比例线段
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文档简介
比例线段
一.知识要点：
（一）比例线段
1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.
2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．
4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．
（二）比例的性质：
(1)比例的基本性质：
(2)反比性质：
(3)更比性质: 或
(4)合比性质:
(5)等比性质: 且
(三) 平行线分线段成比例定理
1.定理: 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例.
2. 推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
3.平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.
4.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.
这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线.首先要弄清三个基本图形.
这三个基本图形的用途是:
1.由平行线产生比例式
基本图形(1): 若l1// l2// l3, 则或或或
基本图形(2): 若DE//BC,则或或或
基本图形(3): 若AC//BD, 则或或或
在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置。
2．由比例式产生平行线段
基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC.
基本图形(3):若, , , , , 之一成立，则AC//DB.
二. 本讲内容所需要的计算与证明方法
计算方法1.利用引入参数求解相关命题的方法.
2. 会利用比例式建立方程求线段的长.
证明方法:会证比例式及等积式,会添加必要的辅助线求解相关命题.
三. 例题
例1. 已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值.
分析: 题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k, 转化成关于k的一元方程,求出k后,使得问题得解.
解:∵ a:b:c=3:5:7
设a=3k, b=5k, c=7k
∵ 2a+3b-c=28
∴ 6k+15k-7k=28
∴ k=2
∴ 3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12
例2:若, 求的值.
解:设
则x=3k, y=4k, z=5k
∴
说明:在这个问题中,不必求出K的值,就可以把问题解决了.
例3.如图,在□ABCD中,E为AB中点,,EF,AC相交于G,求.
分析:欲求,就需要有平行线,并使已知条件得以利用,虽然题目中有平行线,但无基本图形,不能使已知条件发挥作用,需通过添加辅助线来寻找解题途径,构造基本图形.
解:分别延长FE,CB相交于H,(构造出了基本图形)
在□ABCD中,ADBC,
∵ E为AB中点 ∴ AE=BE
∵ AD//BC ∴ ∠AFE=∠H
在△AEF和△BEH中
在△AEF≌△BEH(AAS)
∴ AF=BH
∵ ∵ 设AF=k, 则FD=3k
AD=4k BH=AF=k BC=AD=4K CH=5K
∵ AD//BC 即AF//HC
∴
∴
说明:此题还有其他辅助线的作法,例如分别延长EF,CD相交于M.或取AC中点N,连结EN.
请同学们思考,这两种方法构造了哪些基本图形,如何求出.
例4.已知:如图,D是△ABC的AB边的中点,F是BC延长线上一点,连结DF交AC于E点.
求证: EA:EC=BF:CF
分析:这是证明比例式的问题,根据题目条件,不能直接证出要求证的比例式,并且四条线段中EC，CF在同一个三角形中,而EA,BF不在同一个三角形中,因此需要添加适当的辅助线(平行线)来构造形成比例的基本图形(由平行得比例).为了利用BF:CF,故可以过C点作平行线来构造基本图形.
证法一:
过C作CH//AB交DF于H
∵ CH//AB 即CH//BD
∴
又CH//AD
∵
∵ D是AB中点
∴ AD=BD
∴
∴ （等比代换）
即EA:EC=BF:CF
证法二:
过C作CM//FD交AB于M
∵ CM//FD
∴
∵ CM//ED
∴
∵ D是AB中点
∴ AD=BD
∴
∴ EA:EC=BF:CF (等比代换)
说明:在上面证明过程中,我们还用到了利用相等的比进行代换证明比例式的方法,这也是一种经常使用的方法.本题还可以过B点作AC的平行线或作DF的平行线的方法来证明,请同学们自己来证.总之通过作平行线得到比例是必须掌握的方法.
例5.已知:如图,菱形ABCD内接于△AEF,AE=3,AF=5,求菱形ABCD的边长.
分析:有平行线就能得到比例线段,求线段的长有时需要使用方程的思想方法来解决,本题给出了用比例式建立方程求线段长的一种常见方法,注意掌握解题的思路.
解: ∵ 菱形ABCD内接于△AEF
∴ AB//CD,AB=BC=CD=AD
设菱形边长为x,则CD=AD=x(适当设出未知数)
∵ AF=5
∴ DF=5-x(有关的量要用含未知数的代数式表示)
∵ CD//AB 即CD//AE
∴
且AE=3（得到相等关系）
∴ (利用比例式建立了关于x的方程)
∴ 5x=15-3x ∴ x=(解出方程)
∴ 菱形ABCD的边长为
四.练习:
1.已知,求的值.
2.已知:如图,△ABC中,DE//BC.AB=8,AD=5,EC=4,求AE的长
3.已知a=4,c=9若b是a,c的比例中项,求b的值.
4.已知线段MN是AB,CD的比例中项,AB=4cm,CD=5cm,求MN的长.并思考3、4两题有何区别.
5.已知:△ABC中,D是BC上一点,BD=3CD,M是AD中点,连BM延长交AC于E.求:AE:EC.
6.已知:如图,△ABC中,CD平分∠ACB,DE//BC,
AD:DB=2:3,AC=10,求DE的长.
练习参考答案:
1. 2. 3. 4.
3、4题区别: 第3题中b是数,可为正也可为负; 第4题中MN为线段,只能为正.
5. 提示:
或
作DN//AC交BE于N 作CO//BE交AD延长线于O
或 或
作AP//BE交CB延长线于P 作AQ//BC交BE延长线于Q
结论: AE:EC=3:4
6.DE=6(提示:用方程的思想方法).
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选择题
1．已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2cm，b=4cm,c=5cm,则d=（ ）
（A）1cm （B）10cm （C） （D）cm
2．已知：8x+3y-5z=0,且2x-3y+z=0 那么x：y：z的值是（ ）
（A）1：2：3 （B）2：3：5 （C）3：3：4 （D）2：2：3
3．如图，DE∥AC，EF∥AB，AC=14，AD：DB=3：4 则AF的长是（ ）
（A）6 （B）10 （C）8 （D）9
4．已知，如图△ABC中，AD⊥BC，E是AC的中点。那么下列比例式成立的是（ ）
（A）AB：AC=DF：BC
（B）AB：AC=EF：ED
（C）AB：AC=BF：FD
（D）AB：AC=AC：AD
5．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于O， 过O作底的平行线，分别与两腰交于E，F，则
（A）OE=OF
（B）OE=OF
（C）OE=2OF
（D）OE+OF=BD
答案与解析
答案：1、B 2、B 3、C 4、C 5、B
解析：
1.答案（B）
2.答案（B）
解析：
∴ x：y：z=(z)：(z)：z=2：3：5
3.答案（C）
解析：∵ DE∥AC
∵ CE：BE=AD：DB=3：4
∵ EF∥AB
∴ CF：AF=CE：BE=3：4
设CF=3x ，则AF=4x
∵ AC=14
∴ 3x+4x=14
∴ x=2
∴ CF=6
AF=8
4. 答案（C）
解析：作AG∥BC交DF于G
∴ BF：AB=FD：DG
∵ AD⊥CD，AG∥BC
∴ ∠ADC=∠DAG=900
∵ E为AC的中点
∴ ED=EA ∴ ∠1=∠2
∵ AD为公共边
∴ △GAD≌△CDA
∴ AC=DG
∴ BF：AB=FD：AC
即：AB：AC=BF：FD
5答案：（B）
解析：∵ OE∥AD，∴ OE：AD=BE：AB
∵ OF∥AD，∴ OF：AD=FC：CD
∵ AD∥EF∥BC，∴ AE：BE=DF：CF
∴ （AE+BE）：BE=（DF+CF）：CF
即BE：AB=CF：CD
OE：AD=OF：AD
∴ OE=OF
中考解析
例1.( 杭州市)已知：1，，2三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式_________。
考点：比例的基本性质
评析：思路：运用比例的基本性质，将所添的数当作比例式a:b=c:d中的任何一项即可，一题可以写出三个数，都与1、、2三数构成比例。如：1:=2:2
1:2=:2……等(只要是含1，，2三数的比例式即可，若是三数不含全的则不符合题意。
例2.(上海市)已知数3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是___________（只需填写一个数）。
考点：比例中项的求法
评析：因为此题是一个主观性质的试题，它不是求这两个数的比例中项。而是让自己写出一个数，使三个数中的某个数是另外两个数的比例中项，所以只要明白比例中项的意义，就能写出符合条件的一个数。（结论不是唯一的。）
3（或-3，或12，或）
例3.（河北省）已知：如图，l1∥l2∥l3，AB=3，BC=5，DF=12。求DE和EF的长。
考点：平行线分线段成比例定理
评析：思路：此题关键是求DE，∵L1∥L2∥L3，∴，
由条件AB=3，BC=5，DF=12，DE得求。而EF=DF－DE。
答案：解： ∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，
∴DE=.
∴EF=DF-DE=12-=.
例4.（北京市海淀区）如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则
∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________。
考点：三角形一边平行线的性质定理。
评析：首先，想到定理的含义，再结合图形分析（或进行比例变形）就可直接求出结果。
答案为68°，1:2
例5.（西安市）－油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口。抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油面的高度为 .
考点：平行线分线段成比例定理
评析：将实际问题转化为几何问题是解题的关键，即由题意可得Rt△ABC，其中AB=1m，AC=0.8m，BD=0.8m，DE//BC，将问题转化为求CE的长，由平行线分线段成比例定理计算即得。答案为0.64m.
一.知识要点：
（一）比例线段
1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.
2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．
4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．
（二）比例的性质：
(1)比例的基本性质：
(2)反比性质：
(3)更比性质: 或
(4)合比性质:
(5)等比性质: 且
(三) 平行线分线段成比例定理
1.定理: 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例.
2. 推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
3.平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.
4.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.
这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线.首先要弄清三个基本图形.
这三个基本图形的用途是:
1.由平行线产生比例式
基本图形(1): 若l1// l2// l3, 则或或或
基本图形(2): 若DE//BC,则或或或
基本图形(3): 若AC//BD, 则或或或
在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置。
2．由比例式产生平行线段
基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC.
基本图形(3):若, , , , , 之一成立，则AC//DB.
二. 本讲内容所需要的计算与证明方法
计算方法1.利用引入参数求解相关命题的方法.
2. 会利用比例式建立方程求线段的长.
证明方法:会证比例式及等积式,会添加必要的辅助线求解相关命题.
三. 例题
例1. 已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值.
分析: 题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k, 转化成关于k的一元方程,求出k后,使得问题得解.
解:∵ a:b:c=3:5:7
设a=3k, b=5k, c=7k
∵ 2a+3b-c=28
∴ 6k+15k-7k=28
∴ k=2
∴ 3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12
例2:若, 求的值.
解:设
则x=3k, y=4k, z=5k
∴
说明:在这个问题中,不必求出K的值,就可以把问题解决了.
例3.如图,在□ABCD中,E为AB中点,,EF,AC相交于G,求.
分析:欲求,就需要有平行线,并使已知条件得以利用,虽然题目中有平行线,但无基本图形,不能使已知条件发挥作用,需通过添加辅助线来寻找解题途径,构造基本图形.
解:分别延长FE,CB相交于H,(构造出了基本图形)
在□ABCD中,ADBC,
∵ E为AB中点 ∴ AE=BE
∵ AD//BC ∴ ∠AFE=∠H
在△AEF和△BEH中
在△AEF≌△BEH(AAS)
∴ AF=BH
∵ ∵ 设AF=k, 则FD=3k
AD=4k BH=AF=k BC=AD=4K CH=5K
∵ AD//BC 即AF//HC
∴
∴
说明:此题还有其他辅助线的作法,例如分别延长EF,CD相交于M.或取AC中点N,连结EN.
请同学们思考,这两种方法构造了哪些基本图形,如何求出.
例4.已知:如图,D是△ABC的AB边的中点,F是BC延长线上一点,连结DF交AC于E点.
求证: EA:EC=BF:CF
分析:这是证明比例式的问题,根据题目条件,不能直接证出要求证的比例式,并且四条线段中EC，CF在同一个三角形中,而EA,BF不在同一个三角形中,因此需要添加适当的辅助线(平行线)来构造形成比例的基本图形(由平行得比例).为了利用BF:CF,故可以过C点作平行线来构造基本图形.
证法一:
过C作CH//AB交DF于H
∵ CH//AB 即CH//BD
∴
又CH//AD
∵
∵ D是AB中点
∴ AD=BD
∴
∴ （等比代换）
即EA:EC=BF:CF
证法二:
过C作CM//FD交AB于M
∵ CM//FD
∴
∵ CM//ED
∴
∵ D是AB中点
∴ AD=BD
∴
∴ EA:EC=BF:CF (等比代换)
说明:在上面证明过程中,我们还用到了利用相等的比进行代换证明比例式的方法,这也是一种经常使用的方法.本题还可以过B点作AC的平行线或作DF的平行线的方法来证明,请同学们自己来证.总之通过作平行线得到比例是必须掌握的方法.
例5.已知:如图,菱形ABCD内接于△AEF,AE=3,AF=5,求菱形ABCD的边长.
分析:有平行线就能得到比例线段,求线段的长有时需要使用方程的思想方法来解决,本题给出了用比例式建立方程求线段长的一种常见方法,注意掌握解题的思路.
解: ∵ 菱形ABCD内接于△AEF
∴ AB//CD,AB=BC=CD=AD
设菱形边长为x,则CD=AD=x(适当设出未知数)
∵ AF=5
∴ DF=5-x(有关的量要用含未知数的代数式表示)
∵ CD//AB 即CD//AE
∴
且AE=3（得到相等关系）
∴ (利用比例式建立了关于x的方程)
∴ 5x=15-3x ∴ x=(解出方程)
∴ 菱形ABCD的边长为
四.练习:
1.已知,求的值.
2.已知:如图,△ABC中,DE//BC.AB=8,AD=5,EC=4,求AE的长
3.已知a=4,c=9若b是a,c的比例中项,求b的值.
4.已知线段MN是AB,CD的比例中项,AB=4cm,CD=5cm,求MN的长.并思考3、4两题有何区别.
5.已知:△ABC中,D是BC上一点,BD=3CD,M是AD中点,连BM延长交AC于E.求:AE:EC.
6.已知:如图,△ABC中,CD平分∠ACB,DE//BC,
AD:DB=2:3,AC=10,求DE的长.
练习参考答案:
1. 2. 3. 4.
3、4题区别: 第3题中b是数,可为正也可为负; 第4题中MN为线段,只能为正.
5. 提示:
或
作DN//AC交BE于N 作CO//BE交AD延长线于O
或 或
作AP//BE交CB延长线于P 作AQ//BC交BE延长线于Q
结论: AE:EC=3:4
6.DE=6(提示:用方程的思想方法).
在线测试
选择题
1．已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2cm，b=4cm,c=5cm,则d=（ ）
（A）1cm （B）10cm （C） （D）cm
2．已知：8x+3y-5z=0,且2x-3y+z=0 那么x：y：z的值是（ ）
（A）1：2：3 （B）2：3：5 （C）3：3：4 （D）2：2：3
3．如图，DE∥AC，EF∥AB，AC=14，AD：DB=3：4 则AF的长是（ ）
（A）6 （B）10 （C）8 （D）9
4．已知，如图△ABC中，AD⊥BC，E是AC的中点。那么下列比例式成立的是（ ）
（A）AB：AC=DF：BC
（B）AB：AC=EF：ED
（C）AB：AC=BF：FD
（D）AB：AC=AC：AD
5．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于O， 过O作底的平行线，分别与两腰交于E，F，则
（A）OE=OF
（B）OE=OF
（C）OE=2OF
（D）OE+OF=BD
答案与解析
答案：1、B 2、B 3、C 4、C 5、B
解析：
1.答案（B）
2.答案（B）
解析：
∴ x：y：z=(z)：(z)：z=2：3：5
3.答案（C）
解析：∵ DE∥AC
∵ CE：BE=AD：DB=3：4
∵ EF∥AB
∴ CF：AF=CE：BE=3：4
设CF=3x ，则AF=4x
∵ AC=14
∴ 3x+4x=14
∴ x=2
∴ CF=6
AF=8
4. 答案（C）
解析：作AG∥BC交DF于G
∴ BF：AB=FD：DG
∵ AD⊥CD，AG∥BC
∴ ∠ADC=∠DAG=900
∵ E为AC的中点
∴ ED=EA ∴ ∠1=∠2
∵ AD为公共边
∴ △GAD≌△CDA
∴ AC=DG
∴ BF：AB=FD：AC
即：AB：AC=BF：FD
5答案：（B）
解析：∵ OE∥AD，∴ OE：AD=BE：AB
∵ OF∥AD，∴ OF：AD=FC：CD
∵ AD∥EF∥BC，∴ AE：BE=DF：CF
∴ （AE+BE）：BE=（DF+CF）：CF
即BE：AB=CF：CD
OE：AD=OF：AD
∴ OE=OF
中考解析
例1.( 杭州市)已知：1，，2三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式_________。
考点：比例的基本性质
评析：思路：运用比例的基本性质，将所添的数当作比例式a:b=c:d中的任何一项即可，一题可以写出三个数，都与1、、2三数构成比例。如：1:=2:2
1:2=:2……等(只要是含1，，2三数的比例式即可，若是三数不含全的则不符合题意。
例2.(上海市)已知数3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是___________（只需填写一个数）。
考点：比例中项的求法
评析：因为此题是一个主观性质的试题，它不是求这两个数的比例中项。而是让自己写出一个数，使三个数中的某个数是另外两个数的比例中项，所以只要明白比例中项的意义，就能写出符合条件的一个数。（结论不是唯一的。）
3（或-3，或12，或）
例3.（河北省）已知：如图，l1∥l2∥l3，AB=3，BC=5，DF=12。求DE和EF的长。
考点：平行线分线段成比例定理
评析：思路：此题关键是求DE，∵L1∥L2∥L3，∴，
由条件AB=3，BC=5，DF=12，DE得求。而EF=DF－DE。
答案：解： ∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，
∴DE=.
∴EF=DF-DE=12-=.
例4.（北京市海淀区）如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则
∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________。
考点：三角形一边平行线的性质定理。
评析：首先，想到定理的含义，再结合图形分析（或进行比例变形）就可直接求出结果。
答案为68°，1:2
例5.（西安市）－油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口。抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油面的高度为 .
考点：平行线分线段成比例定理
评析：将实际问题转化为几何问题是解题的关键，即由题意可得Rt△ABC，其中AB=1m，AC=0.8m，BD=0.8m，DE//BC，将问题转化为求CE的长，由平行线分线段成比例定理计算即得。答案为0.64m.