12.1-12.2 全等三角形、三角形全等的判定
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江黑河·八年级统考期末）下列说法不正确的是（ ）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同;
B．图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关;
C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形;
D．全等三角形的对应边相等，对应角相等.
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，，D在边上，，，则的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校联考期末）如图所示，△ABC≌△DEC，AC＝DC，有以下结论：①EC＝BC；②∠DCA＝∠ECB；③∠DEA＝∠DCA； ④∠DEA＝∠DEC，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022秋·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）一个三角形的三边长分别为2，5，x，另一个三角形的三边长分别为y，2，6，若这两个三角形全等，则x+y=（ ）
A．11 B．7 C．8 D．13
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·黑龙江黑河·八年级统考期末）如图所示，，，，结论：①；②；③；④，其中正确的是有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EFB＝40°；④AD＝AC，正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022秋·黑龙江绥化·八年级校考期末）如图，已知，要使，再添加一个条件（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·黑龙江鸡西·八年级期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·黑龙江七台河·八年级统考期末）如图，AB//DE，AC//DF，AC＝DF，下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．EF＝BC D．EF//BC
11．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）如图,下列条件中,不能证明△ABC≌△DCB的是( )
A．AB=DC,AC=DB B．AB=DC,∠ABC=∠DCB C．BO=CO,∠A=∠D D．AB=DC,∠DBC=∠ACB
12．（2022秋·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）如图，在锐角三角形ABC中，，BE，CD为的角平分线．BE，CD交于点F，FG平分，有下列四个结论：①；②；③≌；④．其中结论正确的序号有（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
13．（2022秋·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图所示的网格是由个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．（2022秋·黑龙江绥化·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，若在第一象限中找一点，使得，则点的坐标为 ．
15．（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ ．
16．（2022秋·黑龙江七台河·八年级统考期末）在Rt，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．
17．（2022秋·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）如图．已知中，厘米，，厘米，D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．若点Q的运动速度为a厘米/秒，则当与全等时，a的值为 ．
18．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE，
成立的有 个．
19．（2022秋·黑龙江黑河·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=7cm，CE=5cm，则DE= cm．
20．（2022秋·黑龙江绥化·八年级校考期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，则 度．
21．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，于点D，于点E，BD，CE交于点F，请你添加一个条件： （只添加一个即可），使得≌
三、解答题
22．（2022秋·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）如图，是的边上一点，， 交于点，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长．
23．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）【问题背景】
如图1：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，再证明，可得出结论 ．
【探索延伸】如图2，若在四边形中，，、分别是，上的点，上述结论是否仍然成立
【学以致用】
如图3，四边形是边长为5的正方形，，求的周长．
24．（2022秋·黑龙江鸡西·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F，
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
25．（2022秋·黑龙江七台河·八年级统考期末）如图，在中，，，分别过点B，C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E，F．
（1）如图①，过点A的直线与斜边BC不相交时，求证：
①；
②．
（2）如图②，其他条件不变，过点A的直线与斜边BC相交时，若，，试求EF的长．
26．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图1，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC．
（1）求证：ABDE；
（2）如图2，过点C作PQ交AB于P，交DE于Q，求证：CP＝CQ．
（3）如图3，若AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．连接PQ，当线段PQ经过点C时，直接写出t的值为 ．
27．（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中A（0，2），B（﹣1，0），以点A为直角顶点，AB为直角边在第二象限内作等腰直角△ABC．
(1)设点C的坐标为（a，b），求a+b的值．
(2)求四边形OACB的面积．
(3)在（1）的条件下，坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使△PAB与△ABC全等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
28．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，且，，，求证：．
参考答案：
1．C
【分析】直接利用全等三角形的定义“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”与性质“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可得．
【详解】解：A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，选项说法正确，不符合题意；
B、图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关，选项说法正确，不符合题意；
C、全等图形的面积相等，但面积相等的两个图形不一定是全等图形；选项说法错误，符合题意；
D、全等三角形的对应边相等，对应角相等，选项说法正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的定义与性质，解题的关键是掌握全等三角形的定义与性质．
2．D
【分析】由可知，是△ADC的一个外角，已知与它不相邻的两个内角，即可求出的度数．
【详解】∵
∴
∵在△ADC中，，
∴=30°+35°=65°
故选：D
【点睛】本题只要你考查了三角形的全等的性质，掌握全等三角形对应角相等以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
3．C
【分析】根据全等三角形的判定与性质对选项进行判断即可．
【详解】解：∵△ABC≌△DEC，
∴BC＝EC，CD＝AC，∠DCE＝∠ACB，
故①正确；
∴∠DCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE，
即∠DCA＝∠BCE，
故②正确；
∵BC＝EC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵，，，
∴，
∴∠DEA＝∠DCA，
故③正确，
④条件不足，无法判断；
正确的结论有①②③，共3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
4．A
【分析】根据全等三角形的基本性质求解即可.
【详解】已知这两个三角形全等，则三组对应边应分别为2、5、6，所以x＝6，y＝5，则
x＋y＝6＋5＝11，故本题正确答案为A.
【点睛】本题主要考查全等三角形的基本性质，掌握全等三角形的基本性质是解决本题的关键.
5．B
【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可．
【详解】A、，不能判断，选项不符合题意；
B、，利用SAS定理可以判断，选项符合题意；
C、，不能判断，选项不符合题意；
D、，不能判断，选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS、ASA、AAS判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．
6．C
【分析】根据已知的条件，可由AAS判定△AEB≌△AFC，进而可根据全等三角形得出的结论来判断各选项是否正确．
【详解】解：∵，
∴△AEB≌△AFC；（AAS）
∴∠FAM=∠EAN，
∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN，即∠EAM=∠FAN；（故③正确）
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，
∴△EAM≌△FAN；（ASA）
∴EM=FN；（故①正确）
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，
∴△ACN≌△ABM；（故④正确）
由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④；
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质与判别，考查了学生根据图形分析问题，解决问题的能力．其中全等三角形的判别方法有：SSS，SAS，ASA，AAS及HL．学生应根据图形及已知的条件选择合适的证明全等的方法．
7．C
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△AEF，由全等三角形的性质依次判断可求解．
【详解】解：在△ABC和△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠C，故②正确，
∴∠BAE＝∠FAC＝40°，故①正确，
∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠EFB，
∴∠EFB＝∠FAC＝40°，故③正确，
无法证明AD＝AC，故④错误，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
8．A
【分析】利用全等三角形的判定方法，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴若添加条件，无法判定；
若添加，则；
若添加，则；
若添加，则；
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法；判定三角形全等的一般方法有：，，，，，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
9．A
【分析】根据图形，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
【详解】解：由图形可知：三角形有两角和它们的夹边是完整的，
所以可以利用“角边角（）”定理画出完全一样的三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
10．C
【分析】本题可以假设A、B、C、D选项成立，分别证明△ABC≌△DEF，即可解题．
【详解】解：（1）∵AB//DE，AC//DF，∴∠A=∠D，
AB=DE，则△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF，故A选项错误；
（2）∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF，故B选项错误；
（3）EF=BC，无法证明△ABC≌△DEF；故C选项正确；
（4）∵EF//BC，AB//DE，
∴∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF，故D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的不同方法的判定，注意题干中“不能”是解题的关键．
11．D
【分析】根据题意知，BC边为公共边．
【详解】A．由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B．由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C．由BO=CO可以推知∠ACB=∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；
D．由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．
故选D．
考点：全等三角形的判定．
12．B
【分析】根据∠BFC=180°-（∠EBC+∠DCB）可对①进行判断；根据“ASA”证明△BCF≌△BGF，可对②进行判断；根据三角形全等的判定方法中必须有边的参与可对③进行判断；由②可得BD=BG，同理可得CE=CG，可对④进行判断．
【详解】解：∵∠A=60°，BE、CD为三角形ABC的角平分线，
∴∠EBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB= ×（180°-∠A）=60°，
∴∠BFC=180°-（∠EBC+∠DCB）=120°，故①符合题意；
由①得，∠DFB=60°，∠BFC=120°，
∵FG平分∠BFC，
∴∠BFG=∠BFC=60°，
在△BDF和△BGF中， ，
∴△BDF≌△BGF（ASA），
∴BD=BG，故②符合题意；
在△BDF和△CEF中， ∠BFD=∠CFE=60°，没有其它相等的边与角，
∴△BDF和△CEF不一定全等，故③不符合题意；
由②可得BD=BG，
同理可得△CEF≌△CGF，
∴CE=CG，
∴BC=BG+CG=BD+CE，故④符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
13．B
【分析】如图所示（见详解），证明可得，，在正方形中，是对角线，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
在正方形中，是对角线，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查格点三角形的知识，掌握格点三角形中顶点与边的关系，证明三角形全等，根据全等三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键．
14．
【分析】由C点在第一象限内，且以及边AO为公共边，即可得到C点坐标．
【详解】根据题意C点在第一象限内，且，
如图，又已知和有已知公共边AO，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，由已知公共边结合三角形全等的性质找到点C的位置是解答本题的关键．
15．55°
【分析】根据∠BAC＝∠DAE能够得出∠1＝∠EAC，然后可以证明△BAD≌△CAE，则有∠2＝∠ABD，最后利用∠3＝∠1+∠ABD可求解．
【详解】∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键．
16．3
【分析】首先找到∠ECF=∠B，再判定△ABC≌△FEC，根据线段和差计算出结果即可．
【详解】∵∠ACB=90°，
∴∠ECF+∠BCD=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°．
∴∠ECF=∠B，
在△ABC和△FEC中，
∵∠ECF=∠B，EC=CB，∠ACB=∠FEC=90°，
∴△ABC≌△FEC（ASA）．
∴AC=EF．
∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，
∴AE=5﹣2=3（cm）．
【点睛】本题考查了判定三角形全等，运用线段的和差，解题的关键是找到判定三角形全等的条件．
17．2或3/3或2
【分析】此题要分两种情况：①当BD=PC时，△BPD与△CQP全等，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求a；②当BD=CQ时，△BDP≌△CQP，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求a．
【详解】解：当BD=PC时，△BPD与△CQP全等，
∵点D为AB的中点，
∴BD=AB=6cm，
∵BD=PC，
∴BP=8-6=2（cm），
∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间时1s，
∵△DBP≌△PCQ，
∴BP=CQ=2cm，
∴a=2÷1=2；
当BD=CQ时，△BDP≌△CQP，
∵BD=6cm，PB=PC，
∴QC=6cm，
∵BC=8cm，
∴BP=4cm，
∴运动时间为4÷2=2（s），
∴a=6÷2=3（m/s），
故答案为：2或3．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论，不要漏解，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
18．1
【分析】根据全等三角形的性质可以得出AC=BE，CD=BC， ，根据以上结论可以推导出 ，，即可求解．
【详解】解：∵Rt△ACD≌Rt△EBC，
∴AC＝BE，
∵在Rt△BEC中，BE＜BC，
∴AC＜BC，
∴①错误；
∵∠CAD＝∠CEB＝∠BED＝90°，∠D＜∠CAD，
∴∠D≠∠BED，
∴AD和BE不平行，
∴②错误；
∵Rt△ACD≌Rt△EBC，
∴∠ACD＝∠CBE，∠D＝∠BCE，
∵∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCE＝90°，
∴③正确；
∵Rt△ACD≌Rt△EBC，
∴AD＝CE，CD＝BC，
CD＝CE+DE＝AD+DE＝BC，
∵BE＜BC，
∴AD+DE＞BE，
∴④错误；
故答案为：1．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边大于直角边等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
19．12
【分析】用AAS证明△ABD≌△CAE，得AD=CE，BD=AE，得到DE=BD+CE=7+5=12cm．
【详解】∵∠BAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠EAC＝∠ABD，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝CE+BD＝12cm．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了三角形全等，解决问题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．
20．132
【分析】先证明△BDC≌△AEC，进而得到角的关系，再由∠EBD的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．
【详解】解：∵，∴，
在和中，，
∴，∴，
∵，
∴，∴，
∴．
故答案为132
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
21．（答案不唯一）
【分析】由题意依据全等三角形的判定条件进行分析即可得出答案.
【详解】解：∵于点D，于点E，
∴，
∵，
∴当时，≌（AAS）.
故答案为：.
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
22．（1）证明见详解；（2）1．
【分析】（1）根据证明即可；
（2）根据（1）可得，即由，根据求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
；
（2）由（1）得
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
23．【问题背景】；【探索延伸】结论仍然成立；理由见解析；【学以致用】10
【分析】（1）【问题背景】延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
（2）【探索延伸】延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
（3）【学以致用】延长，截取，连接，根据定理可得出，故可得出，，再由，可得出，故，由定理可得，故，故的周长，由此可得出结论．
【详解】（1）【问题背景】解：如图1，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
（2）【探索延伸】解：结论仍然成立；
理由：如图2，延长到点．连接，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）【学以致用】解：如图3，延长到点，连接，
在与中，
∵，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）.
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE＋BE＝1＋2＝3，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵，
∴．
∵是边上的中线，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25．（1）①见详解；②见详解；（2）7
【分析】（1）①由条件可求得∠EBA＝∠FAC，利用AAS可证明△ABE≌△CAF；②利用全等三角形的性质可得EA＝FC，EB＝FA，利用线段的和差可证得结论；
（2）同（1）可证明△ABE≌△CAF，可证得EF＝FA EA，代入可求得EF的长．
【详解】（1）证明：①∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB＝∠CFA＝90°，
∴∠EAB＋∠EBA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAB＋∠FAC＝90°，
∴∠EBA＝∠FAC，
在△AEB与△CFA中
∵，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
②∵△ABE≌△CAF，
∴EA＝FC，EB＝FA，
∴EF＝AF＋AE＝BE＋CF；
（2）解：∵BE⊥AF，CF⊥AF
∴∠AEB＝∠CFA＝90°
∴∠EAB＋∠EBA＝90°
∵∠BAC＝90°
∴∠EAB＋∠FAC＝90°
∴∠EBA＝∠FAC，
在△AEB与△CFA中
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴EA＝FC，EB＝FA，
∴EF＝FA EA＝EB FC＝10 3＝7．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
26．（1）见详解；（2）见详解；（3）1或2
【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△EDC，可得∠A＝∠E，可证AB∥DE；
（2）由“ASA”可证△DCQ≌△BCP，可得CP＝CQ；
（3）由全等三角形的性质可得DQ＝BP，列出方程可求解．
【详解】解：（1）证明：在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠A＝∠E，
∴AB∥DE；
（2）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠D，
在△DCQ和△BCP中，
，
∴△DCQ≌△BCP（ASA），
∴CP＝CQ；
（3）解：由（2）可知：当线段PQ经过点C时，△DCQ≌△BCP，可得DQ＝BP，
∴4﹣3t＝t或3t﹣4＝t，
∴t＝1或2．
故答案为：1或2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解本题的关键．
27．(1)1
(2)
(3)存在，P的坐标是或或
【分析】（1）如图1，作CE垂直于y轴，垂足为E，可知△ECA≌△OAB，知的长，得到的坐标，进而得到的值，进而得到的值；
（2）如图2，作CE垂直于y轴，垂足为E，连接OC，，代线段值求解即可；
（3）分为三种情况：①如图3，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，∠PBA＝∠AOB＝∠PEB＝90°，△PEB≌△BOA，得的值，进而表示的点坐标即可；②如图4，过C作CM垂直于x轴，垂足为M，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠CMB＝∠PEB＝90°，△CMB≌△BEP，得的值，进而表示的点坐标即可；③如图5，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠BEP＝∠BOA＝90°，△CMB≌△BEP，得的值，进而表示的点坐标即可．
【详解】（1）解：如图1，作CE垂直于y轴，垂足为E，
∴∠CEA＝90°
∵A，B
∴OA＝2，OB＝1
∵∠BAC＝90°
∴∠BAO+∠CAE＝90°
∵∠ECA+∠CAE＝90°
∴∠ECA＝∠BAO
在△ECA和△OAB中
∴△ECA≌△OAB（AAS）
∴CE＝AO＝2，AE＝BO＝1
即OE＝EA+OA＝3
∴C点坐标为
∴
∴．
（2）解：如图2，作CE垂直于y轴，垂足为E，连接OC，
．
（3）解：存在点P，使△PAB与△ABC全等；
分为三种情况：①如图3，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠PBA＝∠AOB＝∠PEB＝90°，
∴∠EPB+∠PBE＝90°，∠PBE+∠ABO＝90°
∴∠EPB＝∠ABO
在△PEB和△BOA中
∴△PEB≌△BOA（AAS）
∴PE＝BO＝1，EB＝AO＝2
∴，
即P的坐标是；
②如图4，过C作CM垂直于x轴，垂足为M，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠CMB＝∠PEB＝90°，
∵△CAB≌△PAB
∴∠PBA＝∠CBA＝45°，BC＝BP
∴∠CBP＝90°
∴∠MCB+∠CBM＝90°，∠CBM+∠PBE＝90°
∴∠MCB＝∠PBE
在△CMB和△BEP中
∴△CMB≌△BEP（AAS）
∴PE＝BM，CM＝BE
∵
∴PE＝1，OE＝BE﹣BO＝3﹣1＝2
即P的坐标是；
③如图5，过P作PE垂直于x轴，垂足为E，则∠BEP＝∠BOA＝90°，
∵△CAB≌△PBA
∴AB＝BP，∠CAB＝∠ABP＝90°
∴∠ABO+∠PBE＝90°，∠PBE+∠BPE＝90°
∴∠ABO＝∠BPE
在△BOA和△PEB中
∴△BOA≌△PEB（AAS）
∴PE＝BO＝1，BE＝OA＝2，
∴OE＝BE+BO＝2+1＝3，
即P的坐标是；
综合上述，符合条件的P的坐标是或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角坐标系中的点坐标．解题的关键在于全面考虑三角形全等的可能情况．
28．见解析
【分析】根据可得，根据可得，即可根据进行求证．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是根据题目所给条件，得出相应的边和角度相等，熟练掌握三角形全等的判定定理．12.3 角的平分线的性质
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江鸡西·八年级统考期末）如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（ ）
A．180° B．200° C．210° D．240°
2．（2022秋·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
4．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，的外角的平分线CE与内角的平分线BE交于点E，若，则的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
5．（2022秋·黑龙江鹤岗·八年级统考期末）如图，在中，，平分，于，有下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（2022秋·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息.若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪 （ ）
A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条高的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
7．（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC＝60°，则∠BOC＝（ ）
A．120° B．125° C．130° D．140°
8．（2022秋·黑龙江鸡西·八年级统考期末）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有（ ）对全等三角形．
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）在中，是的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于（ ）
A．3 B．5 C．9 D．12
二、填空题
10．（2022秋·黑龙江七台河·八年级统考期末）在Rt，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．
11．（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图所示，点D在∠BAC的角平线上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF，BC⊥AD于点D，则下列结论中①DE＝DF；②AE＝AF；③∠ABD＝∠ACD；④∠EDB＝∠FDC，其中正确的序号是 ．
12．（2022秋·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）如图，在中，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是 ．
13．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，AB＝12，BC＝15，△ABC的面积是36，则DE的长是 ．
14．（2022秋·黑龙江绥化·八年级校考期末）如图，已知是的角平分线，于点，，， ，则 ．
15．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在中，，，平分交于点D，若，则 ．
16．（2022秋·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PD=1，则点P到射线OB的距离为 ．
17．（2022秋·黑龙江绥化·八年级校考期末）如图，在中，是直角，平分，交于点D．如果，那么的面积等于 ．
三、解答题
18．（2022秋·黑龙江鸡西·八年级期末）如图所示，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N．
求证：
19．（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD = CD，BE = CF．
求证：
(1)AD平分∠BAC；
(2)AC=AB+2BE.
20．（2022秋·黑龙江黑河·八年级统考期末）如图，在中，平分于点E，点在上，且．求证：．
21．（2022秋·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE＝CF．
22．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校联考期末）在ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点F是射线CA上一点，连接BF，过点C作CE⊥BF，垂足为点E，直线CE、AB相交于点D．
(1)如图1所示，当点F在线段CA延长线上时，求证：△CAD≌△BAF；
(2)如图2所示，当点F在线段CA上时，连接EA，过点A作AM⊥BE于M，AN⊥CE于N，求证：EA平分∠DEB；
23．（2022秋·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠Ｃ=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE=5cm，∠CAD=32°，求CD的长度及∠B的度数．
参考答案：
1．A
【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，则可根据“”判断，所以，然后利用得到．
【详解】解：过点作于，如图，
是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定与性质．利用角平分线性质构造全等三角形是解题关键．
2．C
【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠E=90°，
∵AD=AD，
∴△DAC≌△DAE，
∴∠CDA=∠EDA，∴①AD平分∠CDE正确；
无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误；
∵BE+AE=AB，AE=AC，
∴BE+AC=AB，∴④BE+AC=AB正确；
∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，
∴∠BDE=∠BAC，∴②∠BAC=∠BDE正确．
综上，正确的个数的3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质；题目是一道结论开放性题目，考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．
3．D
【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB＋S△ADC＝S△ABC得到×4×7＋×4×AC＝24，然后解一次方程即可．
【详解】作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ADB＋S△ADC＝S△ABC，
∴×4×7＋×4×AC＝24，
∴AC＝5，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型．
4．D
【分析】过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，设∠ECD=x°，根据角平分线的性质定理，可得EF = EM，再由三角形外角的性质，可得∠BAC = 80°，从而得到∠CAF = 100°，再由Rt△EFA≌Rt△EMA，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，
设∠ECD=x°，∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE = ∠ECD = x°，EM = EN，
∵BE平分ABC，
∴ ∠ABE =∠EBC，EF = EN，
∴EF = EM，
∵∠BEC= 40°，
∴ ∠ABE =∠EBC =∠ECD–∠BEC=(x-40)°，∴ ∠BAC =∠ACD–∠ABC = 2x°- (x° - 40°) - (x° - 40°) = 80°，∴∠CAF = 100°，
在Rt△EFA和Rt△EMA中，∵EA=EA，EM = EF，
∴ Rt△EFA≌Rt△EMA (HL)，
∴∠FAE = ∠EAC = 50°．
故选：D
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
5．D
【分析】通过证明对选项逐个判断即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，故①正确；
∴平分，，②④正确；
∵
∴
∴，③正确；
故选：D
【点睛】此题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
6．A
【分析】首先理解凉亭到草坪三条边的距离相等的意义，而角平分线上的点到角两边的距离相等，从而得出的角平分线交于三角形内一点，判断它到三角形各边的距离是否相等，问题即可解答．
【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以凉亭的位置应为三条角平分线的交点．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
7．A
【分析】由条件可知O为三角形三个内角的角平分线的交点，则可知∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）．在△BOC中利用三角形的内角和定理可求得∠BOC．
【详解】∵O到三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）．
∵∠A=60°，∴∠OBC+∠OCB=60°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣60°=120°．
故选A．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义和三角形内角和定理，掌握三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．
8．B
【分析】由角平分线的性质得出，根据全等三角形的判定可得出结论．
【详解】解：图中有三对全等三角形有，，，
平分，于，于，
，
在与中，
，
．
在与中，
，
，
在与中，
，
；
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
9．C
【分析】过点E作于点F，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：过点E作于点F，
∵平分，，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到两边距离相等．
10．3
【分析】首先找到∠ECF=∠B，再判定△ABC≌△FEC，根据线段和差计算出结果即可．
【详解】∵∠ACB=90°，
∴∠ECF+∠BCD=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°．
∴∠ECF=∠B，
在△ABC和△FEC中，
∵∠ECF=∠B，EC=CB，∠ACB=∠FEC=90°，
∴△ABC≌△FEC（ASA）．
∴AC=EF．
∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，
∴AE=5﹣2=3（cm）．
【点睛】本题考查了判定三角形全等，运用线段的和差，解题的关键是找到判定三角形全等的条件．
11．①②③④
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，全等三角形对应角相等可得∠ADE＝∠ADF，根据垂直的定义可得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后求出∠EDB＝∠FDC，再根据等角的余角相等可得∠ABD＝∠ACD．
【详解】解∵点D在∠BAC的角平线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
DE＝DF，故①正确，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
Rt△ADERt△ADF（HL），
AE＝AF，∠ADE＝∠ADF，故②正确，
BC⊥AD，
∠ADB＝∠ADC＝90 ，
ADB－∠ADE＝∠ADC－∠ADF，
∠EDB＝∠FDC，故④正确；
∠ABD＋∠EDB＝90°，∠ACD＋∠FDC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACD，故③正确，
故答案为：①②③④
【点睛】此题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的性质，解题时注意结合图形分析已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向．
12．
【分析】过点作交于，交于点，过点作交于点，由是的平分线可得，这时有最小值，即的长度，再根据，即可求得答案．
【详解】解：如图，过点作交于，交于点，过点作交于点，
，
是的平分线，，，
，这时有最小值，即的长度，
，
，
，
即的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是找出满足有最小值时点和点的位置．
13．
【分析】由角平分线定理知DE＝DF，再由等面积计算，求得有关DE和DF的关系式，进而可得到答案．
【详解】解：∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC
∴DE＝DF
∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝BC DF+AB DE＝36，AB＝12，BC＝15
∴×12 DE+×15 DF＝36
∴6DE+DF＝36
又∵DE＝DF
∴6DE+DE＝36
∴DE＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
14．
【分析】过点D作，垂足为F，再根据角平分线的性质得出，由，列出方程，即可求出答案．
【详解】解：过点D作，垂足为F，如图，
∵是的角平分线，，，
∴，
∴
，
即，
解得，
故答案为：3．
【点睛】本题考查角平分线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
15．16
【分析】过点D作于点H，根据角平分线的定义和性质求得，根据证明，得出，最后求得的面积．
【详解】解：如图，过点D作于点H，
，
，
平分，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和勾股定理，还考查了角平分线的定义和性质，解决本题的关键是掌握相关的性质定理并能灵活运用．
16．1
【详解】由角平分线的性质定理，可得，则点P到射线OB的距离为1.
17．8
【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等作，求出，利用三角形面积公式直接求解．
【详解】过点D作于E，
又∵平分，即，
∴，
∴．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了角平分线的性质；三角形的面积．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
18．见解析
【分析】先证明△ABD≌△CBD得到∠ADB=∠CDB，再由角平分线的性质即可得到PM=PN．
【详解】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)先根据HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，则可得DE=DF，根据角平分线的判定方法即可得证；
(2)先根据AAS证明△AED≌△AFD，则可得AE=AF，又由于BE=FC，则结论得证．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE与Rt△CDE中
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF，
∴AD平分∠BAC；
（2）证明：由(1)可知AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E=∠DFA=90°
又∵AD=AD，
∴△AED≌△AFD(AAS)，
∴AE=AF，
∵CF=BE，
∴AC=AF+CF=AE+BE=AB+BE+BE=AB+2BE．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质.熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．见解析
【分析】根据角平分线的性质可得，然后证明，即可解决问题．
【详解】证明：∵，
∴
∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，想办法证明是解决本题的关键．
21．见解析
【分析】根据角平分线的性质可得DE＝DF，∠DEB＝∠DFC，进而证明 Rt△BDE≌Rt△CDF，即可证明BE＝CF．
【详解】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
【点睛】本题考查了角平分线的性质与定义，三角形全等的性质与判定，掌握角平分线的性质是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证出∠ACD=∠ABF，根据ASA可证明△CAD≌△BAF；
（2）证明△ACN≌△ABM（ASA），由全等三角形的性质得出AN=AM，由角平分线的判定定理得出结论．
【详解】（1）解：证明：∵∠BAC=90°，
∴∠ACD+∠ADC=90°，
∵CE⊥BF，
∴∠ABF+∠BDE=90°，
∵∠ADC=∠BDE，
∴∠ACD=∠ABF，
在△CAD和△BAF中，
，
∴△CAD≌△BAF（ASA）；
（2）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠ACD+∠ADC=90°，
∵CE⊥BF，
∴∠ABM+∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠ABM，
在△ACN和△ABM中，
，
∴△ACN≌△ABM（AAS），
∴AN=AM，
∵AN=AM，AN⊥CD，AM⊥BF，
∴EA平分∠DEB．
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质，角平分线的判定定理，掌握全等三角形的判定和性质以及角平分线的判定是解题的关键．
23．CD的长度为5cm，∠B的度数为26°．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE；再根据角平分线的定义求出∠BAC，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：∵AD平分∠BAC ，ＤE⊥AB，DC⊥AＣ，
∴CD=ＤE=5cm，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAD=2×32°=64°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣64°=26°．
