13.1 轴对称
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022秋·黑龙江七台河·八年级统考期末）下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2022秋·黑龙江黑河·八年级校考期末）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，求的度数为何？（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·黑龙江绥化·八年级校考期末）如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，若∠BAC=75°，∠B=40°，则∠BCD的大小为（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON=35°，则∠GOH=（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
7．（2022秋·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
8．（2022秋·黑龙江鸡西·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，∠A度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
9．（2022秋·黑龙江鸡西·八年级期末）如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，已知AC＝4cm，△ADC的周长为15cm，则BC的长为（ ）
A．8cm B．11cm C．13cm D．19cm
10．（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，四边形中，点M，N分别在，上，将沿翻折，得，若，，则（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
11．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
12．（2022秋·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的一半的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线分别交、于点D、E．若cm，的周长为26cm，那么的周长为（ ）
A．32cm B．38cm C．44cm D．50cm
13．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，AB＝AC，∠B＝30°，AC的垂直平分线MN交BC于点D，则∠DAC＝（ ）
A．30° B．40° C．60° D．120°
14．（2022秋·黑龙江鸡西·八年级期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长为（ ）
A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm
15．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，的周长为26，的周长为16，则的长为（ ）．
A．10 B．8 C．6 D．5
16．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，，，则的周长为（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
二、填空题
17．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，由△ABC经过怎样的变换得到△DEC．答： ．
18．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中，，，的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：①；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：
19．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）在中，把沿着折叠后，点C落到点E处，若，且，则 ．
20．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，把长方形沿折叠后，使落在处，若，则的度数为 ．
21．（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在中，，，垂直平分，垂足为Q，交于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线．若与的夹角为，则 °．
22．（2022秋·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图，在中，，，观察尺规作图的痕迹，则的度数为 ．
23．（2022秋·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）如图，，，点在的垂直平分线上，若，，则的长为 ．
24．（2022秋·黑龙江鸡西·八年级统考期末）如图，在△ABC 中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．若点P为直线 MN上一点，则△PBC周长的最小值是
25．（2022秋·黑龙江绥化·八年级校考期末）如图，在中，AC的重直平分线交BC于点D，重足点E，的周长为10cm，．则的周长为 ．
26．（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线交BC于点E,G,若∠B+∠C=70°,则∠EAG= .
27．（2022秋·黑龙江鸡西·八年级校考期末）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=20，则△PMN的周长为 ．
三、解答题
28．（2022秋·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G，求证：
（1）BF＝CG；
（2）AB+AC＝2AG．
29．（2022春·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 已知AD=2cm，BC=5cm.
（1）求证：FC=AD；
（2）求AB的长.
参考答案：
1．C
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．A
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．B
【分析】根据轴对称图形的定义分析判断即可，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
【详解】解：第一个是轴对称图形，有2条对称轴；
第二个是轴对称图形，有2条对称轴；
第三个是轴对称图形，有2条对称轴；
第四个是轴对称图形，有3条对称轴；
∴对称轴的条数为2的图形的个数是3，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握其定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
4．D
【分析】连接，利用轴对称的性质解答即可．
【详解】解：连接，
点分别以、为对称轴，画出对称点、，
，，
，，
，
，
故选D．
【点睛】本题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．
5．C
【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠ACB的度数，再根据轴对称的性质得到：∠BCD=2∠BCA．
【详解】解：∵∠BAC=75°，∠B=40°，
∴∠ACB=65°，
∵四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，
∴∠BCD=2∠BCA=2×65°=130°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称的性质以及三角形的内角和定理，利用轴对称的性质是解决问题的关键．
6．B
【分析】连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，然后求出∠GOH＝2∠MON，代入数据计算即可得解.
【详解】如图，连接OP，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，∴∠GOH＝∠GOM＋∠MOP＋∠PON＋∠NOH＝2∠MON，∵∠MON＝35°，∴∠GOH＝2×35°＝70°，故答案选B.
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解本题的要点在于熟记性质并确定出相等的角.
7．B
【分析】利用轴对称画图可得答案.
【详解】解：如图所示，
球最后落入的球袋是2号袋，
故选：B.
【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形.
8．B
【分析】通过三角形全等证得三个角相等，再通过直角三角形两锐角互余求得三个角都是30°
【详解】∵该图为折叠图形
∴△ECB≌△EDB
∴∠EBC=∠EBD，∠EDB=∠C=90°，
又D为AB中点
∴AD=BD
在△ADE和△BDE中
∴ △ADE≌△BDE
∴∠EAD=∠EBD
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
即∠A+∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠A==30°
故选B．
【点睛】本题考查折叠问题、全等三角形判定与性质、三角形内角和，掌握这些是本题关键．
9．B
【分析】首先根据折叠可得AD=BD，再由△ADC的周长为15cm可得AD+DC+AC=15cm，进而求得AD+DC,然后再利用等量代换求得BC的长即可．
【详解】解：根据折叠可得：AD=BD，
∵△ADC的周长为15cm，
∴AD+DC+AC=15cm
∵AC=4cm，
∴AD+DC=15-4=11（cm），
∴BC=BD+CD= AD+DC=11cm．
故选B．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，掌握折叠前后图形的形状和大小不变是解答本题的关键．
10．C
【分析】根据平行线性质求出和，根据旋转得出全等，根据全等三角形性质得出，，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，，
∵沿翻折，得，
∴，
∴，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形性质，翻折变换，三角形内角和定理的应用，关键是求出和的度数．
11．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA＝∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝50°，
∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝100°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．B
【分析】根据作图方法可知，是的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可．
【详解】解：由题意得：是的垂直平分线，
∴，，
∵的周长为26cm，
即，
∴，
∴的周长；
故选B．
【点睛】本题考查中垂线的性质．通过作图方法得到是的垂直平分线是解题的关键．
13．A
【分析】根据等腰三角形性质求出∠C，根据线段垂直平分线性质得CD=AD，推出∠DAC＝∠C，即可求出答案．
【详解】∵AB=AC
∴∠C＝∠B＝30°
∵MN垂直平分AC
∴CD=AD
∴∠DAC＝∠C＝30°
故选A
【点睛】本题考查了等腰三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
14．D
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质得到，，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
【详解】∵DE是AC的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，即，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解题关键．
15．D
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得即可得到结论．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E，
∴AD=CD，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+BC=16，
∵△ABC的周长=AC+BC+AB=26，
∴AC=△ABC的周长-△ACE的周长=26-16=10，
∴，
故答案为：D．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
16．B
【分析】由垂直平分线的性质可得，由的周长得到答案．
【详解】解：由作图的过程可知，是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴的周长．
故选：B．
【点睛】此题考查了尺规作图－线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
17．轴对称（或翻折变换）
【分析】根据网格结构和几何变换的特点解答．
【详解】解：如图，△ABC沿虚线翻折变换得到△DEC．
故答案为：轴对称（或翻折变换）．
【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握网格结构和几何变换的特点是解题的关键．
18．①
【分析】根据题意先求出∠BAO=25°，进而求出∠OBC=40°，求出∠COE=∠OCB=40°，最后根据等腰三角形的性质即可得出，进而再判断②③即可．
【详解】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠BAC=×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF=∠CEO=50°，①正确；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°, ②错误；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°,即D、O、C三点不共线，③错误.
故答案为：①．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和180°以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析判断．
19．
【分析】根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，根据平角的定义可得，由此可以求出的度数即可得到答案．
【详解】解：，，
，
由折叠的性质得，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键．
20．110°/110度
【分析】根据折叠的性质可得∠BFE=∠NFE，再由AD∥BC，可得∠AEF=∠CFE，然后根据，可得，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠BFE=∠NFE，AD∥BC，
∴∠AEF=∠CFE，
∵，
∴，
∴∠AEF=∠CFE=∠1+∠EFN=110°．
故答案为：110°
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键．
21．55°．
【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC=70°，由角平分线的定义得∠2=35°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠1+∠2=90°，从而可得∠1=55°，最后根据对顶角相等求出．
【详解】如图，
∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，
，
，
，
∵是的平分线，
，
是的垂直平分线，
是直角三角形，
，
，
∵∠α与∠1是对顶角，
．
故答案为：55°．
【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．
22．/110度
【分析】由作图可知， 是线段的垂直平分线， 是的角平分线，求出 ，再利用三角内角和定理即可求解．
【详解】解： 是线段的垂直平分线， ，
是的角平分线，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角内角和等知识，熟悉掌握有关知识是解题关键．
23．11
【分析】由，知，点在的垂直平分线上，由垂直平分线的性质得，即可得到结论．
【详解】解：，，
；
又点在的垂直平分线上，
，
；
，
，
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
24．14cm
【分析】连接，由是的垂直平分线，得，，则的周长，从而的最小值为，即可得出答案．
【详解】解：连接，
是的垂直平分线，
，，
的周长，
点P、A、C三点在一条直线上时，的最小，最小值为，
周长的最小值为，此时点P与点M重合，
的周长是，
，
周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，轴对称最短路线问题等知识，将周长的最小值转化为是解题的关键．
25．14cm
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，再根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【详解】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=10+4=14cm．
故答案为：14cm．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键．
26．40°
【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=BE，AG=CG，根据等边对等角可得∠EAB=∠B，∠CAG=∠C，又因为∠AEG为三角形ABE的外角，∠AGE是三角形AGC的外角，可得∠AEG=2∠B，∠AGE=2∠C，再根据三角形AEG的内角和可得，带入已知∠B+∠C=70°，即可得出答案.
【详解】解：∵DE垂直平分线段AB，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠B，
∵FG垂直平分线段AC，
∴AG=CG，
∴∠CAG=∠C，
∵∠AEG为三角形ABE的外角，
∴∠AEG=∠EAB+∠B=2∠B；
∵∠AGE是三角形AGC的外角，
∴∠AGE=∠CAG+∠C=2∠C；
在△AEG中，,
∵∠B+∠C=70°,
∴；
故答案为40°.
【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的应用. 在做题时应注意，在求三角形的角度时，多用三角形的内角和以及外角的关系，所以做题时多向这个方面去考虑.
27．20
【分析】根据垂直平分线性质定理，得到，，即可得到△PMN的周长.
【详解】解：根据题意，OA垂直平分，OB垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴△PMN的周长为：20.
【点睛】本题考查了垂直平分线性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线性质.
28．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接EB、EC，利用已知条件证明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF＝CG；
（2）根据（1）中的条件证得Rt△AFE≌Rt△AGE，根据全等三角形的性质得到AG＝AF，于是得到结论．
【详解】（1）证明：连接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D为BC中点，
∴BE＝EC，
∵EF⊥AB，EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE＝EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），
∴BF＝CG；
（2）在Rt△AFE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△AGE，
∴AG＝AF，
∴AB+AC＝AB+AG+CG＝AB+AG+BF＝AG+AF＝2AG．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练正确全等三角形的判定定理是解题的关键．
29．（1）证明见解析 ；（2）AB=7cm.
【详解】试题分析：（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．
（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可．
试题解析：（1）∵AD∥BC
∴∠ADC=∠ECF ，
∵E是CD的中点，
∴DE=EC ，
∵在△ADE与△FCE中， ，
∴△ADE≌△FCE(ASA) ，
∴FC=AD ；
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF ，
∵BE⊥AE ，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF ，
∴AB=BC+AD=5+2=7(cm).13.2 画轴对称图形
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）下列图形：
其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
2．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）下列四个图形分别是矩形、等腰三角形，菱形，等腰梯形，它们全部是轴对称图形．其中有两条对称轴的图形有（ ）
A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，由4个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形(不包含△ABC本身)共有( )
A．1个 B．3个 C．2个 D．4个
4．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是（ ）
A．30° B．15° C．20° D．35°
二、填空题
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）在“等边三角形、长方形、正方形、圆”这四个图形中，对称轴条数最多的是 ．
6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应该是 ．
7．（2022秋·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有 种选择．
8．（2022秋·黑龙江鸡西·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（m，n），则经过第2021次变换后所得的A点坐标是 ．
三、解答题
9．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1
(2)写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）A1________ ；B1________；C1________
(3)求△ABC的面积．
10．（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出点C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
11．（2022秋·黑龙江鹤岗·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点△A1，B1，C1的坐标（直接写答案）：A1 ；B1 ；C1 ；
（3）△A1B1C1的面积为 ；
（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
12．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）将△ABC向下平移四个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；（点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1）；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2（点A1、B1、C1的对称点分别是点A2、B2、C2）．
13．（2022秋·黑龙江绥化·八年级校考期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请画出点P的位置．
14．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在的网格中，每一个小格都是边长为1的正方形．
(1)画出关于的轴对称图形，使点的对称点为点，连接；
(2)直接写出的面积为________．
15．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立如图所示的平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，且坐标分别为：A（3，3）、B（－1，1）、C（4，1）．依据所给信息，解决下列问题：
（1）请你画出将向右平移3个单位后得到对应的；
（2）再请你画出将沿x轴翻折后得到的；
（3）若连接、，请你直接写出四边形的面积．
16．（2022秋·黑龙江七台河·八年级统考期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，标注原点以及x轴、y轴；
（2）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点B′的坐标；
（3）点P是x轴上的动点，在图中找出使△A′BP周长最小时的点P，直接写出点P的坐标是： ．
17．（2022秋·黑龙江鸡西·八年级期末）如图，已知网格上最小的正方形的边长为1．
（1）分别写出A，B，C三点的坐标；
（2）作△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′（不写作法），想一想：关于y轴对称的两个点之间有什么关系？
（3）求△ABC的面积．
18．（2022秋·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)将向右平移4个单位长度后，得到，请画出；
(2)作关于x轴对称的；
(3)连接，，，得到，求出的面积．
19．（2022春·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；
(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；
(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
20．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)的面积为___________ ；
(2)在图中作出关于轴的对称图形；
(3)写出点的坐标：（_____，___）， （______，____），（_____，_______）
21．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校联考期末）点A(－1，4)和点B(－5，1)在平面直角坐标系中的位置如图所示，并且AB＝5；
(1)点D、C分别为点A、B关于y轴的对称点，请写出点D、C的坐标并画出四边形ABCD；
(2)在（1）的条件下，画一条过四边形ABCD的一个顶点的线段，将四边形ABCD分成两个图形，并且使分得图形中的一个是轴对称图形；
(3)请直接写出你分成的轴对称图形的面积．
22．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，已知△ABC各顶点的坐标分别为A（－3，2），B（－4，－3），C（－1，－1），
（1）请你画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1的各点坐标；
（2）在y轴上找一点P,使△APC的周长最短．
参考答案：
1．A
【分析】根据题意首先将各图形的对称轴画出，在数对称轴的条数即可.
【详解】1有两条对称轴；2有两条对称轴；3有四条对称轴；4不是对称图形
故选A.
【点睛】本题主要考查图形的对称轴，关键在于对称轴的概念的掌握.
2．B
【分析】根据轴对称图形的定义找出对称轴，即可得出结果．
【详解】解：矩形有两条对称轴，等腰三角形有一条对称轴，菱形有两条对称轴，等腰梯形有一条对称轴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查轴对称图形的定义及对称轴的作法，理解轴对称图形的定义是解题关键．
3．B
【分析】由题意可得两个中点及这两个中点所对的大正方形的顶点所组成的图形都满足条件．
【详解】由图可得两个中点及这两个中点所对的大正方形的顶点所组成的图形都满足条件．
如图所示，符合题意的有3个三角形．
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键．
4．A
【分析】由于点C关于直线MN的对称点是B，所以当三点在同一直线上时，的值最小．
【详解】由题意知，当B. P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值，
连接BD交MN于P，
∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴PA=PC，
∴
【点睛】考查轴对称-最短路线问题，找出点C关于直线MN的对称点是B，根据两点之间，线段最短求解即可.
5．圆
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：等边三角形有三条对称轴，长方形有两条对称轴，正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴，
所以对称轴条数最多的图形是圆．
故答案为：圆．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
6．21：05
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】由图分析可得题中所给的“20：15”与“21：05”成轴对称，这时的时间应是21：05．
故填：21：05．
【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
7．3
【分析】利用轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．即可得出符合题意的答案．
【详解】解：如图所示：灰色正方形位置都能使此图形是轴对称图形，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是正确把握轴对称图形的定义．
8．（m，－n）
【分析】根据轴对称图形的坐标特点分别求出前四次变换后的A点坐标，找到规律求解即可．
【详解】解：第一次变换后A点坐标是（m，－n），第二次变换后A点坐标是（－m，－n），第三次变换后A点坐标是（－m，n），第四次变换后A点坐标是（m，n），
每四次变换一个循环，
∵2021=4×505+1，
∴经过第2021次变换后所得的A点坐标是（m，－n），
故答案为：（m，－n）．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的轴对称变换规律，利用点关于坐标轴对称的点的特点找出规律是解题关键．
9．(1)见解析
(2)（1，-2），（3，-1），（-2，1）
(3)
【分析】（1）分别确定关于轴的对称点 再顺次连接即可；
（2）根据点在坐标系内的位置，直接写出其坐标即可；
（3）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可．
【详解】（1）解：∵A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．分别确定A、B、C 关于 x轴的对称点A（1，-2）、B（3，-1）、C（-2，1），顺次连结即可，
如图，是所求作的三角形，
（2）解：根据点在坐标系内的位置可得：
故答案为：（1，-2），（3，-1），（-2，1）
（3）解：
【点睛】本题考查的是坐标与图形，轴对称的作图，图形面积的计算，掌握“画关于轴对称的图形”是解本题的关键．
10．（1）见解析；（2）（4，3）；（3）；
【分析】（1）从三角形的三边向y轴引垂线，并延长相同的距离找到三点的对称点，顺次连接．
（2）从图形中找出点C1，并写出它的坐标．
（3） 根据三角形的面积公式求出△ABC的面积．
【详解】（1）△A1B1C1如图所示．
（2）点C1的坐标为(4，3)．
（3）S△ABC＝3×5－×3×2－×3×1－×2×5＝．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的作法，注意画轴对称图形找关键点的对称点然后顺次连接是关键．
11．（1）见解析；（2）（3，2）；（4，﹣3）；（1，﹣1）；（3）6.5；（4）见解析
【分析】（1）根据关于y轴对称点的性质得出各对应点位置进而得出答案；
（2）利用（1）中所作图形，进而得出各点坐标；
（3）利用△ABC所在矩形面积减去△ABC周围三角形面积进而求出即可；
（4）利用轴对称求最短路径的方法得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）由（1）中所作图形，得
A1 (3，2)；B1 (4，﹣3)；C1 (1，﹣1)；
（3）△A1B1C1的面积为：3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3＝6.5；
（4）如图所示：如图，连接B1C与y轴的交点为P， P点即为所求．
【点睛】本题考查了轴对称变换以及三角形面积求法等知识，正确利用轴对称图形的性质得出是解题关键．
12．（1）图见解析；（2）图见解析．
【分析】（1）先根据平移分别画出点，再顺次连接即可得；
（2）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接即可得．
【详解】解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求．
【点睛】本题考查了平移作图、画轴对称图形，熟练掌握平移和轴对称的作图方法是解题关键．
13．（1）见解析，A1（1，﹣1）、B1（4，﹣2）、C1（3，﹣4）；（2）见解析．
【分析】（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到△A1B1C1，根据轴对称性质得到A1、B1、C1的坐标即可；
（2）因为A′与A点是关于y轴对称的点，连结A′B，交与y轴于点P，此时PA+PB的值最小．
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，
∵A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
又∵△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1，
关于x轴对称，对称点的坐标规律是横坐标不变，纵坐标变为它的相反数，
∴A1的坐标为（1，﹣1）、B1的坐标为（4，﹣2）、C1的坐标为（3，﹣4）；
（2）因为A′与A点是关于y轴对称的点，连结A′B，交与y轴于点P，
∵A′、P、B三点在一直线上，利用两点之间线段最短A′B=A′P+PB=AP+PB，
∴PA+PB的值最小．
如图所示，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图——轴对称变换，轴对称——最短路径问题．凡是涉及最短距离问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称的变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
14．(1)见解析
(2)6
【分析】（1）先确定点D的坐标，然后连接即可；
（2）根据图形得出结合网格即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，与关于成轴对称，点D即为所求；
（2），
故答案为：6．
【点睛】题目主要考查作轴对称图形及求三角形面积，熟练掌握轴对称图形的作法是解题关键．
15．（1）见解析；（2）见解析；（3）16
【分析】（1）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用关于x轴对称的点的坐标找出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）运用割补法求解即可
【详解】解：（1）如图，即为所作；
（2）如图，即为所作；
（3）四边形的面积==16
【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换和四边形面积求法，根据题意得出对应点位置是解题关键．
16．（1）详见解析；（2）图详见解析，B′的坐标（2，1）；（3）（﹣1，0）．
【分析】（1）根据A，C两点的坐标确定坐标系即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（3）作点B关于x轴的对称点B″，连接A′B″交x轴于p，点P即为所求．
【详解】解：（1）平面直角坐标系如图所示：
（2）如图△A′B′C′即为所求，由图可知，B′（2，1）．
（3）如图所示，点P（﹣1，0）即为所求点．
故答案为：（﹣1，0）．
【点睛】本题考查作图——轴对称变换，轴对称——最短路径问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．(1)A(－3，3)，B(－5，1)，C(－1，0)；(2)关于y轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相等(两点连线被y轴垂直平分)(3)5
【分析】（1）A、B、C的坐标可直接写出；
（2）关于y轴对称点的横坐标变成相反数；
（3）△ABC的面积可由矩形面积减去直角三角形的面积求得．
【详解】解：(1)A(－3，3)，B(－5，1)，C(－1，0)．
(2)如图所示：
关于y轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相等(两点连线被y轴垂直平分)．
(3)S△ABC＝3×4－×2×3－×2×2－×4×1＝5.
18．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)4
【分析】（1）根据平移的性质即可将 ABC向右平移4个单位长度后，得到△A1B1C1；
（2）根据轴对称的性质即可作△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；
（3）根据网格利用三角形的面积公式即可求出△AA1A2的面积．
【详解】（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求;
（3）△AA1 A2的面积==×4×2=4．
【点睛】本题考查作图-轴对称变换，作图-平移变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
19．(1)见解析，4；
(2)（ 4，3）；
(3)（10，0）或（－6，0）．
【分析】（1）根据点的坐标，描点、连线即可得到△ABC，直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（2）根据关于y轴对称的点的性质得出答案；
（3）根据三角形的面积求出BP＝8，进而可得点P的坐标．
【详解】（1）解：△ABC如图所示，△ABC的面积是：3×4 ×1×2 ×2×4 ×2×3＝4，
故答案为：4；
（2）解：∵点D与点C（4，3）关于y轴对称，
∴点D的坐标为：（ 4，3）；
故答案为：（ 4，3）；
（3）解：∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，
∴，
∴BP＝8，
∴点P的横坐标为：2＋8＝10或2 8＝－6，
故点P坐标为：（10，0）或（－6，0）．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形，网格中三角形面积求法以及关于y轴对称的点的性质，熟练掌握坐标与图形性质是解题关键．
20．(1)7.5
(2)见解析
(3)（1，5）， （1，0），（4，3）．
【分析】（1）利用三角形的面积公式求解即可；
（2）先做出A，B，C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可；
（3）根据点的位置直接写出坐标即可．
【详解】（1）解：S△ABC=．
（2）解：如图即为所求．
（3）解：（1，5）， （1，0），（4，3）．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、轴对称、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
21．(1)(1，4)，(5，1)，图见解析
(2)图见解析
(3)12
【分析】（1）根据轴对称图形的性质，即可写出点D、C的坐标，并画出四边形ABCD．
（2）根据轴对称图形的性质，即可画一条过四边形ABCD的一个顶点的线段，将四边形ABCD分成两个图形，并且使分得图形中的一个是轴对称图形．
（3）根据（2）中的轴对称图形是△ABE，算出△ABE的面积即可．
【详解】（1）D(1，4)，C(5，1)，见图形；
（2）见图形，线段AE即为所求线段（答案不唯一）；
（3）轴对称图形是△ABE，所以△ABE的面积为：．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，轴对称图形的性质，三角形的面积．熟练掌握平面直角坐标系的相关知识点是解本题的关键．
22．答案见详解.
【分析】（1）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接，并写出△A1B1C1的各顶点坐标即可．
（2）使△APC的周长最短，即使AP+CP最短，即找出A点与对称点的连线，交y轴的点就是P点.
【详解】
解：△A1B1C1如图所示．
由图可知，A1（3，2），B1（4，-3），C1（1，-1）．
（2）
如图示，A点的对应点是A1，连接A1，C，交y轴的点为P，
因为是一条线段，两点之间的连线，线段最短，
并且
所以点P使△APC的周长最短.
【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是确定组成图形的关键点的对称点位置．13.3.1 等腰三角形
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（ ）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm
2．（2022秋·黑龙江七台河·八年级统考期末）若等腰三角形的周长为，一边为，则腰长为（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，E、D分别为AB、AC上的点，连接BD，DE，若AD＝DE＝BE，∠C＝70°，则∠BDC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
4．（2022春·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
5．（2022秋·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）一个等腰三角形的两边长分别为，，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A． B．或 C． D．无法确定
6．（2022秋·黑龙江鸡西·八年级期末）等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是（ ）
A．50° B．50°或65° C．80°或50° D．65°
7．（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图所示，△ABC与△ADE顶点A重合，点D，E分别在边BC，AC上，且AB＝AC，AD＝DE，∠B＝∠ADE＝40°，则∠EDC的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50
8．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）习题课上，张老师和同学们一起探究一个问题：“如图，在中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：① ② ③ ④．若在上述四个条件中，选择两个作为已知条件，哪种组合能判定是等腰三角形？”你认为正确的组合方法有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．6种
9．（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）若a，b为等腰△ABC的两边，且满足|a﹣4|+＝0，则△ABC的周长为（ ）
A．8 B．10 C．8或12 D．8或10
10．（2022秋·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）如图，D是内部的一点，，．下列结论：①；②；③；④平分．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
11．（2022秋·黑龙江七台河·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（ ）
A．7.5° B．10° C．15° D．18°
二、填空题
12．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的大小为 ．
13．（2022秋·黑龙江鸡西·八年级期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为
14．（2022秋·黑龙江绥化·八年级校考期末）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是 ．
15．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，在第一象限内的点C，使是以为腰的等腰直角三角形，则点C的坐标为 ．
16．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知等腰三角形两腰上的高或其所在直线相交所成的锐角是50°，则这个三角形的顶角的度数为 ．
17．（2022秋·黑龙江鹤岗·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且CD=AD ，AB=BD，则∠B的度数为 ．
18．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，中，，，则的度数为 °．
19．（2022秋·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E 按此做法继续下去，则第2022个三角形中，以A2022为顶点的底角的度数是 ．
三、解答题
20．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
21．（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在中，于点D，是的外角的平分线．
(1)求证：．
(2)若平分交于点N，判断的形状并说明理由．
22．（2022秋·黑龙江七台河·八年级统考期末）如图，D为的边的延长线上一点，过D作，垂足为F，交于E，且．求证：是等腰三角形．
23．（2022秋·黑龙江鸡西·八年级期末）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系．小明发现，在BC上截取CA′＝CA，连接DA′，从而将问题解决（如图2）．
(1)求证：△ADC≌△A′DC；
(2)试猜想写出BC和AC、AD之间的数量关系，并给出证明．
24．（2022秋·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图，在中，，，求的度数．
25．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）在中，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点D在BC上，点E在AB上，连接AD和DE，．求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作于点H，交AC于点F，作于点E，交AC于点K，连接HK，若，的面积为，求DE的长．
26．（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE．
（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD；
（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE， CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE， CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系．
27．（2022秋·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以A为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形ABC，设点C的坐标为．
(1)动点A在运动过程中，求的值；
(2)当时，求出点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，，在x轴上是否存在一点P，使是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
【详解】解：当长是3cm的边是底边时，
三边为3cm，5cm，5cm，
等腰三角形成立；
当长是3cm的边是腰时，
底边长是：13－3－3＝7cm，
而3＋3＜7，不满足三角形的三边关系．
故底边长是：3cm．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．
2．C
【分析】根据等腰三角形的性质和周长，分情况讨论：①当11cm为等腰三角形的一条腰，则底边为4cm，又因为，，所以能构成三角形，即可得；②当11cm为等腰三角形的底边，则腰长为：（cm），又因为，，所以能构成三角形，即可得．
【详解】解：①当11cm为等腰三角形的一条腰，则底边为（cm），
∵，，
∴能构成三角形；
②当11cm为等腰三角形的底边，则腰长为：（cm），
∵，，
∴能构成三角形，
综上，等腰三角形的腰长为11cm或7.5cm，
故选C．
3．B
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=70°，利用三角形内角和定理求出∠A=40°，设
∠EBD=x°，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质得出∠BDE=∠EBD=x°，
∠AED=∠A=2x°=40°，求出x=20，进而得到∠BDC的度数．
【详解】∵，，
∴，
∴，
设，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，设
∠EBD=x°，得到∠A=2x°=40°是解题的关键．
4．A
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可得，，再根据等腰三角形的判定可得，，故①正确；由在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形的内角和定理，即可求得②正确；由角平分线的性质得出点到各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得，故④错误．
【详解】解：∵在中，和的平分线相交于点，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，则结论①正确；
∵在中，和的平分线相交于点，
∴，，，
∴，
∴，则结论②正确；
如图，过点作于，作于，连接，
∵在中，和的平分线相交于点，，
∴，
即点到各边的距离相等，则结论③正确；
，，
∴，则结论④错误；
综上，正确的结论是①②③，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
5．C
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：若为腰长，为底边长，
由于，则三角形不存在；
若为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为．
故选: C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
6．B
【分析】分这个角为底角和顶角两种情况讨论即可．
【详解】解：当底角为50°时，则底角为50°，
当顶角为50°时，底角为：，
所以底角为50°或65°．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形内角和定理是解题的关键，注意分情况讨论．
7．B
【分析】由AD＝DE，以及∠ADE＝40°求得∠DEA＝70°，由AB＝AC，∠B＝40°求得∠C＝∠B＝40°，进而根据三角形的外角性质即可求得∠EDC＝30°
【详解】解：∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，∠ADE＝40°
∴∠DEA＝70°，
∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵∠DEA=∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝∠DEA-∠C＝30°．
故选：B．
【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理与三角形的外角性质，求得∠DEA＝70°是解题的关键．
8．C
【分析】第1种：可选①②，根据，可得∠OBC=∠OCB，从而得到∠ABC=∠ACB，进而得到△ABC是等腰三角形；第2种，可选①③，根据，可得∠OBC=∠OCB，从而得到△BCE≌△CBD，进而得到∠ABC=∠ACB，可得到△ABC是等腰三角形；第3种，可选②④，可证得△BOE≌△COD，从而得到OB=OC，进而得到∠ABC=∠ACB，可得到△ABC是等腰三角形；第4种，可选③④，可证得△BOE≌△COD，从而得到OB=OC，∠OBE=∠OCD，进而得到∠ABC=∠ACB，可得到△ABC是等腰三角形，即可求解．
【详解】解：第1种：可选①②，理由如下：
∵，
∴∠OBC=∠OCB，
∵，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
第2种，可选①③，理由如下：
∵，
∴∠OBC=∠OCB，
∵，BC=CB，
∴△BCE≌△CBD，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
第3种，可选②④，理由如下：
∵， ∠BOE=∠COD，，
∴△BOE≌△COD，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
第4种，可选③④，理由如下：
∵，∠BOE=∠COD，，
∴△BOE≌△COD，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCD，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∴有4种正确的组合方法．
故选：C
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
9．B
【分析】根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据b是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【详解】解：根据题意，a-4=0，b-2=0，
解得a=4，b=2，
（1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、4，
不能组成三角形；
（2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、4、4，
能组成三角形，
周长为2+4+4=10．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程式正确解答本题的关键．
10．C
【分析】根据等腰三角形的性质和判定定理以及线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
即，
∴，故②错误；
∵，，
∴垂直平分，故③正确；
∴平分，故④正确；
故选C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质和判断，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
11．C
【分析】根据等腰三角形性质求出∠C＝∠B，根据三角形的外角性质求出∠B＝∠C＝∠AED+α﹣30°，根据∠AED＝∠ADE＝∠C+α，得出等式∠AED＝∠AED+α﹣30°+α，求出即可．
【详解】解：∵AC＝AB，
∴∠B＝∠C，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠B+30°＝∠AED+α，
∴∠B＝∠C＝∠AED+α﹣30°，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝∠C+α，
即∠AED＝∠AED+α﹣30°+α，
∴2α＝30°，
∴α＝15°，
∠DEC＝α＝15°，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，本题有一点难度，但题型不错．
12．30°/30度
【分析】先由等边对等角得到，再根据三角形的内角和进行求解即可．
【详解】，
，
，，
，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
13．60°或120°
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
【详解】解：当高在三角形内部时（如图1），
∵，
∴，即顶角是60°；
当高在三角形外部时（如图2），
∵，
∴，
∴，即顶角是120°．
故答案为：60或120．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出60°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
14．144°．
【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C＝＝108°，BC＝DC，
∴∠BDC＝＝36°，
∴∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144°．
【点睛】本题考查了正五边形的性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质和邻补角的定义，求出正五边形的内角是解题关键．
15．（7，2）或（5，7）
【分析】分别从当∠ABC=90°，AB=BC时，当∠BAC=90°，AB=AC时去分析求解，利用全等三角形的判定与性质，即可求得点C的坐标．
【详解】如图①，
当∠ABC=90°，AB=BC时，
过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠CDB=∠AOB=90°，
∵∠OAB+∠ABO=90°，∠ABO+∠CBD=90°，
∴∠OAB=∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD=OA=5，CD=OB=2，
∴OD=OB+BD=7，
∴点C的坐标为（7，2）；
如图②，
当∠BAC=90°，AB=AC时，
过点C作CD⊥y轴于点D，
同理可证得：△OAB≌△DCA，
∴AD=OB=2，CD=OA=5，
∴OA=OA+AD=7，
∴点C的坐标为（5，7）；
综上所述点，点C的坐标为（7，2）或（5，7）．
【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
16．或
【分析】分①这个等腰三角形的顶角是锐角，②这个等腰三角形的顶角是钝角两种情况，再根据直角三角形的两锐角互余、三角形的外角性质进行求解即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①如图，等腰的顶角是锐角，是两腰上的高，
，
，
；
②如图，等腰的顶角是钝角，是两腰上的高，
，
，
；
综上，这个三角形的顶角的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形、直角三角形的两锐角互余、三角形的外角性质，正确分两种情况讨论是解题关键．
17．36°
【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【详解】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，
故答案为：36°．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
18．38
【分析】利用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴，
∵，
∴，
故答案为：38．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，属于中考常考题型．
19．
【分析】根据等腰三角形的性质，由∠B=30°，A1B=CB，得∠BA1C=∠C，30°+∠BA1C+∠C=180°，那么∠BA1C=×150°=75°．由A1A2=A1D，得∠DA2A1=∠A1DA2．根据三角形外角的性质，由∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1，得∠DA2A1=∠BA1C=××150°．以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题．
【详解】解：∵∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C=∠C，30°+∠BA1C+∠C=180°．
∴2∠BA1C=150°．
∴∠BA1C=×150°=75°．
∵A1A2=A1D，
∴∠DA2A1=∠A1DA2．
∴∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1．
∴∠DA2A1=∠BA1C=××150°．
同理可得：∠EA3A2=∠DA2A1=××150°．
…，
以此类推，以An为顶点的内角度数是∠An=（）n×150°=（）n-1×75°．
∴以A2022为顶点的内角度数是（）2021×75°=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．
20．（1）见解析；（2）见解析．
【详解】解：（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
∴△AEC≌△CGB，
∴AE=CG，
（2）BE=CM，
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
又∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中，
∴△BCE≌△CAM，
∴BE=CM．
21．(1)见解析
(2)等腰直角三角形，见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可；
（2）利用平分线的定义和平行线的性质进行解答即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵
∴
∴
∴．
（2）是等腰直角三角形，
理由是：∵，
∴，
∵平分，
∴．
∴，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定与性质解答．
22．见解析
【分析】首先依据等腰三角形的性质得到∠BDE=∠BED，然后结合对顶角的性质可得到∠BDE=∠CEF，接下来，依据直角三角形两锐角互余、等角的补角相等等知识可得到∠A=∠C，最后，再依据等边对等角的性质进行判断即可．
【详解】解：证明：∵BD=BE，
∴∠BDE=∠BED
又∵∠BED=∠CEF，
∴∠BDE=∠CEF
又∵DF⊥AC，
∴∠A+∠BDF=90°，∠C+∠CEF=90°，
∴∠A=∠C，
∴AB=BC（等角对等边），
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
23．(1)见详解；
(2)BC= AC+AD，证明见详解．
【分析】（1）在BC上截取CA′＝CA，连接DA′，根据CD平分∠ACB，得出∠ACD=∠BCD，利用SAS判定定理可证△ADC≌△A′DC（SAS）；
（2）利用直角三角形两锐角互余求出∠B=90°-∠A=90°-60°=30°，根据（1）三角形全等△ADC≌△A′DC，得出∠A=∠CA′D=60°，AD=A′D，再证A′D=A′B即可．
【详解】（1）证明：在BC上截取CA′＝CA，连接DA′，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
在△ACD和△A′DC中，
，
∴△ADC≌△A′DC（SAS）；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=60°，
∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°，
∵△ADC≌△A′DC，
∴∠A=∠CA′D=60°，AD=A′D，
∵∠CA′D是△A′DB的外角，
∴∠A′DB=∠CA′D-∠B=60°-30°=30°，
∴∠A′DB=∠B=30°，
∴A′D=A′B，
∴AD=A′B，
∴BC=A′C+A′B=AC+AD．
【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，角平分线定义，直角三角形两锐角互余，等腰三角形判定，线段和差，掌握三角形全等判定与性质，角平分线定义，直角三角形两锐角互余，等腰三角形判定，线段和差是解题关键．
24．25°
【分析】先根据得到，，再由是的外角求得与的关系，即可求出．
【详解】解：∵，，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，熟练掌握等边对等角以及三角形的外角性质将已知角和所求角进行转换是解题关键．
25．（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）6．
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，证明即可．
（2）如图2中，过点作交于．想办法证明即可．
（3）如图3中，过点作交的延长线于．设．证明，推出，利用三角形的面积，构建方程求出即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
，，
，
，
．
（2）证明：如图2中，过点作交于．
，
，，
，，
，
，
，
．
（3）解：如图3中，过点作交的延长线于．设．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
或（舍弃），
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积，直角三角形30度角的性质等知识，能够添加平行线解决问题，利用参数构建方程解决问题是解题的关键．
26．（1）见解析；（2） 结论BC=CE+CD不成立，猜想BC=CE-CD，理由见解析；（3） ；，理由见解析
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=CE，即可证得BC=BD+CD=CE+CD成立；
（2）同样证明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=CE，即可证得成立，故BC=CE+CD不成立；
（3）补全图形，同样证明△BAD≌△CAE（SAS），利用全等三角形的性质即可作出结论： ；．
【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AB=AC，AD=AE，
∴
∴
∴ △BAD≌△CAE（SAS）
∴BD=CE
∴BC=BD+CD=CE+CD
（2）结论BC=CE+CD不成立，猜想BC=CE-CD，理由如下：
又∵AB=AC，AD=AE
（3） ；；理由如下：
补全图形如图3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
由（1）同理可得，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ACE=∠ABD=135°，
∴BC=CD-BD=CD-CE，∠BCE=90°，
即，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解答的关键．
27．(1)1
(2)
(3)存在．点P的坐标分别为，，
【分析】（1）过点C作轴于点E，证明，得出，，根据，，得出，点，即可得出答案；
（2）将当代入，即可得出答案；
（3）分两种情况进行讨论：，，分别求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点E，则，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴．
（2）解：根据解析（1）可知，点，
∴当时，．
（3）解：存在；当时，如图所示：
∵，，
∴，
∴P点坐标为：；
当时，如图所示：
点在B点的右边时，，
此时点P坐标为：；
点在B点的左边时，，
此时点P坐标为：；
综上分析可知，点P的坐标为：点P的坐标分别为，，．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，注意进行分类讨论．13.3.2 等边三角形
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的为（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②③④
2．（2022秋·黑龙江鸡西·八年级统考期末）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝3，则AB的长为（ ）
A．16 B．12 C．9 D．10
3．（2022秋·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图，在等边中，为中点，点，分别为，上的点，，，在上有一动点，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2022秋·黑龙江绥化·八年级校考期末）如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，D为AC边的中点，若BC=6，则BD的长为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
5．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在中，，于点E，交于点M且，以点C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接交于点G．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）下列说法一定正确的是（ ）
A．有两个角相等的三角形一定是等边三角形
B．有一个角是的等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线
D．如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形
7．（2022秋·黑龙江大庆·八年级统考期末）如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．含30°角的直角三角形
8．（2022秋·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线与BC交于点D，交AB于E，DB=10，则AC的长为（ ）
A．2.5 B．5 C．10 D．20
二、填空题
9．（2022秋·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则 °．
10．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点E在AC的延长线上，点D在线段AB上，连接ED交线段BC于点F，过点F作于点N，，，若，则AN的长为 ．
11．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在中，，，AD是的中线，AE是的角平分线，交AE的延长线于点F，则DF的长为 ．
12．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，已知中，，，，作AC的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第一条线段；作的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第二条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第三条线段；……，如此作下去，则第n条线段的长为 ．
13．（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是 ．
14．（2022秋·黑龙江鸡西·八年级期末）如图，，平分，于D，交于C，若，则 ．
15．（2022秋·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝ cm.
16．（2022秋·黑龙江鸡西·八年级统考期末）如图，△ABC，△DCE都是等边三角形，则①AE＝BD，②△ABD≌△BCD，③∠BAE＝∠ACE，④△BCD≌△ACE，⑤∠BDC＝∠AEC，以上正确的序号是
17．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）等腰的顶角为30°，腰长为8，则的面积为 ．
18．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在中，，，于D，于E，若，则的长为 ．
19．（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）下列命题：①关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形；②有一个外角为60°的等腰三角形是等边三角形；③关于某直线对称的两条线段平行；④正五边形有五条对称轴；⑤在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．其中正确的有 ．（填序号）
20．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）如图，已知∠BAC＝60°，在∠BAC的平分线上截取AD＝6cm，过点D作DF⊥AB于点F，在AC上有一点E，若，则AE的长为 ．
21．（2022秋·黑龙江鹤岗·八年级统考期末）如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为 ．
三、解答题
22．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，等边△ABC中，AB＝10cm，CD＝4cm．点M以3cm/s的速度运动．
(1)如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动、它们同时出发，若点N的速度与点M的速度相等；
①经过2s后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．
②当M，N两点的运动时间为多少秒时，△BMN恰好是一个直角三角形？
(2)若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M按原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25s时，点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是 cm/s．（请直接写出答案）
23．（2022秋·黑龙江鸡西·八年级期末）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．
①的度数为 °；
②线段之间的数量关系为 ．（直接写出答案，不需要说明理由）
24．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知，中，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，D是外一点连接、，且，作的平分线交于点E，若，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点F，若，，求的长．
25．（2022春·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图△ABC为等边三角形，直线aAB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．
(1)若D恰好在BC的中点上(如图1)
①求证CD=CE；
②求证：△ADE是等边三角形；
(2)若D为直线BC上任一点(如图2）其他条件不变，“△ADE是等边三角形”的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
26．（2022秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）已知∠MBN＝60°，等边△BEF与∠MBN顶点B重合，将等边△BEF绕顶点B顺时针旋转，边EF所在直线与∠MBN的BN边相交于点C，并在BM边上截取AB＝BC，连接AE．
(1)将等边△BEF旋转至如图①所示位置时，求证：CE＝BE+AE；
(2)将等边△BEF顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出AE，BE，CE之间的数量关系，不需要证明；
(3)在（1）和（2）的条件下，若BF＝4，AE＝1，则CE＝ ．
27．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）已知：如图，中，与的平分线交于点D，过点D的BC的平行线分别交AB于E，交BC于F．
（1）求证：；
（2）若，，，求的周长．
28．（2022春·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，如图，AD为三角形ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．
(1)求证：AD⊥EF
(2)若，写出DO与AD之间的数量关系，并证明．
参考答案：
1．A
【分析】①连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP，即可解题；
②根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；
③在AC上截取AE=PA，易证△OPA≌△CPE，可得AO=CE，即可解题；
④作CH⊥BP，可证△CDO≌△CHP和Rt△ABD≌Rt△ACH，根据全等三角形面积相等即可解题．
【详解】解：①连接OB，如图1，
∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，
∴AB=AC，BD=CD，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DBO=∠DCO，
∵∠ABC=∠ABO+∠DBO=30°，
∴∠APO+∠DCO=30°．故①正确；
②△OBP中，∠BOP=180°-∠OPB-∠OBP，
△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴∠POC=360°-∠BOP-∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB=∠OBP，∠OBC=∠OCB，
∴∠POC=2∠ABD=60°，
∵PO=OC，
∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③如图2，在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；故③正确；
④如图3，作CH⊥BP，
∵∠HCB=60°，∠PCO=60°，
∴∠PCH=∠OCD，
在△CDO和△CHP中，
，
∴△CDO≌△CHP（AAS），
∴S△OCD=S△CHP，
∴CH=CD，
∵CD=BD，
∴BD=CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），
∴S△ABD=S△AHC，
∵四边形OAPC面积=S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC=S△AOC+S△ABD+S△OCD，
∴四边形OAPC面积=S△ABC．故④正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
2．B
【分析】先根据等边三角形的性质得到，，，再根据含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长．
【详解】解：为等边三角形，平分，
，，，
，
，
在中，，
∴，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等边三角形的性质．
3．A
【分析】作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值．
【详解】解：是等边三角形，
，
，，，
，
如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，
此时的值最小．最小值，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为7．
故选：A．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
4．A
【分析】根据等腰三角形的性质三线合一可得直角三角形，再利用直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵BA=BC，∠ABC=120°，
∴∠C=∠A=30°，
∵D为AC边的中点，
∴BD⊥AC，
∵BC=6，
∴BD=BC=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形与直角三角形的性质是解题的关键．
5．A
【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得结合题意易证是等边三角形，根据等边三角形“三线合一”可得，最后在中利用等腰三角形的性质和三角形内角和可求解．
【详解】解：连接，
，，
，
由题意可知，
，
是等边三角形，
又，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；解题的关键是灵活运用等腰、等边三角形性质求解．
6．B
【分析】利用轴对称的性质，全等三角形的性质，等腰等边三角形的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、有两个角相等的三角形不一定是等边三角形，该选项不符合题意；
B、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，该选项符合题意；
C、等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线所在的直线，该选项不符合题意；
D、如果两个三角形全等，那么它们不一定是关于某条直线成轴对称的图形，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，等腰等边三角形的性质，关键是利用性质逐一判断．
7．A
【详解】∵这个三角形是轴对称图形 ，
∴一定有两个角相等，
∴这是一个等腰三角形.
∵有一个内角是60°，
∴这个三角形是等边三角形.
故选A.
8．B
【分析】根据线段的垂直平分线性质推出AD=BD，得出∠B=∠DAB=15°，求出∠ADC=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB=10，
∴∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=∠DAB+∠B=30°，又∠C=90°，
∴AC=AD=5．
故选：B．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．30
【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.
【详解】解：∵EF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠B=∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠AFC=60°，
∴∠B=∠BCF=30°.
故答案为：30.
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF.
10．22
【分析】作DG∥AC交BC于G，证明△DFG≌△EFC，设，则，根据求出的值和等边三角形的边长，进而可求AN的长．
【详解】解：作DG∥AC交BC于G，
∵是等边三角形，
∴，
∴∠DGB=∠ACB=60°，∠DGF=∠ECF，
∵∠DFG=∠EFC，，
∴△DFG≌△EFC，
∴，
∵∠DGB=∠ACB=60°，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
，
，
则，，
AN的长为27-5=22，
故答案为：22．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键是恰当作辅助线构建全等三角形，利用全等得出线段之间的关系求解．
11．4
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，从而可得到∠BAD=60°，∠ADB=90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE=∠EAB=30°，从而可推出AD=DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF的长．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
∵∠BAC=120°
∴∠BAD=60°，∠ADB=90°
∵AE是∠BAD的角平分线
∴∠DAE=∠EAB=30°
∵DFAB
∴∠F=∠BAE=30°
∴∠DAF=∠F=30°
∴AD=DF
∵AB=8，∠B=30°
∴AD=4
∴DF=4
故答案为：4．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD=DF是解此题的关键．
12．或
【分析】由题意依据垂直平分线性质和等边三角形性质以及60°直角三角形所对应的邻边是斜边的一半得出，，进而总结规律即可得出第n条线段的长.
【详解】解：∵，，，
∴，
∵垂直平分AC，
∴,
∴,
∴,
同理,
，
可得第n条线段的长为：或.
故答案为：或.
【点睛】本题考查图形规律，熟练掌握垂直平分线性质和等边三角形性质以及60°直角三角形所对应的邻边是斜边的一半是解题的关键.
13．5
【分析】如图，连接BD，OB，由折叠的性质可得EF是BD的对称轴，可得OB=OD，当点B，点O，点C共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5．
【详解】解：如图，连接BD，OB，
∵将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，
∴EF是BD的对称轴，
∴OB=OD，
∵AD=1，AC=3，
∴CD=2，
∵△OCD周长=CD+OD+OC=2+BO+OC，
∴当点B、O、C共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了翻折变换，考查了折叠的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
14．3
【分析】过P作于点E，根据角平分线的定义和平行线的性质得到，即可得出，根据角平分线的性质得出，求出，即可求出．
【详解】解：如图，过点P作于E，
∵，
平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
于D，
于E，
∴，
故答案为3．
【点睛】本题考查含角的直角三角形，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质．正确的作出辅助线是解题关键．
15．4
【分析】先证明△ABC是等边三角形，再证明AD是BC的垂直平分线，即可得出BE=BC=4cm．
【详解】解：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，A在BC的垂直平分线上，
∴BC=AB=8cm．
∵DB=DC，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=BC=4cm．
故答案为4．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质和线段的垂直平分线的性质定理的逆定理；证明AD是BC的垂直平分线是解题的关键．
16．①④⑤
【分析】由“”可证，可得，，即可求解．
【详解】解：，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，故④正确，
，，故①，⑤正确，
∵AB=CB，BD=BD，AD与CD不一定相等，故△ABD与△BCD不一定全等；故②错误，
∵，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BAE=∠BAC+∠ACE，
与不一定相等，故③错误．
故答案为：①④⑤．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明三角形全等是本题的关键．
17．16
【分析】过点B作BD⊥AC，利用30°所对的直角边是斜边的一半，可求出BD，然后求面积即可．
【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥AC，
∵∠A=30°，AB=AC=8，
∴BD=AB=，
∴S△ABC=BD·AC=16
故答案为：16．
【点睛】此题考查的是直角三角形的性质：30°所对的直角边是斜边的一半和面积的求法，掌握构造辅助线的方法是解决此题的关键．
18．9
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∵AE＝3，
∴AD＝2AE＝6，
∴AC＝2AD＝12，
∴CE＝AC AE＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
19．①④⑤
【分析】根据全等图形的性质，等边三角形的判定，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】①关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形，故①正确；
②有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形，故②错误；
③关于某直线对称的两条线段平行或相交，故③错误；
④五角星有五条对称轴，故④正确；
⑤在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半，故⑤正确．
故答案为：①④⑤．
【点睛】本题考查了全等图形的性质，等边三角形的判定，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
20．5cm
【分析】根据角平分线的定义求出∠CAD，根据含30°角的直角三角形的性质求出DM，再根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：过D作DM⊥AC于M，则∠AMD＝90°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AD＝6cm，
∴DM＝＝3（cm），
∵cm2，
∴（cm2），
∴AE＝5（cm），
故答案为：5cm．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积等知识点，能求出DM的长是解此题的关键．
21．等边三角形．
【分析】根据已知条件得出OA=OC=AC，根据等边三角形的判定得出即可．
【详解】解：∵以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，
∴OA＝OC，
∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，
∴AC＝AO，
∴OC＝AC＝OA，
∴△AOC的形状是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定，能熟记等边三角形的判定定理是解此题的关键．
22．(1)①△BMN和△CDM全等，理由见解析；②秒或秒；
(2)或
【分析】（1）①由题意求出CM＝BN ，BM＝CD，然后利用SAS可证明△BMN≌△CDM；
②分两种情形讨论解答：①当∠BNM＝90°时；②当∠BMN＝90°时，设两点的运动时为t秒，分别表示出BM，BN的长度，根据含30°角的直角三角形的性质列方程即可求出对应的时间；
（2）分两种情况解答：①当点N的速度小于点M的速度时；②当点N的速度大于点M的速度时，设点N速度为s厘米/秒，利用点M与点N第一次相遇时的路程的差列出方程即可求解．
【详解】（1）解：①△BMN和△CDM全等．
理由：∵点N的运动速度与点M的运动速度相等，点M以3厘米/秒的速度运动，
∴点N的速度是3厘米/秒，
∴经过2秒后，CM＝6厘米，BN＝6厘米，
∴CM＝BN，
∴BM＝BC CM＝10 6＝4（厘米），
∵DC＝4厘米，
∴BM＝CD，
∵在等边△ABC中，∠B＝∠C＝60°，
∴△BMN≌△CDM（SAS）；
②设两点的运动时间为t秒，则CM＝BN＝3t厘米，
∴BM＝BC CM＝（10 3t）厘米．
①当∠BNM＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BMN＝30°，
∴BN＝BM，
∴3t＝（10 3t），
解得：t＝；
②当∠BMN＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BNM＝30°，
∴BM＝BN，
∴10 3t＝×3t．
解得：t＝，
综上，当运动时间为秒或秒时，△BMN是一个直角三角形；
（2）设点N速度为s厘米/秒，则点N25秒运动的距离为25s厘米，
①当点N的速度小于点M的速度时，
由题意得：25×3 25s＝10，
解得：s＝，
②当点N的速度大于点M的速度时，
由题意得：25s 25×3＝20，
解得：s＝，
综上，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是厘米/秒或厘米/秒，
故答案为：或．
【点睛】本题是几何动点的综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质以及一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解答是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)；
(3)①90；②
【分析】（1）通过证明，可得；
（2）由得，又由，可得；
（3）同（1）的方法可得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由得：，
∵，
∴；
（3）解：①∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：90；
②由知：，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）60°；（3）10．
【分析】（1）已知条件结合三角形内角和定理证明△ABC为等边三角形即可；
（2）先说明△ABC为等边三角形，即∠BAC=∠ABC=∠C=60°，设∠ABD=x，则∠D=∠ABD=x，然后根据四边形的内角和用x表示出∠CAD,进而表示出∠EAD,最后根据三角形内角和即可解答；
（3）如图：作AM⊥BD，根据题意说明MD=MB,进而说明AE⊥CD,设AE=x，则MD=x+3，然后根据线段的和差列方程解答即可．
【详解】（1）证明：∵△ABC
∴∠A+∠B+∠C=180°
∵
∴∠A+∠B+∠C=∠A+2∠B
∴∠B=∠C
∴；
解：（2）∵，
∴△ABC是等边三角形
∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°
设∠ABD=x，则∠D=∠ABD=x，
∵四边形ACBD
∴∠C+∠DBC+∠D+∠DAC=360°，即60°+60°+x+x+∠DAC=360°
∴∠DAC=240°-2x
∵作的平分线交于点E
∴∠EAD=∠DAC=120°-x
∵△AED
∴∠D+∠AED+∠EAD=180°，即x+∠AED+120°-x =180°，解得∠AED=60°；
（3）作AM⊥BD
∵AB=AD
∴MD=MB
∵AC=AD,AE平分∠CAD
∴AE⊥CD
∵由（2）得∠AED=60°，设ME=x
∴AE=2x，DE=2EF,BM=MF=x+3
∴DE=MD+ME=2x+3
∴EF=
∴AE=EF+AF=+2
∴+2=2x，解得：x=
∴DE=2x+3=10．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和、四边形内角和、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．
25．(1)①见解析；②见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）①利用等边三角形的性质得到BD=CD， AD⊥BC，进一步求出∠EDC=30°，然后根据三角形内角和定理推出∠DOC=90°，再根据三角形的外角性质可求出∠DEC=30°，从而得出∠EDC=∠DEC，再根据“等角对等边”即可证明结论；
②由SAS证明△ABD≌△ACE得出AD=AE，然后根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断出△ADE是等边三角形的结论；
（1）在AC上取点F，使CF=CD，连结DF，先证得△ADF≌△EDC得出AD=ED，再运用已证的结论“∠ADE=60°”和根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可证明出△ADE是等边三角形的结论．
（1）
①证明：∵aAB，且△ABC为等边三角形，
∴∠ACE=∠BAC=∠ABD=60°，AB=AC，
∵D是BC中点，即BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠ADE=60°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°，
∴∠DOC=180°-∠EDC-∠ACB=90°，
∴∠DEC=∠DOC-∠ACE=90°-60°=30°，
∴∠EDC=∠DEC，
∴CD=CE；
②∵BD=CD，CD=CE，
∴BD=CE，
在△ABD和△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，
又∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形；
（2）
解：“△ADE是等边三角形”的结论仍然成立．证明如下：
在AC上取点F，使CF=CD，连结DF，如图2所示：
，
∵∠ACB=60°，
∴△DCF是等边三角形，
∴DF=CD，
∵∠ADF+∠FDE=∠EDC+∠FDE=60°，
∴∠ADF=∠EDC，
∵∠DAF+∠ADE=∠DEC+∠ACE，∠ACE=∠ADE=60°，
∴∠DAF=∠DEC，
∴△ADF≌△EDC（AAS），
∴AD=ED，
又∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质．解题关键是注意熟练掌握及熟练等边三角形的判定定理与性质定理、全等三角形的判定与性质．
26．(1)见解析
(2)图②结论为CE＝BE﹣AE，图③结论为CE＝AE﹣BE
(3)3或5
【分析】（1）根据等边三角形的性质和SAS证明△ABE与△CBF全等，利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据等边三角形的性质和SAS证明△ABE与△CBF全等，利用全等三角形的性质解答即可；
（3）根据（1）和（2）的结论，解答即可．
【详解】（1）证明：∵△BEF为等边三角形，
∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，
∴∠EBA+∠ABF＝60°，
∵∠MBN＝60°，
∴∠CBF+∠ABF＝60°，
∴∠EBA＝∠CBF，
在△ABE与△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，
∵CE＝EF+CF，
∴CE＝BE+AE；
（2）解：图②结论为CE＝BE﹣AE，图③结论为CE＝AE﹣BE，
图②的理由如下：
∵△BEF为等边三角形，
∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，
∴∠EBA+∠ABF＝60°，
∵∠MBN＝60°，
∴∠CBF+∠ABF＝60°，
∴∠EBA＝∠CBF，
在△ABE与△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，
∵CE＝EF﹣CF，
∴CE＝BE﹣AE，
图③的理由如下：
∵△BEF为等边三角形，
∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，
∴∠EBA+∠ABF＝60°，
∵∠MBN＝60°，
∴∠CBF+∠ABF＝60°，
∴∠EBA＝∠CBF，
在△ABE与△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，
∵CE＝CF﹣EF，
∴CE＝AE﹣BE；
（3）：在（1）条件下，CE＝BE+AE＝BF+AE＝4+1＝5；
在（2）条件下，CE＝BE﹣AE＝BF﹣AE＝4﹣1＝3，
综上所述，CE＝3或5，
故答案为：3或5．
【点睛】此题考查几何变换的综合题，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质和SAS证明△ABE≌△CBF．
27．（1）见解析；（2）9
【分析】（1）根据平行线的性质与角平分线的定义可得，根据等角对等边可得，同理可得，进而即可证明，即
（2）根据含30度角的直角三角形的性质和（1）的结论，即可求得的周长
【详解】（1）证明：∵AD平分，
∴
∵，
∴，，
∴
同理可证：
∴
即
（2）∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为：
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，掌握等角对等边是解题的关键．
28．(1)见解析
(2)DO=AD，理由见解析
【分析】由为的角平分线，得到，推出和相等，得到，即可推出结论．
由已知推出，得到，在中，由推出，即可推出结论．
（1）
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DEA=90°=∠DFA，
∴∠DEF=∠DFE
∴∠DEA－∠DEF=∠DFA－∠DFE，
即∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵DE=DF，AE=AF，
∴点D、点A在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF；
故AD⊥EF．
（2）
DO=AD．理由如下：
证明：∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=30°，
∴AD=2DE，∠EDA=60°，
∵AD⊥EF，
∴∠EOD=90°，
∴∠DEO=30°，
∴DE=2DO，
∴AD=4DO，
即DO=AD．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是证明和；证明和题目比较典型，综合性强
