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（总课时10）§2.1认识一元二次方程 (1、2)
【学习目标】了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程转化为一般形式．用“逼近”法估算方程的解.
【学习重难点】一元二次方程的概念．将实际问题转化为数学方程．
【导学过程】
一.知识回顾
1．什么叫做一元一次方程？ 2．，则= ．
3．有一块长方形的耕地，面积为300 m2，交给王叔叔来耕，已知耕地的长是宽的3倍，你能帮王叔叔算算这块地的长和宽吗？________________________________________________________________________
二.探究新知：知识点A：
【问题1】：一块四周有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8米，宽为5米．如果地毯中央长方形图案的面积为18平方米，那么花边有多宽？
如果设花边的宽为米，那么地毯中央长方形图案的长为( )米，宽为( )米．
根据题意，可得方程 ．
化简这个方程得： ．
【问题2】：如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？
由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m，
如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙 m．
根据题意，可得方程： ．
化简这个方程得： ．
【问题3】：先观察下面等式：．你还能找到其它的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为 ， ， ，
．根据题意，可得方程 ．化简这个方程得： ．
1．归纳概念：议一议：上述三个方程有什么共同特点？①________；②______________；③__________.
2．认识概念：只含有一个未知数的整式方程，并且可以化为ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0）．
一元二次方程的二次项、一次项、常数项分别为：ax2、bx、c．二次项系数为：a．一次项系数为：b．
知识点B：【问题4】：你能估算【问题1】中花边的宽吗？设花边的宽为x m，x满足方程：
（1）x可能小于0吗？说说你的理由．（2）x可能大于4吗 可能大于2.5吗？说说你的理由．
x 0.5 1 1.5 2
答：________________________________________________________________________________________.
（3）完成下表：
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗 还有其他求解方法吗 与同伴进行交流．
三、典例与练习
例1：下列方程中是一元二次方程的是：_________________．
① ② ③ ④
⑤（，，为常数，0） ⑥ ⑦
练习：1.关于x的方程是一元二次方程的条件是( )
A． B． C． D．
2.方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是（ ）A、x2－5x+5=0 B、x2+5x+5=0 C、x2+5x－5=0 D、x2+5=0．
例3：一个人拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个人一试，刚好进去了，设竿长为x尺，列出方程:____________.
练习3.有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，设这个正方形的边长为xm,列方程得：_______________.
例4：根据下列表格，判断方程的一个解x的取值范围（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
-0.06 -0.02 0.03 0.09
A．3练习4：估算方程的解，填写下表：
x －2 －1 0 1 2 3 4
由此可判断方程x2-2x-8=0的解约为____________．
四.课堂小结：1.一元二次方程的概念：一元二次方程定义要求的三个条件：
①只含有一个未知数；②是整式方程；③可以化为一般形式.
要灵活运用定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围.
2.了解一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项，一次项，常数项及它们的系数的概念.
五.分层过关：1.下列式子中是一元二次方程的是：_________________．
（1）x2=9 （2） （3） （4） （5） （6）2．
2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的各项系数和常数项．
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
3．根据题意，列出一元二次方程，并将其化成一般形式：
（1）已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长．
在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成
一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是3500cm2，求金色纸边的宽度．
4.我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（ ）
A．70（1+x）2＝220 B．70（1+x）+7（1+x）2＝220
C．70（1﹣x）2＝220 D．70+7（1+x）+7（1+x）2＝220
5.某商店购进一种商品，进价为20元/件，试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价x（元）满足关系：P＝100﹣x．若商店每天销售这种商品要获得300元的利润，则每件商品的售价应定为多少元？根据题意，可列关于x的方程为_______________．
6.已知关于x的方程(m-2)x∣m+1∣-1+(m+4)x+6=0.
（1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解；
（2）m取何值时，方程是一元一次方程。
思考题：
已知关于x的方程ax2+bx-6=0与关于x的方程ax2+2bx-15=0有一个公共解是3，求a、b的值.
x
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（总课时10）§2.1认识一元二次方程 (1,2)
一.选择题：
1．将方程3x2﹣8x=10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）A．3，﹣8，﹣10 B．3，﹣8，10 C．3，8，﹣10 D．﹣3，﹣8，﹣10
2．若方程是关于的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A. B. C.且 D.m为任意实数
3．下列方程中，是一元二次方程的有（ ）①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．已知m是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式3m2-3m+4的值等于（ ）
A.-1 B.5 C.7 D.-3
5．已知m是方程3x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，则代数式的值（ ）
A．2 B． C． D．
二.填空题：
6．把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次项系数大于零的一般式是___ __．
7．如果方程2x2﹣18＝0与方程-3x2﹣m的解相同，那么m=______.
8．一元二次方程的二次项系数为___，一次项系数为____ ，常数项为 _____。
9．要使(k+1)x∣k∣+1+(k-1)x+2=0是一元二次方程，则________．
10．已知m是方程x2+x-1=0的根，则式子m3+2m2+2019的值为__________．
三.解答题:
11．已知x=1是方程x2﹣5ax+a2=0的一个根，求代数式3a2﹣15a-7的值.
12．要将一块面积为的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？设长为，则宽为，列方程为，即．请根据所列方程回答以下问题：（1）可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．
（2）完成下表：
10 11 12 13 14 15 16 17 …
x2-5x-150
（3）你知道铁片的长是多少吗？
13．将下列关于x的一元二次方程化成一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。（1） （2） （3）
14．已知关于x的方程.
（1）当取何值时是一元二次方程？（2）当取何值时是一元一次方程？
四.提高题:
15．若关于x的一元二次方程有一个根为,且,求的值.
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（总课时10）§2.1认识一元二次方程 (1,2)
一.选择题：
1．将方程3x2﹣8x=10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ A ）A．3，﹣8，﹣10 B．3，﹣8，10 C．3，8，﹣10 D．﹣3，﹣8，﹣10
2．若方程是关于的一元二次方程，则m的取值范围是（ C）
A. B. C.且 D.m为任意实数
3．下列方程中，是一元二次方程的有（ B ）①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．已知m是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式3m2-3m+4的值等于（ C）
A.-1 B.5 C.7 D.-3
5．已知m是方程3x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，则代数式的值（ C ）
A．2 B． C． D．
二.填空题：
6．把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次项系数大于零的一般式是_x2＋2x－1＝0．
7．如果方程2x2﹣18＝0与方程-3x2﹣m＝0的解相同，那么m=-27_.
8．一元二次方程3x2﹣4x+5=0的二次项系数为3，一次项系数为-4，常数项为5.
9．要使(k+1)x∣k∣+1+(k-1)x+2=0是一元二次方程，则k=1．
10．已知m是方程x2+x-1=0的根，则式子m3+2m2+2019的值为_2020__．
三.解答题:11．已知x=1是方程x2﹣5ax+a2=0的一个根，求代数式3a2﹣15a-7的值.
解：由题得：a2﹣5a=-1∴3a2﹣15a=-3∴3a2﹣15a-7=-10
12．要将一块面积为的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？设长为，则宽为，列方程为，即．请根据所列方程回答以下问题：（1）可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．
（2）完成下表：
10 11 12 13 14 15 16 17 …
x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 ...
（3）你知道铁片的长是多少吗？
解：（1）不可能小于5．理由：若，则，不合题意．
不可能等于10．理由：若，则，不合题意．
（3）由（2）可得铁片的长是15cm．
13．将下列关于x的一元二次方程化成一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。（1） （2） （3）
解：（1）一般形式：，二次项系数：6，一次项系数：-3，常数项：-2；
（2）一般形式：；二次项系数：1，一次项系数：8，常数项：17；
（3）一般形式：，二次项系数：1，一次项系数：-3a，常数项：；
14．已知关于x的方程（1）当取何值时是一元二次方程？（2）当取何值时是一元一次方程？解(1) 是一元二次方程，m+1≠0,m2+1=2，m=1，当m=1时,方程是一元二次方程；
(2)是一元一次方程，①m+1≠0,m2+1=1，m=0；
②m+1=0，解得m= 1；当m=0或m= 1时,方程是一元一次方程.
四.提高题:
15．若关于x的一元二次方程有一个根为,且,求的值.
解：根据二次根式有意义的条件，可得 ，
解得 ，那么 .将代入方程可得 ，
所以 ，则将 的值代入可得.
故本题的正确答案为0.
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（总课时10）§2.1认识一元二次方程 (1,2)
【学习目标】了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程转化为一般形式．用“逼近”法估算方程的解.
【学习重难点】一元二次方程的概念．将实际问题转化为数学方程．
【导学过程】
一.知识回顾
1．什么叫做一元一次方程？ 2．，则x=-2．
3．有一块长方形的耕地，面积为300m2，交给王叔叔来耕，已知耕地的长是宽的3倍，你能帮王叔叔算算这块地的长和宽吗？解：设宽为xm,则长为3xm∴x 3x=300∴x=10或-10，舍去-10，∴长30m，宽10m
二.探究新知：知识点A：
【问题1】：一块四周有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8米，宽为5米．如果地毯中央长方形图案的面积为18平方米，那么花边有多宽？
如果设花边的宽为x米，那么地毯中央长方形图案的长为(8-x)米，宽为(5-x)米．
根据题意，可得方程(8-2x)(5-2x)=18．
化简这个方程得：2x2-13x+11=0．
【问题2】：如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？
由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 6 m，
如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m．
根据题意，可得方程：72+(6+x)2=102．
化简这个方程得：x2+12x-15=0．
【问题3】：先观察下面等式：．你还能找到其它的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为(x+1)，(x+2)，(x+3)，(x+4)．根据题意，可得方程x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2．化简这个方程得：x2-8x-20=0．
1．归纳概念：上述三个方程有什么共同特点？①只含一个未知数②未知数最高次数是2，③整式方程.
2．认识概念：只含有一个未知数的整式方程，并且可以化为ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0）．
一元二次方程的二次项、一次项、常数项分别为：ax2、bx、c．二次项系数为：a．一次项系数为：b．
知识点B：【问题4】：你能估算【问题1】中花边的宽吗？设花边的宽为xm，x满足方程：
（1）x可能小于0吗？说说你的理由．（2）x可能大于4吗 可能大于2.5吗？说说你的理由．
答：（1）x不小于0.∵花边的宽不小于0.（2）不能大于4，不能大于2.5，∵8-2x>0，5-2x>0.
x 0.5 1 1.5 2
28 18 10 4
（3）完成下表：
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗 还有其他求解方法吗 与同伴进行交流．
答：花边的宽为1m.
三.典例与练习
例1：下列方程中是一元二次方程的是：⑥_．
① ② ③ ④
⑤（，，为常数，0） ⑥ ⑦
练习1.关于x的方程是一元二次方程的条件是( D )
A． B． C． D．
2.方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是（A）A、x2－5x+5=0 B、x2+5x+5=0 C、x2+5x－5=0 D、x2+5=0．
例2：一个人拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个人一试，刚好进去了，设竿长为x尺，列出方程:（x-4)2+(x-2)2=x2.
练习3.有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，设这个正方形的边长为xm,列方程得：(x+2)(x+5)=54.
例3：根据下列表格，判断方程ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0）的一个解x的取值范围（ C ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
A．3练习4：估算方程的解，填写下表：
x －2 －1 0 1 2 3 4
x2-2x-8 0 -5 -8 -9 -8 -5 0
由此可判断方程x2-2x-8=0的解约为_x1=-2,x2=4_．
四.课堂小结：
1.一元二次方程的概念：一元二次方程定义要求的三个条件：
①只含有一个未知数；②是整式方程；③可以化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0）.
要灵活运用定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围.
2.了解一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项，一次项，常数项及它们的系数的概念.
五.分层过关：1.下列式子中是一元二次方程的是：（1）（4）（6）．
（1）x2=9 （2） （3） （4） （5） （6）
2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的各项系数和常数项．
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
5x2+36x-32=0 5 36 -32
9x2-8x=0 9 -8 0
3．根据题意，列出一元二次方程，并将其化成一般形式：
（1）已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长．
解:设较短的边长为x,则另外两边为（x+1）,(x+2)由题得：x2+(x+1)2=(x+2)2化简得：x2-2x-3=0
在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条
金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个
挂图的面积是3500cm2，求金色纸边的宽度．
解：由题得：（60+2x)（40+2x）=3500化简得：x2+50x-1150=0
4.我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（ B ）
A．70（1+x）2＝220 B．70（1+x）+7（1+x）2＝220
C．70（1﹣x）2＝220 D．70+7（1+x）+7（1+x）2＝220
5.某商店购进一种商品，进价为20元/件，试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价x（元）满足关系：P＝100﹣x．若商店每天销售这种商品要获得300元的利润，则每件商品的售价应定为多少元？根据题意，可列关于x的方程为 （x﹣20）（100﹣x）＝300 ．
6.已知关于x的方程(m-2)x∣m+1∣-1+(m+4)x+6=0.（1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解；（2）m取何值时，方程是一元一次方程。
解（1）依题意得：m﹣2≠0且，解得：m=－4，此时方程为：，解得：x=±1．即当m=－4时，它是一元二次方程，方程的解为x=±1．
（2）依题意得：m－2=0，或或且2m+2≠0，解得：m=2或m=0或m=－2或m=1或m=－3．即当m=2或m=0或m=－2或m=1或m=－3时，它是一元一次方程．
思考题：已知关于x的方程ax2+bx-6=0与关于x的方程ax2+2bx-15=0有一个公共解是3，求a、b的值.
解∵方程ax2+bx 6=0与ax2+2bx 15=0有一个公共根是3，
∴ax2+2bx 15=ax2+bx 6+bx 9=bx 9=0，
∴3b 9=0，得b=3，将x=3代入ax2+bx 6=0，
得a×32+3×3 6=0，解得,a=
即a的值是 ，b的值是3.
图1
图2
x
图3
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