAB的度数，再利用角平分线的定义可得答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，BD⊥AE，
∴∠CAE+∠AEC＝90°，∠1+∠BED＝90°，
∵∠AEC＝∠BED（对顶角相等），
∴∠CAE＝∠1＝24°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAB＝∠CAE＝24°．
故答案为：24°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
13．【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．先判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值，最后合并即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0，
∴原式＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（a+c﹣b）＝﹣a+b+c﹣a﹣c+b＝2b﹣2a．
故答案为：2b﹣2a
【点评】此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．
14．【分析】（1）用正六边形的一个内角减去正五边形的一个内角即可得到∠CDH＝∠CDE﹣∠HDE的度数；
（2）由（1）得∠CDH＝12°，同理可证：∠FEM＝12°，在等腰三角形MGE中求出∠MEG的度数，得到∠FEN的度数，在四边形ANEF中，根据∠A+∠F+∠FEN+∠ANE＝360°即可得出答案．
【解答】解：（1）∵正六边形的一个内角＝×（6﹣2）×180°＝120°，
正五边形的一个内角＝×（5﹣2）×180°＝108°，
∴∠CDH＝∠CDE﹣∠HDE＝120°﹣108°＝12°，
故答案为：12；
（2）由（1）得∠CDH＝12°，
同理可证：∠FEM＝12°，
∵∠M＝108°，MG＝ME，
∴∠MEG＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠FEN＝∠FEM+∠MEG＝12°+36°＝48°，
在四边形ANEF中，∠A+∠F+∠FEN+∠ANE＝360°，
∴∠ANE＝360°﹣120°﹣120°﹣48°＝72°，
故答案为：72．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，掌握n边形的内角和＝（n﹣2） 180°是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．【分析】三角形两边之和大于第三边，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，由此即可求解．
【解答】解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴a+c＞b，
|a+c﹣b|﹣|a+b+c|+|2b+c|
＝a+c﹣b﹣（a+b+c）+2b+c
a+c﹣b﹣a﹣b﹣c+2b+c
＝c．
【点评】本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的意义．
16．【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而解方程得出a的值，进而判断出其形状．
【解答】解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0．
∴b＝2，c＝3，
又∵2a﹣1＝5，
∴a＝3．
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a，b，c的值是解题关键．
17．【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
n﹣2＝6﹣1，
n＝7．
∴这个多边形的边数是7．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
18．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE的度数即可得到答案．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴，
∵AE是BC边上的高，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键．
19．【分析】根据线段中点的概念得到BD＝CD，再根据三角形和四边形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
∵△BDE与四边形AEDC的周长相等，
∴BE+DE+BD＝AE+DE+CD+AC，
∴BE＝AE+AC，
∴BE﹣AE＝AC，
∵AC＝6，
∴BE﹣AE＝6．
【点评】本题考查的是线段中点的概念，根据三角形和四边形的周长公式得出BE﹣AE＝AC是解题的关键．
20．【分析】（1）根据多边形的外角和等于360°，可求得佳佳回到出发点时，多边形的边数，根据每次前进10米，即可求解；
（2）根据n边形内角和公式：（n﹣2）×180°，即可求解．
【解答】解：（1）360°÷45°＝8（边），8×10＝80（米），
答：佳佳一共走了80米；
（2）（8﹣2）×180°＝1080°，
答：这个多边形的内角和为1080°．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
21．【分析】（1）由DE∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出∠DEF＝∠CBE，由等角的补角相等，可得出∠BEC＝∠EFD，再结合∠FDE＝180°﹣∠DEF﹣∠EFD，∠C＝180°﹣∠CBE﹣∠BEC，即可证出∠FDE＝∠C；
（2）由（1）可得出∠C的度数，在△BCE中，利用三角形内角和定理，可求出∠CBE的度数，再结合角平分线的定义，即可求出∠ABC的度数．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠CBE，
∵∠DFB+∠BEC＝180°，∠DFB+∠EFD＝180°，
∴∠BEC＝∠EFD，
又∵∠FDE＝180°﹣∠DEF﹣∠EFD，∠C＝180°﹣∠CBE﹣∠BEC，
∴∠FDE＝∠C；
（2）解：∵∠FDE＝∠C，∠FDE＝50°，
∴∠C＝50°．
在△BCE中，∠C＝50°，∠BEC＝110°，
∴∠CBE＝180°﹣∠C﹣∠BEC＝180°﹣50°﹣110°＝20°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBE＝2×20°＝40°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用平行线的性质及等角的补角相等，找出∠DEF＝∠CBE及∠BEC＝∠EFD；（2）利用三角形内角和定理，求出∠CBE的度数．
22．【分析】（1）先求出∠EDF的度数和∠BAD的度数，进而求出∠BAC的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠C的度数；
（2）由（1）知∠EDF＝90°﹣∠DEF＝∠B+∠BAD，从而∠DEF＝90°﹣∠B﹣∠BAD，再利用等量代换可证明出结论．
【解答】（1）解：∵EF⊥BC，
∴∠EFD＝90°．
∵∠DEF＝20°，
∴∠EDF＝90°﹣∠DEF＝70°．
∵∠EDF＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝∠EDF﹣∠B＝70°﹣40°＝30°．
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°．
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°；
（2）证明：由（1），可知∠EDF＝90°﹣∠DEF＝∠B+∠BAD，
∴．
∴∠C﹣∠B＝2∠DEF．
【点评】本题考查三角形内角和定理及其推论，熟练运用三角形内角和定理及其推论是解题的关键．
23．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，再根据三角形的内角和定理整理即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠OCD＝∠ACD＝（∠A+∠ABC），∠BOC＝∠OCD﹣∠OBC，然后整理即可得解；
（3）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答；
【解答】（1）解：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴，．
∴．
又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴．
∴．
故答案为：115°；
（2）证明：∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACD，
∴，，
∵∠ACD是△ABC的外角，∠OCD是△OBC的外角，
∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠OCD＝∠OBC+∠BOC，
∴∠BOC＝∠OCD﹣∠OBC＝＝＝；
（3）解：；
理由：在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵OB、OC分别平分∠DBC、∠ECB，
∴，，
∴∠OBC+∠OCB
＝
＝
＝
＝
＝
＝．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用三角形的外角的性质是解本题的关键．
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2023-2024学年八年级数学上册《第11章 三角形》单元检测题（人教版）
一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．如图，△ABC的中线AD，CF相交于点G，连接BG并延长交AC于点E．以下结论一定正确的是（ ）
A．GF＝GD B．AE＝CE C．∠ABE＝∠CBE D．∠AGE＝∠CGE
2．给出下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．13，12，25 B．7，7，15 C．3，4，5 D．5，5，11
3．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的∠ABC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．75° D．80°
6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝22°，则∠DEA等于（ ）
A．22° B．158° C．68° D．112°
7．下列说法正确的是（ ）
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两边相等；
④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④
8．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（ ）
A．135° B．150° C．120° D．110°
9．平面内，将长分别为1，2，4，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
10．若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角A，B，E，F如法进一步截去，如图3，则图中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝（ ）
A．1080° B．1260° C．1200° D．900°
二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如图，AD为△ABC的中线，△ABD的周长为23，△ACD的周长为18，AB＞AC，则AB﹣AC为 ．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC，BD⊥AE，交AE的延长线于点D．若∠1＝24°，则∠EAB＝ ．
13．若△ABC三条边长为a，b，c，化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+c﹣b|＝ ．
14．如图，在正六边形ABCDEF的内部作正五边形DEMGH．
（1）∠CDH＝ °；
（2）连接EG并延长，交AB于点N，则∠ANE＝ °．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a+c﹣b|﹣|a+b+c|+|2b+c|．
16．（8分）已知a，b，c分别为△ABC的三边长，b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程2a﹣1＝5的解，请先判断△ABC的形状，再说明理由．
17．（8分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
18．（8分）如图，已知在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的角平分线，求∠DAE的度数．
19．（10分）如图，在△ABC中，点D为BC中点，E为AB上一点，AB＝10，AC＝6．若△BDE与四边形AEDC的周长相等，求BE﹣AE的值．
20．（10分）如图，佳佳从点A出发，前进10米后向右转45°再前进10米后又向右转45°，如此反复下去，直到他第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个多边形．
（1）佳佳一共走了多少米？
（2）求这个多边形的内角和．
21．（12分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，∠DFB+∠BEC＝180°．
（1）求证：∠FDE＝∠C；
（2）若BE平分∠ABC，∠BEC＝110°，∠FDE＝50°，求∠ABC的度数．
22．（12分）如图，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E为边AD（不与点A，D重合）上一动点，EF⊥BC于点F．
（1）若∠B＝40°，∠DEF＝20°，求∠C的度数；
（2）求证：∠C﹣∠B＝2∠DEF．
23．（14分）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角探究片段，完成所提出的问题．
（1）如图（1）所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠A＝50°，∠BOC＝ ；
（2）如图（2）所示，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOC＝∠A；
（3）如图（3）所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，写出∠BOC与∠A的关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．【分析】首先根据三角形重心的定义得出BE是△ABC的中线，然后根据三角形中线的定义分别对题目中的四个选项逐一进行甄别即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC的中线AD，CF相交于点G，
∴点G为△ABC的重心，
又∵BG的延长线交AC于点E，
∴BE是△ABC的中线，
∴选项A、C、D不一定成立，选项B一定成立．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的重心，解答此题的关键是理解三角形的重心为三角形三条中线的交点；特别地：已知三角形两条中线交于一点G，则第三条中线必过点G．
2．【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．
【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得：
A、13+12＝25，不能够组成三角形，不符合题意；
B、7+7＝14＜15，不能组成三角形，不符合题意；
C、3+4＞5，能组成三角形，符合题意；
D、5+5＝11，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：两边和大于第三边，两边之差小于第三边．解题的关键是理解组成三角形三边的关系．
3．【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案．
【解答】解：△ABC中AC边上的高即为过点B作AC的垂线段，该垂线段即为AC边上的高，四个选项中只有选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段叫三角形的高．
4．【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．
【解答】解：A、不是利用“三角形稳定性”，不符合题意；
B、利用了“三角形稳定性”，符合题意；
C、不是利用“三角形稳定性”，不符合题意；
D、不是利用“三角形稳定性”，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
5．【分析】由三角形的外角性质可求得∠ABF＝15°，从而可求得∠ABC的度数．
【解答】解：∵∠F＝30°，∠BAC＝45°，∠BAC是△ABF的外角，
∴∠ABF＝∠BAC﹣∠F＝15°，
∵∠CBF＝90°，
∴∠ABC＝∠CBF﹣∠ABF＝75°．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
6．【分析】由△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，∠BDC＝∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数．
【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝68°，
由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，
∠DEA＝180°﹣68°＝112°，
故选：D．
【点评】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
7．【分析】根据三角形的分类，等腰三角形的定义，等边三角形的定义一一判断即可．
【解答】解：①等腰三角形一定不一定是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，故①错误；
②三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，故②错误；
③等腰三角形至少有两边相等，有两条边相等的三角形是等腰三角形，故③正确；
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确．
综上，正确的有③④．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的分类，等腰三角形的定义，等边三角形的定义等知识，解题的关键是掌握三角形的分类．
8．【分析】利用三角形内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵AD平分∠CAB，EB平分∠ABC，
∴，
∴，
∴∠AFB＝180°﹣45°＝135°．
故选：A．
【点评】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．【分析】由三角形三边关系定理得到2＜AC＜6，AC﹣1＜x＜AC+1，因此1＜x＜7，即可得到答案．
【解答】解：连接AC，
在△ACD中，4﹣2＜AC＜2+4，
∴2＜AC＜6，
在△ABC中，AC﹣1＜x＜AC+1，
∴1＜x＜7，
∴x可能是2．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的三边关系，关键是连接AC，应用三角形的三边关系定理来解决问题．
10．【分析】根据图中可找出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案．
【解答】解：根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角之间的关系．有关五角星的角度问题是常见的问题，其5个角的和是180度．解此题的关键是找到规律利用规律求解．
二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．【分析】根据三角形的周长和中线的定义求AB与AC的差．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC．
∵△ABD的周长为23，△ACD的周长为18，
∴AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝AB﹣AC＝23﹣18＝5，
即AB﹣AC＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线、高，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键．
12．【分析】根据等角的余角相等求出∠CAE＝∠1，再根据角平分线的定义可得∠CAB的度数，再利用角平分线的定义可得答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，BD⊥AE，
∴∠CAE+∠AEC＝90°，∠1+∠BED＝90°，
∵∠AEC＝∠BED（对顶角相等），
∴∠CAE＝∠1＝24°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAB＝∠CAE＝24°．
故答案为：24°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
13．【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．先判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值，最后合并即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0，
∴原式＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（a+c﹣b）＝﹣a+b+c﹣a﹣c+b＝2b﹣2a．
故答案为：2b﹣2a
【点评】此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．
14．【分析】（1）用正六边形的一个内角减去正五边形的一个内角即可得到∠CDH＝∠CDE﹣∠HDE的度数；
（2）由（1）得∠CDH＝12°，同理可证：∠FEM＝12°，在等腰三角形MGE中求出∠MEG的度数，得到∠FEN的度数，在四边形ANEF中，根据∠A+∠F+∠FEN+∠ANE＝360°即可得出答案．
【解答】解：（1）∵正六边形的一个内角＝×（6﹣2）×180°＝120°，
正五边形的一个内角＝×（5﹣2）×180°＝108°，
∴∠CDH＝∠CDE﹣∠HDE＝120°﹣108°＝12°，
故答案为：12；
（2）由（1）得∠CDH＝12°，
同理可证：∠FEM＝12°，
∵∠M＝108°，MG＝ME，
∴∠MEG＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠FEN＝∠FEM+∠MEG＝12°+36°＝48°，
在四边形ANEF中，∠A+∠F+∠FEN+∠ANE＝360°，
∴∠ANE＝360°﹣120°﹣120°﹣48°＝72°，
故答案为：72．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，掌握n边形的内角和＝（n﹣2） 180°是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．【分析】三角形两边之和大于第三边，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，由此即可求解．
【解答】解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴a+c＞b，
|a+c﹣b|﹣|a+b+c|+|2b+c|
＝a+c﹣b﹣（a+b+c）+2b+c
a+c﹣b﹣a﹣b﹣c+2b+c
＝c．
【点评】本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的意义．
16．【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而解方程得出a的值，进而判断出其形状．
【解答】解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0．
∴b＝2，c＝3，
又∵2a﹣1＝5，
∴a＝3．
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a，b，c的值是解题关键．
17．【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
n﹣2＝6﹣1，
n＝7．
∴这个多边形的边数是7．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
18．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE的度数即可得到答案．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴，
∵AE是BC边上的高，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键．
19．【分析】根据线段中点的概念得到BD＝CD，再根据三角形和四边形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
∵△BDE与四边形AEDC的周长相等，
∴BE+DE+BD＝AE+DE+CD+AC，
∴BE＝AE+AC，
∴BE﹣AE＝AC，
∵AC＝6，
∴BE﹣AE＝6．
【点评】本题考查的是线段中点的概念，根据三角形和四边形的周长公式得出BE﹣AE＝AC是解题的关键．
20．【分析】（1）根据多边形的外角和等于360°，可求得佳佳回到出发点时，多边形的边数，根据每次前进10米，即可求解；
（2）根据n边形内角和公式：（n﹣2）×180°，即可求解．
【解答】解：（1）360°÷45°＝8（边），8×10＝80（米），
答：佳佳一共走了80米；
（2）（8﹣2）×180°＝1080°，
答：这个多边形的内角和为1080°．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
21．【分析】（1）由DE∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出∠DEF＝∠CBE，由等角的补角相等，可得出∠BEC＝∠EFD，再结合∠FDE＝180°﹣∠DEF﹣∠EFD，∠C＝180°﹣∠CBE﹣∠BEC，即可证出∠FDE＝∠C；
（2）由（1）可得出∠C的度数，在△BCE中，利用三角形内角和定理，可求出∠CBE的度数，再结合角平分线的定义，即可求出∠ABC的度数．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠CBE，
∵∠DFB+∠BEC＝180°，∠DFB+∠EFD＝180°，
∴∠BEC＝∠EFD，
又∵∠FDE＝180°﹣∠DEF﹣∠EFD，∠C＝180°﹣∠CBE﹣∠BEC，
∴∠FDE＝∠C；
（2）解：∵∠FDE＝∠C，∠FDE＝50°，
∴∠C＝50°．
在△BCE中，∠C＝50°，∠BEC＝110°，
∴∠CBE＝180°﹣∠C﹣∠BEC＝180°﹣50°﹣110°＝20°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBE＝2×20°＝40°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用平行线的性质及等角的补角相等，找出∠DEF＝∠CBE及∠BEC＝∠EFD；（2）利用三角形内角和定理，求出∠CBE的度数．
22．【分析】（1）先求出∠EDF的度数和∠BAD的度数，进而求出∠BAC的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠C的度数；
（2）由（1）知∠EDF＝90°﹣∠DEF＝∠B+∠BAD，从而∠DEF＝90°﹣∠B﹣∠BAD，再利用等量代换可证明出结论．
【解答】（1）解：∵EF⊥BC，
∴∠EFD＝90°．
∵∠DEF＝20°，
∴∠EDF＝90°﹣∠DEF＝70°．
∵∠EDF＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝∠EDF﹣∠B＝70°﹣40°＝30°．
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°．
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°；
（2）证明：由（1），可知∠EDF＝90°﹣∠DEF＝∠B+∠BAD，
∴．
∴∠C﹣∠B＝2∠DEF．
【点评】本题考查三角形内角和定理及其推论，熟练运用三角形内角和定理及其推论是解题的关键．
23．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，再根据三角形的内角和定理整理即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠OCD＝∠ACD＝（∠A+∠ABC），∠BOC＝∠OCD﹣∠OBC，然后整理即可得解；
（3）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答；
【解答】（1）解：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴，．
∴．
又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴．
∴．
故答案为：115°；
（2）证明：∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACD，
∴，，
∵∠ACD是△ABC的外角，∠OCD是△OBC的外角，
∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠OCD＝∠OBC+∠BOC，
∴∠BOC＝∠OCD﹣∠OBC＝＝＝；
（3）解：；
理由：在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵OB、OC分别平分∠DBC、∠ECB，
∴，，
∴∠OBC+∠OCB
＝
＝
＝
＝
＝
＝．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用三角形的外角的性质是解本题的关键．
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