2023-2024学年福建省福州十九中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省福州十九中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列各数，，，，中，负数的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.年政府工作报告提出：确保粮食产量保持在斤以上，将这个数用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.义务教育课程标准年版首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定某班有名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.在下列一次函数中，其图象过点且随的增大而减小的是( )
A. B. C. D.
6.据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，年月至月，新能源车月销量由万辆增加到万辆，设年月至月新能源车销量的月平均增长率为，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
7.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是( )
A. B. C. D.
8.如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点，且经过点，上沿经过点，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在 中，对角线，相交于点，为的中点，连接，过点作于点，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.已知抛物线经过这两点与，若点在抛物线上，则可能的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.若有意义，则的取值范围是______ ．
12.因式分解：______．
13.已知，则分式的值为______ ．
14.如图，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点，若，，则的长为______ ．
15.在现今互联网的时代，密码与我们的生活密不可分数学老师请同学们通过数学知识自己设置五位数密码，现由小明、小亮两位同学轮流从中任选一个数字，规则是小明先选，小明选的数会使这个数据平均数最小，小亮选的数会使这个数据中位数最大，密码的个数据不能重复，若五位数密码第一个数字是，要使这个五位数最大，用上述方法产生的密码是______ ．
16.如图，在等边中，点，分别在边和上，连接，点关于的对称点是点，连接和分别交于点和，若，，若和四边形面积相等，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
解方程：
；
．
18.本小题分
如图，已知，，，求证：．
19.本小题分
先化简，再求值：，其中．
20.本小题分
如图，在菱形中，为边延长线上一点，连接分别交和于和两点．
求证：；
已知，，求的长．
21.本小题分
国家利益高于一切，国家安全人人有责，年月日是第八个全民国家安全教育日，某校开展了“树牢总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就”的国安知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩分制进行整理、描述和分析成绩用表示，共分成四组：不合格，合格，良好，优秀，下面给出部分信息：
七年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：，，，，，．
八年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：，，，，，，，．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计量
年级 平均数 众数 中位数 满分率
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
直接写出，的值；
根据上述数据，你认为该校七八年级中哪个年级学生对“国安知识”学握较好？请说明理由写出一条理由即可；
该校七、八年级各有人参加此活动，估计参加此活动成绩优秀的学生人数是多少？
22.本小题分
三坊七巷作为“十大历史文化古街”之一，其悠久的历史吸引了许多游客，景点内的、两种纪念品深受广大游客们的喜爱若买件种纪念品和件种纪念品花费元，买件种纪念品和件种纪念品花费元．
求两种纪念品的单价；
游客决定要购买、两种纪念品共件，设购进种纪念品件，购进这件纪念品所需总费用为元若要求购进种纪念品的数量不超过种纪念品的一半，试问如何购进、两种纪念品使得所需总费用最低，最低的费用是多少元？
23.本小题分
问题背景：
在平面直角坐标系中，任意直线轴，直线上的任意两点的坐标为，点的坐标为且满足，则可以构成函数．
问题解决：
已知点，，点在点的上方，若点在函数图象上，求的函数解析式；
已知点，点且，当时，函数的最大值是，求的值．
24.本小题分
如图，和均为等腰直角三角形，，点在边上，延长和交于点，于点，交于点．
求证：∽；
若，，求的值；
如图，点是的中点，，求证：垂直平分．
25.本小题分
已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
点和抛物线顶点所在的直线与的延长线交于点，求的度数；
作直线与抛物线交于，两点且，点、和点、所在的直线相交于点，证明：点在定直线上运动．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：负数有，，共个，
故选：．
根据负数的定义进行判断即可．
本题考查负数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
3.【答案】
【解析】解：、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，根据平方差公式可知计算正确，符合题意；
故选：．
根据积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项、单项式乘以单项式及平方差公式分别验证即可得到答案．
本题考查了整式混合运算，掌握整式混合运算的法则及公式是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：这组数据，，，，，，中出现次，次数最多，
所以这组数据的众数为，
中位数为．
故选：．
根据中位数和众数的概念求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5.【答案】
【解析】解：随的增大而减小，
该一次函数的一次项系数小于，由此排除，，
对于，当时，，
的图象不过点，由此排除，
对于，当时，，
的图象过点，
故选：．
对于一次函数，时，随的增大而减小，找出各选项中值小于的选项，再把点代入，符合的函数解析式即为答案．
本题考查一次函数的图象和性质、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是能够根据值判断一次函数图象的增减性．
6.【答案】
【解析】解：根据题意得：．
故选：．
利用年月新能源车月销量年月新能源车月销量年月至月新能源车销量的月平均增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得，
所以的可以取．
故选：．
先根据根的判别式的意义得到，再解不等式得到的取值范围，然后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
8.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
，
四边形中，，
，
故选：．
利用多边形的内角和及正多边形的性质求得，的度数，然后结合已知条件及四边形的内角和求得的度数，从而求得的度数．
本题考查多边形的内角和，结合已知条件求得，的度数是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
为的中点，
，
是的中位线，
，
，，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，进而利用三角形的中位线定理得出，进而利用含角的直角三角形的性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出解答．
10.【答案】
【解析】解：抛物线经过这两点与，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
点在抛物线上，
，
抛物线经过这两点与，
方程有两个不相等的实数解，
，即，
，
，
，
故可能的值是，
故选：．
根据抛物线的对称性求得对称轴为直线，即可求得，即，把代入求得，由抛物线经过两点与可知方程有两个不相等的实数解，则，即，求得，从而求得．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：若有意义，
则，
，
即的取值范围是，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件，即被开方数大于或等于解答即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知：若有意义，则．
12.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：
，将代入分式，得到
故答案为：．
将进行变式即，再将代入分式即可求解．
本题考查分式的计算，将已知条件进行变式即可解决问题．
14.【答案】
【解析】解：于点，于点，
，
，，
，
直线经过正方形的顶点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
故答案为：．
由于点，于点，得，由正方形的性质得，，则，即可证明≌，得，，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：小亮选的数会使这个数据中位数最大，小亮选的数为，小明选的数会使这个数据平均数最小，则小明选的数为，若五位数密码第一个数字是，要使这个五位数最大，则产生的密码是，
故答案为：．
根据中位数、平均数的定义即可求解．
本题考查中位数、平均数，掌握中位数、平均数的定义是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：是等边三角形，
，
由轴对称的性质可得，≌，
，，
，
，，
，
在中，，
，
，
又，
∽，
，
设，则，
和四边形面积相等，
和四边形面积相等，
，
，，
∽，
，
，
解得，
故答案为：．
根据轴对称的性质得出≌，即可得到这两个三角形面积相等，再结合等边三角形的性质证得∽，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方得出这两个三角形面积之间的关系，再证∽，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可求出的长．
本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键．
17.【答案】解：，
，
则或，
解得，；
两边都乘以得：，
解得，
检验：当时，，
所以原分式方程的解为．
【解析】利用十字相乘法、提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
两边都乘以得出关于的整式方程，解之求出的值，再检验即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程和分式方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18.【答案】证明：，
．
在和中，
，
≌．
．
【解析】由平行线的性质就可以得出，由就证出≌，由全等三角形的性质就可以得出结论．
本题考查了平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时得出三角形全等是关键．
19.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把的值代入即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
≌，
；
解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
．
【解析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
根据菱形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是得到∽．
21.【答案】解：七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为分，
因此中位数是分，即，
八年级学生竞赛成绩的中位数是，因此在分以上的应有人，可得分的有人，
因此竞赛成绩的众数为，即；
，；
八年级学生对“国安知识”掌握的比较好，理由如下：
虽然七年级和八年级学生的平均分和众数相同，但是八年级学生的中位数和满分率都高于七年级；
七年级抽取的学生成绩优秀的人数为人，
八年级抽取的学生成绩优秀的人数为人，
则优秀人数为人，
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是人．
【解析】找出七年级成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，可求出的值，找出八年级成绩出现次数最多的数即为八年级成绩的众数；
根据中位数和满分率进行判断即可；
分别求出七、八年级学生竞赛成绩的优秀人数即可求解．
本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数，理解中位数、众数的计算方法是正确求解的前提．
22.【答案】解：设种纪念品单价为元，种纪念品的单价为元，
根据题意得：，
解得，
答：种纪念品单价为元，种纪念品的单价为元；
购进种纪念品的数量不超过种纪念品的一半，
，
解得，
根据题意得，
，
随的增大而减小，
当时，取最小值，最小值为，
此时，
答：购进种纪念品件，种纪念品件，所需总费用最低，最低的费用是元．
【解析】设种纪念品单价为元，种纪念品的单价为元，根据买件种纪念品和件种纪念品花费元，买件种纪念品和件种纪念品花费元列方程组可解得答案；
由购进种纪念品的数量不超过种纪念品的一半，得，故，而，根据一次函数性质可得答案．
本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和方程组解决问题．
23.【答案】解：根据题意，得．
将代入，得，解得．
．
，
，
，其开口向上，对称轴为．
当时，时取最大值，
，解得．
【解析】根据点和的坐标，写出关于的函数表达式，将点的坐标代入，求出值，进而求出的函数解析式；
证明，得到根据的图象特征，求出当时，取何值时的函数值最大，进而求出值．
本题考查函数的图象及函数关系式，根据题意求出函数关系式是本题的关键．
24.【答案】证明：如图：
为等腰直角三角形，
，，
，
为等腰直角三角形，，
，，
，；
，，
∽；
解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图：
，，
，
，，，
由，得直线解析式为；
为等腰直角三角形，，
为中点，
，
直线解析式为，
由得，
，
，
；
证明：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，过作轴于，如图：
，，
，
，
设，则，
，，
为等腰直角三角形，，
为中点，
，
，
，
，
在的垂直平分线上；
为等腰直角三角形，
，，
，
，
≌，
，，
，
；
点是的中点，
，
，，
，，
，
在的垂直平分线上，
是的垂直平分线．
【解析】由为等腰直角三角形，得，，，又为等腰直角三角形，，有，，，；故，，∽；
以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，由，，得，知，，，直线解析式为；而为中点，得，直线解析式为，由得，从而；
以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，过作轴于，由，，可得，设，则，，，即得，，故CD，在的垂直平分线上；根据为等腰直角三角形，证明≌，可得；而点是的中点，得，可得，，在的垂直平分线上，即可证是的垂直平分线．
本题考查相似三角形的判定与性质，设计等腰三角形性质及应用，全等三角形判定与性质，直角坐标系等知识，解题的关键是建立直角坐标系，用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
25.【答案】解：将和代入抛物线，
，
解得，
抛物线的解析式为；
解：当时，，
解得或，
，
，
抛物线的顶点为，
设的直线解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
同理可求点和抛物线顶点所在的直线解析式为，
当时，解得，
，
如图，过点作交于点，
当时，，
直线与轴的交点为，
，
在中，，
，，
，
，
解得，
，
，
，
；
证明：直线的解析式为，
设直线的解析式为，
当时，整理得，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
同理可求直线的解析式为，
，
，
当时，解得，
点在直线上运动．
【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
分别求出直线和点和抛物线顶点所在的直线解析式，建立方程求出点坐标，过点作交于点，在中，，利用等积法，求出，则分别可求，，再由，则；
由直线的解析式为，设直线的解析式为，当时，，分别求出直线的解析式为，直线的解析式为，由方程，可求，则点横坐标始终为，所以点在直线上运动．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键．
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