第四章图形的相似检测题（有答案）北师大版数学九年级上册

第四章检测题（后附答案）
(时间：100分钟　　满分：120分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．已知＝，则的值为( )
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，则EC＝( )
A． B． C． D．
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第2题图)) 　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第4题图)) 　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第5题图))
3．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是( )
A．3∶5 B．5∶3 C．9∶25 D．25∶9
4．如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有( )
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
5．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7 mm，当测试距离为3 m时，最大的“”字高度为( )
A．121.17 mm B．43.62 mm C．29.08 mm D．4.36 mm
6．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且＝＝，下列结论正确的是( )
A．DE∶BC＝1∶2 B．△ADE与△ABC的面积比为1∶3
C．△ADE与△ABC的周长比为1∶2 D．DE∥BC
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第6题图)) 　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第8题图)) 　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))
7．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m＋n的值为( )
A．10＋或5＋2 B．15
C．10＋ D．15＋3
8．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°.若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( )
A．()3 B．()7 C．()6 D．()6
9．如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为( )
A．9 B．12 C．15 D．18
10．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似)，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是( )
A． B． C．10 D．
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第10题图)) 　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第12题图)) 　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第13题图))
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．若x∶y＝1∶2，则＝__ __．
12．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA∶AD＝2∶3，则△ABC与△DEF的周长比是__ __．
13．如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD.为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳(线段AD1)量得AE＝0.4 m，则AD1＝_ __m.
14．如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的周长比为__ __．
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第14题图)) 　　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))
15如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为__ __.
三、解答题(共75分)
16．(8分)如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C.若测得AE＝1 m，DE＝1.5 m，CE＝5 m，楼高BC是多少？
17．(9分)如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.
(1)求证：△ABC∽△DEC；
(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．
18．(9分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(4，1)，C(1，1).
(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
(2)画出△ABC以点O为位似中心，相似比为1∶2的△A2B2C2.
eq \o(\s\up7(),\s\do5(题图)) 　　　
19．(9分)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AB，CD于点E，F，FE的延长线交CB的延长线于点M.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．
20．(9分)晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．(结果精确到0.01米)
21．(10分)如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB.
求证：(1)∠CAE＝∠BAF；
(2)CF·FQ＝AF·BQ.
22．(10分)如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且∠ABE＝∠CDF.
(1)探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
(2)连接AC，分别交BE，DF于点G，H，连接BD交AC于点O.若＝，AE＝4，求BC的长．
23．(11分)问题提出
如图①，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究的值．
问题探究
(1)先将问题特殊化．如图②，当∠BAC＝60°时，直接写出的值；
(2)再探究一般情形．如图①，证明(1)中的结论仍然成立．
问题拓展
(3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，＝(n<2)，延长BC至点E，点DE＝DG，延长ED交AB于点F.直接写出的值(用含n的式子表示).
答案：
第四章检测题（教师版）
(时间：100分钟　　满分：120分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．已知＝，则的值为( C )
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，则EC＝( C )
A． B． C． D．
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第2题图)) 　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第4题图)) 　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第5题图))
3．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是( B )
A．3∶5 B．5∶3 C．9∶25 D．25∶9
4．如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有( C )
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
5．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7 mm，当测试距离为3 m时，最大的“”字高度为( B )
A．121.17 mm B．43.62 mm C．29.08 mm D．4.36 mm
6．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且＝＝，下列结论正确的是( D )
A．DE∶BC＝1∶2 B．△ADE与△ABC的面积比为1∶3
C．△ADE与△ABC的周长比为1∶2 D．DE∥BC
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第6题图)) 　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第8题图)) 　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))
7．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m＋n的值为( A )
A．10＋或5＋2 B．15
C．10＋ D．15＋3
8．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°.若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( C )
A．()3 B．()7 C．()6 D．()6
9．如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为( C )
A．9 B．12 C．15 D．18
10．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似)，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是( A )
A． B． C．10 D．
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第10题图)) 　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第12题图)) 　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第13题图))
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．若x∶y＝1∶2，则＝__－__．
12．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA∶AD＝2∶3，则△ABC与△DEF的周长比是__2∶5__．
13．如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD.为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳(线段AD1)量得AE＝0.4 m，则AD1＝__1.2__m.
14．如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的周长比为__2∶1__．
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第14题图)) 　　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))
15如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为___cm__.
三、解答题(共75分)
16．(8分)如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C.若测得AE＝1 m，DE＝1.5 m，CE＝5 m，楼高BC是多少？
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝9，答：楼高BC是9 m
17．(9分)如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.
(1)求证：△ABC∽△DEC；
(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．
解：(1)∵∠BCE＝∠ACD.∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE，∴∠ACB＝∠DCE，又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC
(2)∵△ABC∽△DEC，∴＝()2＝，又∵BC＝6，∴EC＝9
18．(9分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(4，1)，C(1，1).
(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
(2)画出△ABC以点O为位似中心，相似比为1∶2的△A2B2C2.
eq \o(\s\up7(),\s\do5(题图)) 　　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(答图))
解：(1)A1(1，－3)，B1(4，－1)，C1(1，－1)，连接A1C1，A1B1，B1C1，得到△A1B1C1.如图所示△A1B1C1即为所求　(2)由题意知，位似中心是原点，则分两种情况：①△A2B2C2和△ABC在同一侧，则A2(2，6)，B2(8，2)，C2(2，2)，连接各点，得△A2B2C2.②△A2B2C2在△ABC的对侧，则A2(－2，－6)，B2(－8，－2)，C2(－2，－2)，连接各点，得△A2B2C2.综上所述，如图所示△A2B2C2为所求
19．(9分)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AB，CD于点E，F，FE的延长线交CB的延长线于点M.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD，∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF　(2)过点O作ON∥BC交AB于点N，则△AON∽△ACB，∵OA＝OC，∴ON＝BC＝2，BN＝AB＝3，∵ON∥BC，∴△ONE∽△MBE，∴＝，即＝，解得BE＝1
20．(9分)晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．(结果精确到0.01米)
解：由题意得∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN，∴△CAD∽△MND，∴＝，∴＝，∴MN＝9.6，又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，∴△EFB∽△MFN，∴＝，∴＝，∴EB≈1.75，∴小军身高约为1.75米
21．(10分)如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB.
求证：(1)∠CAE＝∠BAF；
(2)CF·FQ＝AF·BQ.
证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵CF＝BE，∴CF－EF＝BE－EF，即CE＝BF，在△ACE和△ABF中，∴△ACE≌△ABF(SAS)，∴∠CAE＝∠BAF　(2)∵△ACE≌△ABF，∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF，∵AE2＝AQ·AB，AC＝AB，∴＝，∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEC＝∠AQF，∴∠AEF＝∠BQF，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∴∠BQF＝∠AFE，∵∠B＝∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴＝，即CF·FQ＝AF·BQ
22．(10分)如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且∠ABE＝∠CDF.
(1)探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
(2)连接AC，分别交BE，DF于点G，H，连接BD交AC于点O.若＝，AE＝4，求BC的长．
解：(1)四边形BEDF为平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABE＝∠CDF，∴∠EBF＝∠EDF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF，∴BE∥DF，∵AD∥BC，∴四边形BEDF为平行四边形　(2)设AG＝2a，∵＝，∴OG＝3a，AO＝5a，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO＝5a，AC＝10a，CG＝8a，∵AD∥BC，∴△AGE∽△CGB，∴＝＝，∵AE＝4，∴BC＝16
23．(11分)问题提出
如图①，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究的值．
问题探究
(1)先将问题特殊化．如图②，当∠BAC＝60°时，直接写出的值；
(2)再探究一般情形．如图①，证明(1)中的结论仍然成立．
问题拓展
(3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，＝(n<2)，延长BC至点E，点DE＝DG，延长ED交AB于点F.直接写出的值(用含n的式子表示).
解：(1)　(2)取BC的中点H，连接DH，∵点D为AC的中点，∴DH∥AB，DH＝AB，∵AB＝AC，∴DH＝DC，∴∠DHC＝∠DCH，∵BD＝DE，∴∠DBH＝∠DEC，∴∠BDH＝∠EDC，∴△DBH≌△DEC(ASA)，∴BH＝EC，∴＝，∵DH∥AB，∴△EDH∽△EFB，∴＝＝，∴＝，∴＝　(3)＝.【解法提示】取BC的中点H，连接DH，由(2)同理可证△DGH≌△DEC(ASA)，∴GH＝CE，∴HE＝CG，∵＝，∴＝，∴＝，∴＝，∵DH∥BF，∴△EDH∽△EFB，∴＝＝，∵DH＝AB，∴＝，∴＝