本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第五章 矩阵的特征值与特征向量 同步练习(二)
1、设是矩阵A的两个不同的特征值, 是A的分别属于的特征向量, 则有是( )
A、线性相关 B、线性无关 C、对应分量成比例 D、可能有零向量
2、矩阵的特征值为（ ）
A、 B、
C、 D、
3、矩阵的特征值为____________，对应的特征向量为________________。
4、矩阵的特征值是_________。
5、给定矩阵，设矩阵M存在特征值，及其对应的特征向量，只有当 ________________时，方程组才可能有非零解。21教育网
6、矩阵的特征值是 。
7、当矩阵M有特征值及对应的特征向量，即，则有 。
8、若矩阵A有特征向量和,且它们对应的特征值分别为,
(1)求矩阵A及其逆矩阵；
(2)求逆矩阵的特征值及特征向量；
(3)对任意向量,求和。
9、自然界生物群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等。因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系。但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾。现假设两个互相影响的种群X，Y随时间段变化的数量分别为，有关系式，其中，试分析20个时段后，这两个种群的数量变化趋势。21世纪教育网版权所有
参考答案：
1、B 2、C
3、 ； 和 4、
5、 6、
7、
8、（1）
（2）逆矩阵的特征值为；的特征向量可取，的特征向量可取；
（3）由于，则
，
。
9、令，则，
矩阵M的特征值为，对应的特征向量分别为
假设，则将代入得。则
即
因此，20个时段后，种群X、Y的数量分别约为和。
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第五章 矩阵的特征值与特征向量 同步练习(一)
1、矩阵的特征值是( )
A、 B、
C、 D、
2、零为矩阵A的特征值是A为不可逆的( )
A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、非充分非必要条件
3、给定矩阵及向量，对任意的向量，则 。
4、矩阵的特征值是 。
5、已知矩阵有特征值及对应特征向量，并有特征值及对应向量，则矩阵A= 。21世纪教育网版权所有
6、，则。
7、的特征值为_____________。
8、求矩阵的特征值和特征向量。
9、给定矩阵M=及向量，
(1)求M的特征值及对应的特征向量；
(2)确定实数a,b使向量可表示为；
(3)利用(2)中表达式间接计算。
10、对下列兔子、狐狐狸模型进行分析：
①
②
(1)分别确定以上模型对应矩阵的特征值；
(2)分别确定以上模型最大特征值对应的特征向量,及较小特征值对应的特征向量:
(3)如果初始种群中兔子与狐狸的数量,分别把第n年种群中兔子与狐狸的数量表示为和的线性组合,即；21cnjy.com
(4)利用(3)中表达式分析当n越来越大时, 的变化趋势。
参考答案：
1、A 2、C
3、 4、
5、 6、
7、
8、；属于特征值的一个特征向量为，的一个特征向量为。
解：矩阵M的特征值满足方程：
解得矩阵M的两个特征值：
。
（1）设属于特征值的特征向量为，则它满足方程，即
，亦即，
则可取作为属于特征值的一个特征向量。
（2）同理可得的一个特征向量为。
9、（1）；的一个特征向量为，的特征向量为；
（2）；
（3）；
。
10、令，则模型①可表示为，
（1）矩阵M有两个特征值：；
（2）属于最大特征值的特征向量，属于较小特征值的特征向量取；
（3）由则
即
（4）当n越来越大时，越来越大，并趋向于无穷大，则和分别越来越大，趋向于无穷大。说明在此模型下，兔子和狐狸的数量将随时间增加而增加。21教育网
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
矩阵变换的特征值与特征向量 同步练习
1， 选择题
1，零为矩阵A的特征值是A为不可逆的( )
A. 充分条件 B .必要条件 C.充要条件 D .非充分、非必要条件
2,设是矩阵A的两个不同的特征值, 是A的分别属于的特征向量, 则有是( )
A.线性相关 B.线性无关 C.对应分量成比例 D.可能有零向量
3, 设A、B都是2阶方阵, 下面结论正确的是( )
A.若A、B均可逆, 则A + B可逆. B.若A、B均可逆, 则AB可逆.
C.若A + B可逆, 则A－B可逆. D. 若A + B可逆, 则A, B均可逆.
2， 填空题
4,矩阵的特征值是 .
5,给定矩阵,设矩阵M存在特征值,及其对应的特征向量,只有
当 时,方程组才可能有非零解.
6,当矩阵M有特征值及对应的特征向量,即则有 .
3， 解答题
7,求矩阵的特征值和特征向量
8,若矩阵A有特征向量和,且它们对应的特征值分别为,
(1)求矩阵A及其逆矩阵
(2)求逆矩阵的特征值及特征向量;
(3)对任意向量,求及
参考答案
1，C 2,B 3,B
4, 5,
6,
7,解:矩阵M的特征值满足方程:
8,解
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
特征向量在生态模型中的简单应用 同步练习
一,选择题
1,矩阵的特征值是( )
A, B,
C, D,
2, 已知ABCDEF是正六边形，且＝a，＝b，则＝（ ）
A.( a－b) B.( b－a)
C.a＋b D.( a+ b)
3，下列命题中的假命题是( )
A.向量与的长度相等
B.两个相等向量若起点相同，则终点必相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
二,填空题
4,给定矩阵及向量,对任意的向量,则 .
5,已知矩阵A有特征值及对应特征向量，并有特征值及对应向量，则矩阵A= .21世纪教育网版权所有
6,矩阵的特征值是 .
三,解答题
7,给定矩阵M=及向量
(1)求M的特征值及对应的特征向量;
(2)确定实数a,b使向量可表示为;
(3)利用(2)中表达式间接计算
8,对下列兔子,狐狐狸模型进行分析.
①
②
(1)分别确定以上模型对应矩阵的特征值;
(2)分别确定以上模型最大特征值对应的特征向量,及较小特征值对应的特征向量:
(3)如果初始种群中兔子与狐狸的数量,分别把第n年种群中兔子与狐狸的数量表示为和的线性组合,即;21教育网
(4)利用(3)中表达式分析当n越来越大时, 的变化趋势.
参考答案
1,A 2,D 3，D
4, 5,
6,
7,解:
8,解:
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
