第三章 一元一次方程 单元测试题（含答案）2023-2024学年人教版七年级数学上册
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| 名称 | 第三章 一元一次方程 单元测试题（含答案）2023-2024学年人教版七年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 238.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-01 17:48:48 | ||
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文档简介
第三章 一元一次方程 单元测试题 2023-2024学年人教版七年级数学上册
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1. 下列方程是一元一次方程的是( )
A. B. C. D.
2. 方程 的解为( )
A. B. C. D.
3. 已知 ，则下列变形： ； ； ； ，其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 下列方程的变形正确的是( )
A. 由 移项，得
B. 由 去括号，得
C. 由 系数化为1，得
D. 由 去分母，得
5. 若关于 的方程 的解是3，则 的值为( )
A. 4 B. C. 5 D.
6. 小红在解关于 的方程 时，误将方程中的“ ”看成了“3”，求得方程的解为 ，则原方程的解为( )
A. B. C. D.
7. 整式 的值随 的取值不同而不同，下表是当 取不同值时对应的整式的值：
0 1 2
0 4
则关于 的方程 的解为( )
A. B. C. D.
8. 关于 的方程 与方程 的解相同，则 的值为( )
A. 4 B. C. 5 D.
9.如图，小明骑自行车从 地到 地，小美骑自行车从 地到 地，两人都以相同的速度匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米．设 ， 两地间的路程为 千米，则下列正确的是( )
A. 表示小明的速度 B. 依题意得
C. ， 两地之间路程为100千米 D. 两人的速度之和为18千米/时
10. 如图，表中给出的是某月的月历，在这张月历中任意选取“ ”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，这7个数的和不可能是( )
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
A. 63 B. 98 C. 140 D. 168
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知 是关于 的方程 的解，则 的值为_____.
12. 当 _____时，式子 与 的值互为相反数.
13. 轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2小时，若船速为54千米/时，水速为3千米/时，求A港和B港相距多少千米.设A港和B港相距 千米，根据题意，可列出的方程是_____.
14. 古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为_____斤．
15. 如图，在数轴上， ， 两点同时从原点 出发，分别以每秒2个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，运动的时间为 .若 ， 之间（含 ， 两点）恰好有4个整数点，则时间 的最小值是_____．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （8分）解方程：
（1） ； （2） .
17. （9分）设 ， 是任意两个有理数，规定 与 之间的一种运算“ ”为：
（1） 求 的值.
（2） 若 ，求 的值.
18. （9分）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程： ．
解：去分母，得 ，第一步
去括号，得 ，第二步
，得 ，第三步
合并同类项，得 ，第四步
方程两边同除以3，得 ．第五步
（1） 以上求解步骤中，第三步进行的是_____，这一步的依据是_____.
（2） 以上求解步骤中，第_____步开始出现错误，具体的错误原因是_____.
（3） 请写出正确解方程的过程．
19. （9分）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店中选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
类别价格 A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个） 40 30
销售价（元/个） 56 42
（1） 第一次小李用1 200元购进了A，B两款玩偶共35个，求两款玩偶各购进多少个？
（2） 小李第二次进货时，决定购进两款玩偶共80个．当他这两次购进的玩偶全部售完后，获得的利润为1 580元，则他第二次进货时A款玩偶购进了多少个？
20. （9分）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形．
（1） 每个长方体盒子有_____个侧面，有_____个底面.
（2） 长方形硬纸板以如图两种方法裁剪． 方法：剪3个侧面； 方法：剪2个侧面和2个底面．现有35张硬纸板，裁剪时 张用 方法，其余用 方法．
① 用含 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
② 若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
21.（10分）乐乐和丽丽所在的活动小组计划做一批中国结．如果每人做8个，那么比计划多了5个；如果每人做5个，那么比计划少25个．问题：该小组共有多少人？计划做多少个中国结？
她俩经过独立思考后，分别列出如下尚不完整的方程.
乐乐的方法： （ ）. （ ）.
丽丽的方法： ．
（1） 在乐乐、丽丽所列的方程中，“ ”中是运算符号，“（ ）.”中是数字，试分别指出未知数 ， 表示的意义.
（2） 试选择一种方法，将原题中的问题解答完成．
22. （10分）在数学社团的活动课上，同学们用天平和一些物品探究了等式的基本性质.该班科技创新小组的同学提出问题：仅用一架天平和一个10克的砝码能否测量出乒乓球和一次性纸杯的重量？科技创新小组的同学找来足够多的乒乓球和某种一次性纸杯（假设每个乒乓球的重量相同，每个纸杯的重量也相同），经过多次试验得到以下记录：
天平左边 天平右边 状态
记录一 6个乒乓球， 1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡
记录二 8个乒乓球 7个一次性纸杯， 1个10克的砝码 平衡
请算一算，一个乒乓球的重量是多少克？一个一次性纸杯的重量是多少克？
（1） 设一个乒乓球的重量是 克，则一个一次性纸杯的重量是_____克.（用含 的式子表示）
（2） 列一元一次方程求一个乒乓球的重量及一个一次性纸杯的重量.
23. （11分）综合与实践
北京时间2022年11月20日，卡塔尔世界杯开幕式在卡塔尔举行．世界杯期间，人们对足球的需求量增加．
【市场调研】
某班数学组对东东商场进行调研后了解到如下信息：
信息一
东东商场从厂家购进了 品牌足球7个， 品牌足球5个，共付款920元．已知每个 品牌足球比每个 品牌足球进价贵40元．
信息二
东东商场将 品牌足球按信息一中的进价提高 后标价，实际销售时再打折出售，此时每个 品牌足球仍可获利35元．
【问题解决】
（1） 设每个 品牌足球进价 元，则每个 品牌足球进价_____元，根据题意可列方程_____.
（2） 由（1）求得每个 品牌足球进价_____元，每个 品牌足球进价_____元.
【问题延伸】
（3） 利用一元一次方程求出信息二中 品牌足球的打折数．
参考答案
第三章 一元一次方程 单元测试题 2023-2024学年人教版七年级数学上册
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1. 下列方程是一元一次方程的是( C )
A. B. C. D.
2. 方程 的解为( C )
A. B. C. D.
3. 已知 ，则下列变形： ； ； ； ，其中正确的有( C )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 下列方程的变形正确的是( D )
A. 由 移项，得
B. 由 去括号，得
C. 由 系数化为1，得
D. 由 去分母，得
5. 若关于 的方程 的解是3，则 的值为( B )
A. 4 B. C. 5 D.
6. 小红在解关于 的方程 时，误将方程中的“ ”看成了“3”，求得方程的解为 ，则原方程的解为( A )
A. B. C. D.
7. 整式 的值随 的取值不同而不同，下表是当 取不同值时对应的整式的值：
0 1 2
0 4
则关于 的方程 的解为( B )
A. B. C. D.
8. 关于 的方程 与方程 的解相同，则 的值为( A )
A. 4 B. C. 5 D.
9.如图，小明骑自行车从 地到 地，小美骑自行车从 地到 地，两人都以相同的速度匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米．设 ， 两地间的路程为 千米，则下列正确的是( B )
A. 表示小明的速度 B. 依题意得
C. ， 两地之间路程为100千米 D. 两人的速度之和为18千米/时
10. 如图，表中给出的是某月的月历，在这张月历中任意选取“ ”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，这7个数的和不可能是( D )
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
A. 63 B. 98 C. 140 D. 168
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知 是关于 的方程 的解，则 的值为2 023.
12. 当 时，式子 与 的值互为相反数.
13. 轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2小时，若船速为54千米/时，水速为3千米/时，求A港和B港相距多少千米.设A港和B港相距 千米，根据题意，可列出的方程是 .
14. 古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤．
15. 如图，在数轴上， ， 两点同时从原点 出发，分别以每秒2个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，运动的时间为 .若 ， 之间（含 ， 两点）恰好有4个整数点，则时间 的最小值是1.5．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （8分）解方程：
（1） ；
解：去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 ．（4分）
（2） .
解：去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .（8分）
17. （9分）设 ， 是任意两个有理数，规定 与 之间的一种运算“ ”为：
（1） 求 的值.
解：根据题中的新定义，得 .（4分）
（2） 若 ，求 的值.
解：显然 ，则 .（6分）
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .（9分）
18. （9分）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程： ．
解：去分母，得 ，第一步
去括号，得 ，第二步
，得 ，第三步
合并同类项，得 ，第四步
方程两边同除以3，得 ．第五步
（1） 以上求解步骤中，第三步进行的是移项，这一步的依据是等式的基本性质1（或等式两边同时加上或者减去同一个数或整式，等式仍然成立）（2分）.
（2） 以上求解步骤中，第一步开始出现错误，具体的错误原因是等式的右边未乘分母的最小公倍数10（4分）.
（3） 请写出正确解方程的过程．
解： .
两边同乘10，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
方程两边同除以3，得 ．（9分）
19. （9分）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店中选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
类别价格 A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个） 40 30
销售价（元/个） 56 42
（1） 第一次小李用1 200元购进了A，B两款玩偶共35个，求两款玩偶各购进多少个？
解：设A款玩偶购进 个，则购进B款玩偶 个.
根据题意，得 ，解得 .（3分）
所以 ．
答：A款玩偶购进了15个，B款玩偶购进了20个.（5分）
（2） 小李第二次进货时，决定购进两款玩偶共80个．当他这两次购进的玩偶全部售完后，获得的利润为1 580元，则他第二次进货时A款玩偶购进了多少个？
解：设第二次进货时购进A款玩偶 个，则购进B款玩偶 个．
由题意，得 ，解得 ．
答：第二次进货时购进A款玩偶35个．（9分）
20. （9分）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形．
（1） 每个长方体盒子有4个侧面，有2（2分）个底面.
（2） 长方形硬纸板以如图两种方法裁剪． 方法：剪3个侧面； 方法：剪2个侧面和2个底面．现有35张硬纸板，裁剪时 张用 方法，其余用 方法．
① 用含 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
解： 方法裁剪出侧面的个数为 ， 方法裁剪出侧面的个数为 ，裁剪出底面的个数为 ，
所以裁剪出的侧面共有 个，底面共有 个.（5分）
② 若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
解：根据题意,可得 ,解得 .
所以 .
答：能做21个盒子．（9分）
21.（10分）乐乐和丽丽所在的活动小组计划做一批中国结．如果每人做8个，那么比计划多了5个；如果每人做5个，那么比计划少25个．问题：该小组共有多少人？计划做多少个中国结？
她俩经过独立思考后，分别列出如下尚不完整的方程.
乐乐的方法： （ ）. （ ）.
丽丽的方法： ．
（1） 在乐乐、丽丽所列的方程中，“ ”中是运算符号，“（ ）.”中是数字，试分别指出未知数 ， 表示的意义.
解：未知数 表示的是该小组人数，未知数 表示的是计划做中国结的个数．（4分）
（2） 试选择一种方法，将原题中的问题解答完成．
解：设该小组有 人.
由题意，得 ，解得 ．
计划做中国结的个数为 ．
答：该小组共有10人，计划做75个中国结．（10分）
22. （10分）在数学社团的活动课上，同学们用天平和一些物品探究了等式的基本性质.该班科技创新小组的同学提出问题：仅用一架天平和一个10克的砝码能否测量出乒乓球和一次性纸杯的重量？科技创新小组的同学找来足够多的乒乓球和某种一次性纸杯（假设每个乒乓球的重量相同，每个纸杯的重量也相同），经过多次试验得到以下记录：
天平左边 天平右边 状态
记录一 6个乒乓球， 1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡
记录二 8个乒乓球 7个一次性纸杯， 1个10克的砝码 平衡
请算一算，一个乒乓球的重量是多少克？一个一次性纸杯的重量是多少克？
（1） 设一个乒乓球的重量是 克，则一个一次性纸杯的重量是 （4分）克.（用含 的式子表示）
（2） 列一元一次方程求一个乒乓球的重量及一个一次性纸杯的重量.
解：2
解：由题意，得 ，解得 .（8分）
所以 .
答：一个乒乓球的重量是3克，一个一次性纸杯的重量是2克.（10分）
23. （11分）综合与实践
北京时间2022年11月20日，卡塔尔世界杯开幕式在卡塔尔举行．世界杯期间，人们对足球的需求量增加．
【市场调研】
某班数学组对东东商场进行调研后了解到如下信息：
信息一
东东商场从厂家购进了 品牌足球7个， 品牌足球5个，共付款920元．已知每个 品牌足球比每个 品牌足球进价贵40元．
信息二
东东商场将 品牌足球按信息一中的进价提高 后标价，实际销售时再打折出售，此时每个 品牌足球仍可获利35元．
【问题解决】
（1） 设每个 品牌足球进价 元，则每个 品牌足球进价 元，根据题意可列方程 （4分）.
（2） 由（1）求得每个 品牌足球进价60元，每个 品牌足球进价100（8分）元.
【问题延伸】
（3） 利用一元一次方程求出信息二中 品牌足球的打折数．
解：设 品牌足球的打折数是 ．
根据题意，得 ，解得 ．
答： 品牌足球打九折．（11分）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1. 下列方程是一元一次方程的是( )
A. B. C. D.
2. 方程 的解为( )
A. B. C. D.
3. 已知 ，则下列变形： ； ； ； ，其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 下列方程的变形正确的是( )
A. 由 移项，得
B. 由 去括号，得
C. 由 系数化为1，得
D. 由 去分母，得
5. 若关于 的方程 的解是3，则 的值为( )
A. 4 B. C. 5 D.
6. 小红在解关于 的方程 时，误将方程中的“ ”看成了“3”，求得方程的解为 ，则原方程的解为( )
A. B. C. D.
7. 整式 的值随 的取值不同而不同，下表是当 取不同值时对应的整式的值：
0 1 2
0 4
则关于 的方程 的解为( )
A. B. C. D.
8. 关于 的方程 与方程 的解相同，则 的值为( )
A. 4 B. C. 5 D.
9.如图，小明骑自行车从 地到 地，小美骑自行车从 地到 地，两人都以相同的速度匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米．设 ， 两地间的路程为 千米，则下列正确的是( )
A. 表示小明的速度 B. 依题意得
C. ， 两地之间路程为100千米 D. 两人的速度之和为18千米/时
10. 如图，表中给出的是某月的月历，在这张月历中任意选取“ ”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，这7个数的和不可能是( )
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
A. 63 B. 98 C. 140 D. 168
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知 是关于 的方程 的解，则 的值为_____.
12. 当 _____时，式子 与 的值互为相反数.
13. 轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2小时，若船速为54千米/时，水速为3千米/时，求A港和B港相距多少千米.设A港和B港相距 千米，根据题意，可列出的方程是_____.
14. 古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为_____斤．
15. 如图，在数轴上， ， 两点同时从原点 出发，分别以每秒2个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，运动的时间为 .若 ， 之间（含 ， 两点）恰好有4个整数点，则时间 的最小值是_____．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （8分）解方程：
（1） ； （2） .
17. （9分）设 ， 是任意两个有理数，规定 与 之间的一种运算“ ”为：
（1） 求 的值.
（2） 若 ，求 的值.
18. （9分）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程： ．
解：去分母，得 ，第一步
去括号，得 ，第二步
，得 ，第三步
合并同类项，得 ，第四步
方程两边同除以3，得 ．第五步
（1） 以上求解步骤中，第三步进行的是_____，这一步的依据是_____.
（2） 以上求解步骤中，第_____步开始出现错误，具体的错误原因是_____.
（3） 请写出正确解方程的过程．
19. （9分）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店中选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
类别价格 A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个） 40 30
销售价（元/个） 56 42
（1） 第一次小李用1 200元购进了A，B两款玩偶共35个，求两款玩偶各购进多少个？
（2） 小李第二次进货时，决定购进两款玩偶共80个．当他这两次购进的玩偶全部售完后，获得的利润为1 580元，则他第二次进货时A款玩偶购进了多少个？
20. （9分）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形．
（1） 每个长方体盒子有_____个侧面，有_____个底面.
（2） 长方形硬纸板以如图两种方法裁剪． 方法：剪3个侧面； 方法：剪2个侧面和2个底面．现有35张硬纸板，裁剪时 张用 方法，其余用 方法．
① 用含 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
② 若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
21.（10分）乐乐和丽丽所在的活动小组计划做一批中国结．如果每人做8个，那么比计划多了5个；如果每人做5个，那么比计划少25个．问题：该小组共有多少人？计划做多少个中国结？
她俩经过独立思考后，分别列出如下尚不完整的方程.
乐乐的方法： （ ）. （ ）.
丽丽的方法： ．
（1） 在乐乐、丽丽所列的方程中，“ ”中是运算符号，“（ ）.”中是数字，试分别指出未知数 ， 表示的意义.
（2） 试选择一种方法，将原题中的问题解答完成．
22. （10分）在数学社团的活动课上，同学们用天平和一些物品探究了等式的基本性质.该班科技创新小组的同学提出问题：仅用一架天平和一个10克的砝码能否测量出乒乓球和一次性纸杯的重量？科技创新小组的同学找来足够多的乒乓球和某种一次性纸杯（假设每个乒乓球的重量相同，每个纸杯的重量也相同），经过多次试验得到以下记录：
天平左边 天平右边 状态
记录一 6个乒乓球， 1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡
记录二 8个乒乓球 7个一次性纸杯， 1个10克的砝码 平衡
请算一算，一个乒乓球的重量是多少克？一个一次性纸杯的重量是多少克？
（1） 设一个乒乓球的重量是 克，则一个一次性纸杯的重量是_____克.（用含 的式子表示）
（2） 列一元一次方程求一个乒乓球的重量及一个一次性纸杯的重量.
23. （11分）综合与实践
北京时间2022年11月20日，卡塔尔世界杯开幕式在卡塔尔举行．世界杯期间，人们对足球的需求量增加．
【市场调研】
某班数学组对东东商场进行调研后了解到如下信息：
信息一
东东商场从厂家购进了 品牌足球7个， 品牌足球5个，共付款920元．已知每个 品牌足球比每个 品牌足球进价贵40元．
信息二
东东商场将 品牌足球按信息一中的进价提高 后标价，实际销售时再打折出售，此时每个 品牌足球仍可获利35元．
【问题解决】
（1） 设每个 品牌足球进价 元，则每个 品牌足球进价_____元，根据题意可列方程_____.
（2） 由（1）求得每个 品牌足球进价_____元，每个 品牌足球进价_____元.
【问题延伸】
（3） 利用一元一次方程求出信息二中 品牌足球的打折数．
参考答案
第三章 一元一次方程 单元测试题 2023-2024学年人教版七年级数学上册
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1. 下列方程是一元一次方程的是( C )
A. B. C. D.
2. 方程 的解为( C )
A. B. C. D.
3. 已知 ，则下列变形： ； ； ； ，其中正确的有( C )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 下列方程的变形正确的是( D )
A. 由 移项，得
B. 由 去括号，得
C. 由 系数化为1，得
D. 由 去分母，得
5. 若关于 的方程 的解是3，则 的值为( B )
A. 4 B. C. 5 D.
6. 小红在解关于 的方程 时，误将方程中的“ ”看成了“3”，求得方程的解为 ，则原方程的解为( A )
A. B. C. D.
7. 整式 的值随 的取值不同而不同，下表是当 取不同值时对应的整式的值：
0 1 2
0 4
则关于 的方程 的解为( B )
A. B. C. D.
8. 关于 的方程 与方程 的解相同，则 的值为( A )
A. 4 B. C. 5 D.
9.如图，小明骑自行车从 地到 地，小美骑自行车从 地到 地，两人都以相同的速度匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米．设 ， 两地间的路程为 千米，则下列正确的是( B )
A. 表示小明的速度 B. 依题意得
C. ， 两地之间路程为100千米 D. 两人的速度之和为18千米/时
10. 如图，表中给出的是某月的月历，在这张月历中任意选取“ ”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，这7个数的和不可能是( D )
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
A. 63 B. 98 C. 140 D. 168
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知 是关于 的方程 的解，则 的值为2 023.
12. 当 时，式子 与 的值互为相反数.
13. 轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2小时，若船速为54千米/时，水速为3千米/时，求A港和B港相距多少千米.设A港和B港相距 千米，根据题意，可列出的方程是 .
14. 古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤．
15. 如图，在数轴上， ， 两点同时从原点 出发，分别以每秒2个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，运动的时间为 .若 ， 之间（含 ， 两点）恰好有4个整数点，则时间 的最小值是1.5．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （8分）解方程：
（1） ；
解：去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 ．（4分）
（2） .
解：去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .（8分）
17. （9分）设 ， 是任意两个有理数，规定 与 之间的一种运算“ ”为：
（1） 求 的值.
解：根据题中的新定义，得 .（4分）
（2） 若 ，求 的值.
解：显然 ，则 .（6分）
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .（9分）
18. （9分）下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程： ．
解：去分母，得 ，第一步
去括号，得 ，第二步
，得 ，第三步
合并同类项，得 ，第四步
方程两边同除以3，得 ．第五步
（1） 以上求解步骤中，第三步进行的是移项，这一步的依据是等式的基本性质1（或等式两边同时加上或者减去同一个数或整式，等式仍然成立）（2分）.
（2） 以上求解步骤中，第一步开始出现错误，具体的错误原因是等式的右边未乘分母的最小公倍数10（4分）.
（3） 请写出正确解方程的过程．
解： .
两边同乘10，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
方程两边同除以3，得 ．（9分）
19. （9分）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店中选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
类别价格 A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个） 40 30
销售价（元/个） 56 42
（1） 第一次小李用1 200元购进了A，B两款玩偶共35个，求两款玩偶各购进多少个？
解：设A款玩偶购进 个，则购进B款玩偶 个.
根据题意，得 ，解得 .（3分）
所以 ．
答：A款玩偶购进了15个，B款玩偶购进了20个.（5分）
（2） 小李第二次进货时，决定购进两款玩偶共80个．当他这两次购进的玩偶全部售完后，获得的利润为1 580元，则他第二次进货时A款玩偶购进了多少个？
解：设第二次进货时购进A款玩偶 个，则购进B款玩偶 个．
由题意，得 ，解得 ．
答：第二次进货时购进A款玩偶35个．（9分）
20. （9分）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形．
（1） 每个长方体盒子有4个侧面，有2（2分）个底面.
（2） 长方形硬纸板以如图两种方法裁剪． 方法：剪3个侧面； 方法：剪2个侧面和2个底面．现有35张硬纸板，裁剪时 张用 方法，其余用 方法．
① 用含 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
解： 方法裁剪出侧面的个数为 ， 方法裁剪出侧面的个数为 ，裁剪出底面的个数为 ，
所以裁剪出的侧面共有 个，底面共有 个.（5分）
② 若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
解：根据题意,可得 ,解得 .
所以 .
答：能做21个盒子．（9分）
21.（10分）乐乐和丽丽所在的活动小组计划做一批中国结．如果每人做8个，那么比计划多了5个；如果每人做5个，那么比计划少25个．问题：该小组共有多少人？计划做多少个中国结？
她俩经过独立思考后，分别列出如下尚不完整的方程.
乐乐的方法： （ ）. （ ）.
丽丽的方法： ．
（1） 在乐乐、丽丽所列的方程中，“ ”中是运算符号，“（ ）.”中是数字，试分别指出未知数 ， 表示的意义.
解：未知数 表示的是该小组人数，未知数 表示的是计划做中国结的个数．（4分）
（2） 试选择一种方法，将原题中的问题解答完成．
解：设该小组有 人.
由题意，得 ，解得 ．
计划做中国结的个数为 ．
答：该小组共有10人，计划做75个中国结．（10分）
22. （10分）在数学社团的活动课上，同学们用天平和一些物品探究了等式的基本性质.该班科技创新小组的同学提出问题：仅用一架天平和一个10克的砝码能否测量出乒乓球和一次性纸杯的重量？科技创新小组的同学找来足够多的乒乓球和某种一次性纸杯（假设每个乒乓球的重量相同，每个纸杯的重量也相同），经过多次试验得到以下记录：
天平左边 天平右边 状态
记录一 6个乒乓球， 1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡
记录二 8个乒乓球 7个一次性纸杯， 1个10克的砝码 平衡
请算一算，一个乒乓球的重量是多少克？一个一次性纸杯的重量是多少克？
（1） 设一个乒乓球的重量是 克，则一个一次性纸杯的重量是 （4分）克.（用含 的式子表示）
（2） 列一元一次方程求一个乒乓球的重量及一个一次性纸杯的重量.
解：2
解：由题意，得 ，解得 .（8分）
所以 .
答：一个乒乓球的重量是3克，一个一次性纸杯的重量是2克.（10分）
23. （11分）综合与实践
北京时间2022年11月20日，卡塔尔世界杯开幕式在卡塔尔举行．世界杯期间，人们对足球的需求量增加．
【市场调研】
某班数学组对东东商场进行调研后了解到如下信息：
信息一
东东商场从厂家购进了 品牌足球7个， 品牌足球5个，共付款920元．已知每个 品牌足球比每个 品牌足球进价贵40元．
信息二
东东商场将 品牌足球按信息一中的进价提高 后标价，实际销售时再打折出售，此时每个 品牌足球仍可获利35元．
【问题解决】
（1） 设每个 品牌足球进价 元，则每个 品牌足球进价 元，根据题意可列方程 （4分）.
（2） 由（1）求得每个 品牌足球进价60元，每个 品牌足球进价100（8分）元.
【问题延伸】
（3） 利用一元一次方程求出信息二中 品牌足球的打折数．
解：设 品牌足球的打折数是 ．
根据题意，得 ，解得 ．
答： 品牌足球打九折．（11分）