第二十一章　一元二次方程检测题（有答案）人教版2023-2024学年度九年级数学上册

第二十一章检测题（后附答案）
(时间：100分钟　　满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列方程是一元二次方程的是( )
A．3x2＋＝0 B．2x－3y＋1＝0
C．(x－3)(x－2)＝x2 D．(3x－1)(3x＋1)＝3
2．一元二次方程x2－8x－2＝0，配方后可变形为( )
A．(x－4)2＝18 B．(x－4)2＝14
C．(x－8)2＝64 D．(x－4)2＝1
3．一元二次方程x(x－2)＝x－2的解是( )
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2
4．一元二次方程x2＋x－1＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
5．关于x的方程kx2－6x＋9＝0有实数根，k的取值范围是( )
A．k＜1且k≠0 B．k＜1
C．k≤1且k≠0 D．k≤1
6．已知m为方程x2＋3x－2022＝0的根，那么m3＋2m2－2025m＋2022的值为( )
A．－2022 B．0 C．2022 D．4044
7．解下列方程x2－4x＝1，2x2－50＝0，3(4x－1)2＝1－4x，3x2－5x－6＝0，较简便的方法依次是( )
A．因式分解法、公式法、配方法、公式法
B．配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法
C．直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
D．公式法、直接开平方法、因式分解法、配方法
8．李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是( )
A．10.5% B．10% C．20% D．21%
9．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2－4x＋k＝0的两个根，则k的值为( )
A．3 B．4 C．3或4 D．7
10．关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m2－m＝0有两个实数根α，β，且α2＋β2＝12，那么m的值为( )
A．－1 B．－4 C．－4或1 D．－1或4
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. 方程(x＋1)2＝9的根是__ __．
12．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为__ __．
13．已知实数x满足(x2－2x＋1)2＋4(x2－2x＋1)－5＝0，那么x2－2x＋1的值为 __ __．
14．你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2＋5x－14＝0即x(x＋5)＝14为例加以说明．数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图(如下面左图)中大正方形的面积是(x＋x＋5)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14＋52，据此易得x＝2.那么在下面右边三个构图(矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上)中，能够说明方程x2－4x－12＝0的正确构图是__ __.(只填序号)
15．已知关于x的一元二次方程：x2－2x－a＝0，有下列结论：
①当a＞－1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞－1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.
以上4个结论中，正确的个数为__ _．
三、解答题(共75分)
16．(8分)解下列方程：
(1)(2x－5)2－2＝0; (2)(x＋1)(x－1)＝2x.
17．(9分)已知关于x，y的方程组与的解相同．
(1)求a，b的值；
(2)若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
18．(9分)已知关于x的一元二次方程x2－2x－3m2＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α＋2β＝5，求m的值．
19．(9分)已知 ABCD的两邻边AB，AD的长是关于x的一元二次方程x2－mx＋－＝0的两个实数根．
(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？并求此时菱形的边长；
(2)当AB的长为2时， ABCD的周长是多少？
20．(9分)如图，某小区矩形绿地的长、宽分别为35 m，15 m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
(1)若扩充后的矩形绿地面积为800 m，求新的矩形绿地的长与宽；
(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5∶3，求新的矩形绿地面积．
21．(10分)某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间符合一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
22．(10分)“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩.收获后A，B两个品种的售价均为2.4 元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100 kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．
(1)请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？
(2)今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%.由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加a%.求a的值．
23．(11分)如图，在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t s.
(1)填空：BQ＝__ __，PB＝__ __；(用含t的代数式表示)
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm
(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
答案：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第二十一章检测题（教师版）
(时间：100分钟　　满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列方程是一元二次方程的是( D )
A．3x2＋＝0 B．2x－3y＋1＝0
C．(x－3)(x－2)＝x2 D．(3x－1)(3x＋1)＝3
2．一元二次方程x2－8x－2＝0，配方后可变形为( A )
A．(x－4)2＝18 B．(x－4)2＝14
C．(x－8)2＝64 D．(x－4)2＝1
3．一元二次方程x(x－2)＝x－2的解是( D )
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2
4．一元二次方程x2＋x－1＝0的根的情况是( A )
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
5．关于x的方程kx2－6x＋9＝0有实数根，k的取值范围是( D )
A．k＜1且k≠0 B．k＜1
C．k≤1且k≠0 D．k≤1
6．已知m为方程x2＋3x－2022＝0的根，那么m3＋2m2－2025m＋2022的值为( B )
A．－2022 B．0 C．2022 D．4044
7．解下列方程x2－4x＝1，2x2－50＝0，3(4x－1)2＝1－4x，3x2－5x－6＝0，较简便的方法依次是( B )
A．因式分解法、公式法、配方法、公式法
B．配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法
C．直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
D．公式法、直接开平方法、因式分解法、配方法
8．李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是( B )
A．10.5% B．10% C．20% D．21%
9．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2－4x＋k＝0的两个根，则k的值为( C )
A．3 B．4 C．3或4 D．7
10．关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m2－m＝0有两个实数根α，β，且α2＋β2＝12，那么m的值为( A )
A．－1 B．－4 C．－4或1 D．－1或4
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. 方程(x＋1)2＝9的根是__x1＝2，x2＝－4__．
12．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为__x(x＋12)＝864__．
13．已知实数x满足(x2－2x＋1)2＋4(x2－2x＋1)－5＝0，那么x2－2x＋1的值为 __1__．
14．你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2＋5x－14＝0即x(x＋5)＝14为例加以说明．数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图(如下面左图)中大正方形的面积是(x＋x＋5)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14＋52，据此易得x＝2.那么在下面右边三个构图(矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上)中，能够说明方程x2－4x－12＝0的正确构图是__②__.(只填序号)
15．已知关于x的一元二次方程：x2－2x－a＝0，有下列结论：
①当a＞－1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞－1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.
以上4个结论中，正确的个数为__①③④__．
解析：根据判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可．∵x2－2x－a＝0，∴Δ＝4＋4a，∴①当a＞－1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确；②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误；③方程的根为x＝＝1±，∵a＞－1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确；④由③可知x＝1±，当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.故④正确；故答案为：①③④.
三、解答题(共75分)
16．(8分)解下列方程：
(1)(2x－5)2－2＝0; (2)(x＋1)(x－1)＝2x.
解：x1＝，x2＝ 解：x1＝＋，x2＝－
17．(9分)已知关于x，y的方程组与的解相同．
(1)求a，b的值；
(2)若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
解：(1)由题意得，关于x，y的方程组的相同解，也是方程组的解，解得把分别代入ax＋2y＝－10与x＋by＝15中，得a＝－4，b＝12
(2)当a＝－4，b＝12时，关于x的方程x2＋ax＋b＝0就变为x2－4x＋12＝0，解得x1＝x2＝2，又∵(2)2＋(2)2＝(2)2，∴以2，2，2为边的三角形是等腰直角三角形
18．(9分)已知关于x的一元二次方程x2－2x－3m2＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α＋2β＝5，求m的值．
解：(1)∵a＝1，b＝－2，c＝－3m2，∴Δ＝(－2)2－4×1·(－3m2)＝4＋12m2>0，∴方程总有两个不相等的实数根
(2)由题意得：解得∵αβ＝－3m2，∴－3m2＝－3，∴m＝±1，∴m的值为±1
19．(9分)已知 ABCD的两邻边AB，AD的长是关于x的一元二次方程x2－mx＋－＝0的两个实数根．
(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？并求此时菱形的边长；
(2)当AB的长为2时， ABCD的周长是多少？
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∵AB，AD的长是关于x的一元二次方程x2－mx＋－＝0的两个实数根，∴Δ＝(－m)2－4(－)＝m2－2m＋1＝0，解得m1＝m2＝1，∴方程为x2－x＋＝0，解得x1＝x2＝，∴菱形的边长为，∴当m＝1时， ABCD是菱形，此时菱形的边长为
(2)将x＝2代入x2－mx＋－＝0中，得4－2m＋－＝0，解得m＝，∴原方程为x2－x＋1＝0.∵AB，AD的长是关于x的一元二次方程x2－x＋1＝0的两个实数根，∴AB＋AD＝，∴平行四边形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝2×＝5
20．(9分)如图，某小区矩形绿地的长、宽分别为35 m，15 m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
(1)若扩充后的矩形绿地面积为800 m，求新的矩形绿地的长与宽；
(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5∶3，求新的矩形绿地面积．
解：(1)设将绿地的长、宽增加x m，则新的矩形绿地的长为(35＋x)m，宽为(15＋x)m，根据题意，得(35＋x)(15＋x)＝800，整理，得x2＋50x－275＝0，解得x1＝5，x2＝－55(不符合题意，舍去)，∴35＋x＝35＋5＝40，15＋x＝15＋5＝20.答：新的矩形绿地的长为40 m，宽为20 m
(2)设将绿地的长、宽增加y m，则新的矩形绿地的长为(35＋y)m，宽为(15＋y)m，根据题意，得(35＋y)∶(15＋y)＝5∶3，即3(35＋y)＝5(15＋y)，解得y＝15，∴(35＋y)(15＋y)＝(35＋15)×(15＋15)＝1500.答：新的矩形绿地面积为1500 m2
21．(10分)某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间符合一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，把点(25，70)，点(35，50)代入，得解得故y与x的函数关系式为y＝－2x＋120
(2)根据题意，得(x－20)(－2x＋120)＝600，整理，得x2－80x＋1500＝0，解得x＝30或x＝50(不合题意，舍去)，答：每件商品的销售价应定为30元
22．(10分)“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩.收获后A，B两个品种的售价均为2.4 元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100 kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．
(1)请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？
(2)今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%.由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加a%.求a的值．
解：(1)设A，B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克，根据题意，得解得答：A，B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克
(2)由题意得2.4×400×10(1＋a%)＋2.4(1＋a%)×500×10(1＋2a%)＝21600(1＋a%)，解得a1＝0(不合题意，舍去)，a2＝10，答：a的值为10
23．(11分)如图，在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t s.
(1)填空：BQ＝__2t_cm__，PB＝__(5－t)_cm__；(用含t的代数式表示)
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm
(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
解：(2)由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52，解得t1＝0(不合题意，舍去)，t2＝2，∴当t＝2 s时，PQ的长度等于5 cm
(3)存在，当t＝1 s时，能够使得五边形APQCD的面积等于26 cm2.理由如下：矩形ABCD的面积是5×6＝30(cm2)，若使得五边形APQCD的面积等于26 cm2，则△PBQ的面积为30－26＝4(cm2)，则(5－t)×2t×＝4，解得t1＝4(不合题意，舍去)，t2＝1，即当t＝1 s时，五边形APQCD的面积等于26 cm2