2023-2024学年陕西省西安市雁塔区曲江重点中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省西安市雁塔区曲江重点中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
3.下列说法不一定成立的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，平分，，为的中点，连接并延长交与点，若，，则线段的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，为等边内一点，且，，，、为边、上的动点，且，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9.若分式的值为，则的值为 ．
10.点关于原点成中心对称的点坐标是______．
11.如图，在中，，和的平分线分别交于点，若，，则的值为______ ．
12.如图，在平行四边形中，、，若，直线经过点并且把平行四边形的面积分成相等的两部分，则直线的解析式是______ ．
13.如图，菱形的边长为，，点，在对角线上点在点的左侧，且，则的最小值______ ．
三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14.本小题分
分解因式：．
15.本小题分
解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
16.本小题分
解方程：．
17.本小题分
先化简：，再从，，，中选取一个使原式有意义的数代入求值．
18.本小题分
如图，已知，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使保留作图痕迹．不写作法
19.本小题分
如图，在中，，，是的一条角平分线若，求的面积．
20.本小题分
已知：如图，在和中，，，垂足分别为，，，求证：是等腰三角形．
21.本小题分
已知一个正多边形的边数为．
若这个多边形的内角和为其外角和的倍，求的值；
若这个正多边形的一个内角为，求的值．
22.本小题分
关于的分式方程．
若此方程有增根，求的值；
若此方程解为正数，求的取值范围．
23.本小题分
已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
将向右平移个单位，作出平移后的；
将绕点逆时针旋转，作出旋转后的；
在轴上存在一点，使的值最小，求出这个最小值______ 直接写出结果
24.本小题分
已知直线：与直线：相交于点．
求，的值；
请结合图象直接写出不等式的解集．
若直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积．
25.本小题分
为提升绿化管护、助力文明创建，曲江新区持续开展绿化管理工作，计划在某道路两旁种植树木共棵经过专业人士研究发现、两种树木最适合种植，已知树苗每棵单价比树苗多元，且用元购进的树苗与用元购进的树苗数量相同，、两种树苗的其余相关信息如表：
树苗 成活率 植树费元棵
解答下列问题：
树苗与树苗的单价各是多少？
若绿化该道路的总费用不超过元，则最少可以购买树苗多少棵？
若要求种植后成活不少于棵树苗，则绿化该道路总费用至多需要多少元？
26.本小题分
已知，是的中线，过点作．
如图，交于点，连接求证：四边形是平行四边形；
是线段上一点不与点，重合，交于点，交于点，连接如图，四边形是平行四边形吗？请说明理由；
在第问的条件下，如图，延长交于点，若，，，，请求出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称的图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
2.【答案】
【解析】【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意正确区分因式分解与整式乘法的区别．
【解答】
解：没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故A错误；
B.是整式的乘法，故B错误；
C.没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；
D.把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D正确．
故选D．
3.【答案】
【解析】解：、在不等式的两边同时加上，不等式仍成立，即，不符合题意；
B、在不等式的两边同时减去，不等式仍成立，即，不符合题意；
C、当时，若，则不等式不成立，符合题意；
D、在不等式的两边同时除以不为的，该不等式仍成立，即，不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质进行判断．
本题主要考查了不等式的基本性质．“”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“”存在与否，以防掉进“”的陷阱．不等式的基本性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】
【解析】解：、，，四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、，，四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、，，四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、，，不能得出四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
5.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
先求出，再根据分式的减法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，，
，
、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形的周长，
又，
四边形的周长．
故选：．
利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，，然后代入数据进行计算即可得解．
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，过作交的延长线于，
，为的中点，
，
，
平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，，
，
，
又，
≌，
，
为的中位线，
，
，
故选：．
由直角三角形的性质可求得，由角平分线的定义可证得，利用三角形中位线定理可求得的长，则可求得的长．
本题主要考查直角三角形的性质及中位线定理，利用直角三角形的性质求得、利用中位线定理求得是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：如图：将绕点顺时针旋转得到，连接，，
由旋转可得：，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
如图：
连接，将绕点逆时针旋转得到，
连接，则是等边三角形，，
，，
，
当点、、三点共线时与重合，有最小值．
故选：．
如图中，将绕点顺时针旋转得到得到是等边三角形，根据勾股定理得到，如图中，将绕点逆时针旋转得到得到是等边三角形，，于是得到结论．
本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：因为分式的值为，所以，
化简得，即．
解得
因为，即
所以．
故答案为．
分式的值为的条件是：分子；分母两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
本题主要考查分式的值为的条件，注意分母不为．
10.【答案】
【解析】解：点关于原点成中心对称的点的坐标是．
故答案为：．
根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：平分，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
故答案为：．
由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案．
本题考角平分线与平行线，掌握角平分线加平行线，可得等腰三角形这一几何模型是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：平行四边形的顶点坐标分别为，、，
，
平行四边形是中心对称图形，
将平行四边形的面积分成相等的两部分的直线一定过平行四边形的对称中心，对角线的交点且
平行四边形的对称中心，
设直线的解析式为，
把，代入，
得，解得
该直线的函数表达式为．
故答案为：．
将平行四边形的面积分成相等的两部分，所以直线必过平行四边形的中心，由的坐标即可求出其中心坐标，设过直线的解析式为，把和的坐标代入即可求出直线解析式即可．
此题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质以及利用待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出其中心对称点的坐标．
13.【答案】
【解析】解：如图，作，使得，连接交于，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
根据两点之间线段最短可知，此时最短，
四边形是菱形，，
，
是等边三角形，
，
在中，，
的最小值为．
故答案为：．
作，使得，连接交于，由四边形是平行四边形，推出，推出，根据两点之间线段最短可知，此时最短，由四边形是菱形，在中，根据计算即可．
本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考填空题中的压轴题．
14.【答案】解：
．
【解析】提公因式后利用完全平方公式分解因式即可．
本题考查因式分解，因式分解的方法有提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，解题的关键是根据题目特点，正确寻找方法．
15.【答案】解；
解不等式，得：；
解不等式，得：；
在数轴上表示为：
这个不等式组的解集为．
【解析】分别计算出方程组中两个不等式的解集，两个解集的公共部分就是不等式组的解集．
此题考查一元一次不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，解题关键在于掌握运算法则．
16.【答案】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的增根，
原分式方程无解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17.【答案】解：原式
，
，，，
，，．
当时，原式．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】解：如图，即为所求．

【解析】根据作一个角等于已知角的作图步骤作图即可．
本题考查作图复杂作图，熟练掌握作一个角等于已知角的作图步骤作图即可．
19.【答案】解：作于点，
平分，，，
，
，
的面积为 ．
【解析】根据角平分线的性质得，再根据三角形的面积公式求解即可．
本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
20.【答案】证明：，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
是等腰三角形．
【解析】证明≌得到，根据等腰三角形的判定即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，证明≌是解题的关键．
21.【答案】解：由题意可得，
解得：；
由题意可得，
解得：．
【解析】利用多边形的内角和与外角和列得方程，解方程即可；
利用多边形的内角和与正多边形的性质列得方程，解方程即可．
本题考查多边形的内角和与外角和，正多边形的性质，结合已知条件列得对应的方程是解题的关键．
22.【答案】解：去分母，得，
将增根代入，得，
解得；
去分母，得，
解得，
此方程解为正数，
且，
解得且．
【解析】去分母，然后代入增根，进一步可得的值；
先解分式方程，根据此方程解为正数，可得且，进一步可得的取值范围．
本题考查了分式方程的增根，分式方程的解，熟练掌握解分式方程的增根是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
如图，点即为所求；的最小值为．
故答案为：．
根据平移的性质即可将向右平移个单位，作出平移后的；
根据旋转的性质即可将绕点逆时针旋转，作出旋转后的；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，这个最小值即为值．
本题考查了作图旋转变换，轴对称最短路线问题，作图平移变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
24.【答案】解：把代入得：
，
解得：；
把代入得：
，
解得；
不等式的解集为：；
：，当时，，
故，
：，
当时，，
解得：，
则，
四边形的面积为：．

【解析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式以及四边形的面积，正确利用函数图象分析是解题关键．
直接把已知点代入函数关系式进而得出，的值；
直接利用函数图形得出不等式的解集；
分别得出，的长，进而得出四边形的面积．
解：见答案；
不等式表示的是函数的图象在函数的图象下方时，的取值范围，由图可得，．
见答案．
25.【答案】解：设树苗与树苗的单价分别为元和元，根据题意可得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：树苗与树苗的单价分别为元和元；
设最少可以购买树苗棵，根据题意可得：
，
解得：，
答：最少可以购买树苗棵；
设购买树苗棵，绿化该道路总费用为元，根据题意可得：
，
解得：，
由题意可得，
，
，
随的增大而减小，
当时，最小，最小值，
答：绿化该道路总费用至多需要元．
【解析】设树苗与树苗的单价分别为元和元，根据用元购进的树苗与用元购进的树苗数量相同得出方程解答即可；
设最少可以购买树苗棵，根据绿化该道路的总费用不超过元得出不等式解答即可；
设购买树苗棵，根据要求种植后成活不少于棵树苗得出不等式解答即可．
此题主要考查了一元一次不等式的应用以及分式方程应用，根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决问题的关键．
26.【答案】证明：，
，
，
，
是的中线，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，理由如下：
如图，过点作，交于点，
，
四边形是平行四边形，
，
由知，，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：如图，
作于，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
同理可得：是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，点是的中点，
是的中点，
，
．
【解析】根据平行线的性质得出，，结合，利用证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得解；
过点作，交于点，则四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，结合根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出结论；
作于，根据等腰三角形的判定与性质推出，，，进一步得出结果．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造特殊的直角三角形．
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