14.2 乘法公式本节综合题（含解析）

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14.2 乘法公式本节综合题
一、单选题
1．下列算式能用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若，则（　　）
A．12 B．11 C．10 D．9
3．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3=a5 B．（﹣a3）2=a6
C．3a2 2a3=6a6 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列计算中正确的是（　　）
A．2a+3a=5a B．a3·a2=a6 C．(a-b)2=a2+b2 D．(-a2)3=-a5
6．计算 （　　）
A． B．
C． D．
7．下列运算，正确的是 （　　）
A．2x+3y=5xy B．
C． D．
8．在下列去括号或添括号的变形中，错误的是（　　）
A．a－（b－c）＝a－b＋c
B．a－b－c＝a－（b＋c）
C．（a＋1）－（－b＋c）＝1＋b＋a＋c
D．a－b＋c－d＝a－（b＋d－c）
9．下列式子正确的有（　　）个．
（1）（a+1）2＝a2+1（2）（3x2y+xy）+xy＝3x（3）（﹣2ab2）3＝8a3b6；（4）（1﹣x）2（x﹣1）2＝（1﹣x）4（5）（﹣a+b）（b﹣a）＝a2﹣b2
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（　　）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．a2+ab=a（a+b）
11．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（　　)
A．（a+b）（a-b）=a2-b2 B．（a-b）2=a2-2ab+b2
C．a（a+b）=a2+ab D．a（a-b）=a2-ab
12．已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（　　）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
13．式子 化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
14．计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1的值是（　　）
A．1024 B．28+1 C．216+1 D．216
二、填空题
15．若x+y＝3，且xy＝1，则代数式x2+y2的值为 　 　．
三、计算题
16．计算：
（1）2a3 （a2）3÷a；
（2）π0+ +；
（3）2m（m﹣n）﹣（m﹣n）2；
（4）（2a﹣b﹣c）（2a+b﹣c）．
17．先化简，再求值（x﹣2）2+2（x+2）（x+4）﹣（x﹣3）（x+3）；其中x=﹣1．
四、解答题
18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4、12、20都是这种“神秘数”．
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；
（2）试说明神秘数能被4整除；
（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．
19．已知m+n=8，mn=15，求m2﹣mn+n2的值．
五、综合题
20．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)．
（1）图1中阴影部分面积为　 　，图2中阴影部分面积为　 　，对照两个图形的面积可以验证　 　公式(填公式名称)请写出这个乘法公式　 　．
（2）应用(1)中的公式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝15，x+2y＝3，求x﹣2y的值；
②计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1．
六、实践探究题
21．阅读材料并回答问题：
我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图①或图②中图形的面积表示.
（1）请写出图③所表示的代数恒等式；
（2）试画一个几何图形，使它的面积可用（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2表示；
（3）请依照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出它对应的几何图形.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A. ，不能用平方差公式计算，不合题意；
B. ，不能用平方差公式计算，不合题意；
C. ，不能用平方差公式计算，不合题意；
D. ，符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据平方差公式的结构特征判断即可．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】利用平方差公式可得，再求出k的值即可。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误；
B、（﹣a3）2=a6，正确；
C、3a2 2a3=6a5，故此选项错误；
D、（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab，故此选项错误．
故选：B．
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则和单项式乘以单项式运算法则分别计算得出答案．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A．，此项不符合题意；
B．，此项不符合题意；
C．，此项符合题；
D．，此项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂的除法、完全平方公式、单项式乘单项式和幂的乘方逐项判断即可。
5．【答案】A
【解析】【解答】A、2a+3a=5a，此项正确；
B、a3 a2=a5，此项错误；
C、(a-b)2=a2-2ab+b2，此项错误；
D、(-a2)3=-a6，此项错误；
故本题答案应为：A.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方法则及完全平方公式分析计算即可.
6．【答案】D
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】可根据平方差公式进行计算，即(a+b)(a-b)=a2-b2.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：A、2x+3y，无法计算，故此选项错误；
B、（x-3）2=x2-6x+9≠x2-9，故此选项错误；
C、（xy2）2=x2y4，故此选项正确；
D、 ，无法计算，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A、D；根据完全平方公式的展开式是一个三项式即可判断B；根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：A、原式=a-b+c，此选项正确，不符合题意；
B、原式=a-（b+c），此选项正确，不符合题意；
C、原式=a+1+b-c=1+b+a-c，此选项错误，符合题意；
D、原式=a-（b-c+d）=a-（b+d-c），此选项正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用去括号的法则：括号前是“+”号，去掉括号和“+”号，括号里的各项的符号都不变；括号前是“-”号，去掉括号和“-”号，括号里的各项的符号都要变号，据此可对A，C作出判断；利用添括号的法则：括号前是“+”号，括到括号里的各项的符号都不变；括号前是“-”号，括到括号里的各项的符号都要变号，可对B，D作出判断.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：，（1）错误；
，（2）错误；
，（3）错误；
，（4）正确；
，（5）错误，
正确的个数为1
故答案为：A
【分析】利用完全平方公式，平方差公式，合并同类项法则，幂的乘方法则计算求解即可。
10．【答案】C
【解析】【解答】正方形中，S阴影=a -b ；
梯形中，S阴影= （2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；
故所得恒等式为：a -b =（a+b）（a-b）．故答案为：C．
【分析】利用两种方法表示同一图形面积，即公式法和作差法，二者相等，构建等式，这就是面积法.
11．【答案】B
【解析】【分析】根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．
【解答】大正方形的面积=（a-b)2，
还可以表示为a2-2ab+b2，
∴（a-b)2=a2-2ab+b2．
故选B．
【点评】正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力
12．【答案】B
【解析】【解答】解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2 26＋1＝（26＋1）2，
此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2 211＋1＝（211＋1）2，
此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2 26 2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，
此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14.
故答案为：B.
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可.
13．【答案】C
【解析】【解答】解：设S= ，
∴（2—1）S=（2—1）
∴S=
=
=
= ，
故答案为：C.
【分析】利用添项法，构造平方差公式计算即可.
14．【答案】D
【解析】【解答】解：原式＝(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
＝(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
＝(24﹣1)(24+1)(28+1)+1
＝(28﹣1)(28+1)+1
＝216﹣1+1
＝216，
故答案为：D．
【分析】先在(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)前面乘以变形的1，即（2-1），利用两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，把(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)变成可以运用平方差公式的形式，再利用平方差公式计算即可.
15．【答案】7
【解析】【解答】解：，
，
，
当，时，
原式，
，
故答案为：7．
【分析】先将代数式变形为，再将x+y＝3，xy＝1代入计算即可。
16．【答案】（1）解：原式＝2a9÷a＝2a8
（2）解：原式＝1﹣8+9＝2
（3）解：原式＝2m2﹣2mn﹣m2+2mn﹣n2＝m2﹣n2
（4）解：原式＝（2a﹣c）2﹣b2＝4a2﹣4ac+c2﹣b2
【解析】【【分析】（1）原式利用幂的乘方运算法则，以及同底数幂的乘除法则计算即可求出值；（2）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；（3）原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；（4）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果．
17．【答案】解：原式=x2﹣4x+4+2（x2+6x+8）﹣（x2﹣9）=x2﹣4x+4+2x2+12x+16- x2 +9= 2x2 +8x+29将x=﹣1代入得原式=2×（﹣1）2﹣8×（﹣1）+29=19
【解析】【分析】先利用整式的乘法，完全平方公式，平方差公式计算，再进一步合并化简后，代入数值求得答案即可．
18．【答案】解：（1）是，理由如下：
∵28=82﹣62，2012=5042﹣5022，
∴28是“神秘数”；2012是“神秘数”；
（2）“神秘数”是4的倍数．理由如下：
（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∴“神秘数”是4的倍数；
（3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，则
（2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k，
而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
【解析】【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
19．【答案】解：∵m+n=8，mn=15，
∴m2﹣mn+n2=（m+n）2﹣3mn=82﹣3×15=19．
即m2﹣mn+n2的值是19．
【解析】【分析】首先将m2﹣mn+n2配方，进而结合已知代入求出即可．
20．【答案】（1）a2﹣b2；(a+b)(a﹣b)；平方差；a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)
（2）①∵x2﹣4y2＝(x+2y)(x﹣2y)，
∴15＝3(x﹣2y)，
∴x﹣2y＝5；
②(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1
＝(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1
＝(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1
＝(24﹣1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1
＝(28﹣1)(28+1)……(264+1)+1
＝(264﹣1)(264+1)+1
＝2128﹣1+1
＝2128．
【解析】【解答】解：(1)图1中阴影部分面积为a2﹣b2，图2中阴影部分面积为(a+b)(a﹣b)，
对照两个图形的面积可以验证平方差公式：a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)．
故答案为：a2﹣b2，(a+b)(a﹣b)，平方差，a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)．
【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式；（2）①把x2﹣4y2利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把x+2y＝4代入即可求解；②利用平方差公式化成式子相乘的形式即可求解．
21．【答案】（1）解： （2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；
（2）解： 如图①所示；
（3）解： 代数恒等式是：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，如图②所示.
【解析】【分析】（1）③中矩形的长为2a+b，宽为a+2b，然后根据矩形的面积公式以及面积间的和差关系进行解答；
（2）画出一个矩形，使其长为a+3b，宽为a+b即可；
（3）代数恒等式是：(a+2b)(a+b)＝a2+3ab+2b2， 然后根据矩形的面积公式可得矩形的长与宽，进而画出图形.
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