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（总课时12）§2.3用公式法求解一元二次方程 （1）
一.选择题：
1．一元二次方程的根的情况是（C）[]
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定
2.下列方程中，原方程无解的是（ A ）A.x2+3x+7=0 B.x2-4=0 C.x2+x-1=0 D.-x2+2x-1=0
3.关于x的方程有实数根是 ( C ）
A. B. C. D.
4.等腰三角形一条边的长为3，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程 A H D
K
B C
的两个根，则k的值是（ B ）A．27 B．36 C．27或36 D．18
5.关于x的一元二次方程，给出下列说法：①若，则方程必有两个实数根；②若，则方程必有两个实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是( A )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二.填空题：6.不解方程，判断方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有 1 个.
7.关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有实数根，则k的取值范围是
8.已知关于x的方程x2-6x+c=0的一个根是2，那么c＝ 8 ，另一根为4__．
9．菱形的两条对角线长分别是方程x2-14x+48=0的两实根，则菱形的面积为 24 .
10.关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为_ 1 _．
三.解答题：11.已知关于x的一元二次方程 mx2+mx+m-1=0有两个相等的实数根．
（1）求m的值；（2）解原方程．
【答案】（1）2，（2）x1=x2=-1．
12.解方程：（1）x2-3x-7=0 （2）x（x-2）=3x+1 （3）7x2 -28x +7= 0 （4）(x+1)(x+8)=-12
(1) (2) （3）；（4）
13.如图，在宽为20m，长为32m矩形地面上修筑宽度一样的道路（图中阴影部分），余下的种植草坪，要使其草坪面积为540m2，则宽为多少
解：设道路得宽为xm，根据题意得：(32-x)(20-x)=540，
整理得：x2-52x+100=0，
解得：x=2或x=50（不合题意，舍去），道路的宽为2m．
14.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长
解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，∴，；根据勾股定理可得：c2＝a2＋b2＝9，∴c＝3，即直角三角形的斜边长为3．故答案为3．
15.已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
解：（1）证明：△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=，x1=，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．
16.(2018·北京)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.(1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；解：由题意知，a≠0，Δ＝b2－4ac＝(a＋2)2－4a＝a2＋4.∵a2>0，∴Δ>0，∴当b＝a＋2时，该方程有两个不相等的实数根．
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
解：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4a＝0.若b＝2，a＝1，则方程可变形为x2＋2x＋1＝0.
解得x1＝x2＝－1.
四.提高题：
17.先阅读下列材料，然后回答问题：
在关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，若各项的系数之和为零，即a＋b＋c＝0，则有一根为1，另一根为.证明：设方程的两根为x1，x2，由a＋b＋c＝0，知b＝－(a＋c)，
∵x＝＝，∴x1＝1，x2＝.
(1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的各项系数满足a－b＋c＝0，请直接写出此方程的两根；
(2)已知方程(ac－bc)x2＋(bc－ab)x＋(ab－ac)＝0有两个相等的实数根，运用上述结论证明：.
解(1)x1＝－1，x2＝－，证明如下：设方程的两根为x1，x2，由a-b＋c＝0，知b＝a＋c，
∵x＝＝，∴x1＝-1，x2＝；
(2)∵(ac－bc)＋(bc－ab)＋(ab－ac)＝0，且方程(ac－bc)x2＋(bc－ab)x＋(ab－ac)＝0有两个相等的实数根，
∴x1＝x2＝1，∴，即ab＋bc＝2ac，两边都除以abc，得.
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（总课时12）§2.3用公式法求解一元二次方程 （1）
一.选择题：
1．一元二次方程的根的情况是（ ）[]
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定
2.下列方程中，原方程无解的是（ ）A.x2+3x+7=0 B.x2-4=0 C.x2+x-1=0 D.-x2+2x-1=0
3.关于x的方程有实数根是 ( ）
A. B. C. D.
4.等腰三角形一条边的长为3，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程 A H D
K
B C
的两个根，则k的值是（ ）A．27 B．36 C．27或36 D．18
5.关于x的一元二次方程，给出下列说法：①若，则方程必有两个实数根；②若，则方程必有两个实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二.填空题：6.不解方程，判断方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有 个.
7.关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有实数根，则k的取值范围是
8.已知关于x的方程x2-6x+c=0的一个根是2，那么c＝ ，另一根为_____．
9．菱形的两条对角线长分别是方程x2-14x+48=0的两实根，则菱形的面积为 .
10.关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为_ _．
三.解答题：11.已知关于x的一元二次方程 mx2+mx+m-1=0有两个相等的实数根．
（1）求m的值；（2）解原方程．
12.解方程：（1）x2-3x-7=0 （2）x（x-2）=3x+1 （3）7x2 -28x +7= 0 （4）(x+1)(x+8)=-12
13.如图，在宽为20m，长为32m矩形地面上修筑宽度一样的道路（图中阴影部分），余下的种植草坪，要使其草坪面积为540m2，则宽为多少
14.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长.
15.已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
16.(2018·北京)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.
(1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
四.提高题：
17.先阅读下列材料，然后回答问题：
在关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，若各项的系数之和为零，即a＋b＋c＝0，则有一根为1，另一根为.证明：设方程的两根为x1，x2，由a＋b＋c＝0，知b＝－(a＋c)，
∵x＝＝，∴x1＝1，x2＝.
(1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的各项系数满足a－b＋c＝0，请直接写出此方程的两根；
(2)已知方程(ac－bc)x2＋(bc－ab)x＋(ab－ac)＝0有两个相等的实数根，运用上述结论证明：.
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（总课时12）§2.3用公式法求解一元二次方程 （1）
【学习目标】理解公式法实质是配方法；会用公式法解方程；会用根的判别式判别根的情况．
【学习重难点】会用公式法解方程；会用根的判别式判别根的情况．
【导学过程】
一.知识回顾：
用配方法求解方程：(1) 2x2+3=7x （2）x2- ( http: / / www.21cnjy.com )7x=18 （3）3x2+2x+1=0
二.探究新知：
1．用配方法求解方程：
①系化1得： ①系化1
②移项得： ②移项
③配方得：. ③配方
④变形得： ④变形
⑤直接开平方得： （） ⑤直接开平方
⑥求解得：或 或⑥求解
⑦定解得： 或⑦定解
小结1：对于一元二次方程，当时，它的求根公式为：
______________________，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
三.典例与练习：
例1．用公式法解下列方程
（1） （2）
练习1．你能解一元二次方程吗？
2．对于一元二次方程，当，它的根的情况是怎样的？
小结2：一元二次方程的根的情况可由____________来判定，
我们把它叫做一元二次方程的根的判别式，用“_ _”表示．
当时，方程有 ；当时，方程有 ；
当时，方程有 ．
例2．不解方程，判断下列方程的根的情况
（1） （2） （3）
练习3．先判断下列方程根的情况，若有根再用公式法求根：
（1） （2）
（3） （4）
四.课堂小结：1.一元二次方程求根公式: （）.
2.根的判别式: >0方程有_________实数根； <0方程_______实数根； =0方程有________实数根.
五.分层过关：
1．方程化为一般形式是___________，a=___，b=____，c=___，方程的根x=_________________．
2．方程的解表示正确的是（ ）
A． B． C ． D．
3．不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1） （2） （3）
4．用公式法解下列方程：
（1） （2） （3） （4）
5.准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，(如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，求小路的宽度．
6.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_____.
7.已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2=0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含k的式子表示）；
（3）如果此方程的根刚好是某个等边三角形的边长，求k的值．
思考题：观察下列方程：①；②；
③；④；⑤；…
上面每一个方程的二次项系数都是2，各个方程的解都不同，
但每个方程的值均为1．
请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是2，
且每个方程的的值也都是1，但每个方程的解与已知
的5个方程的解都不相同．
(2)对于一般形式的一元二次方程（a≠0，≥0），
能否作出一个新方程，使与相等？
若能，请写出所作的新的方程（，需用a，b，c表示），并说明理由；
若不能，也请说明理由．
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（总课时12）§2.3用公式法求解一元二次方程 （1）
【学习目标】理解公式法实质是配方法；会用公式法解方程；会用根的判别式判别根的情况．
【学习重难点】会用公式法解方程；会用根的判别式判别根的情况．
【导学过程】
一.知识回顾
用配方法求解方程：(1) 2x2+3=7x （2）x2- ( http: / / www.21cnjy.com )7x=18 （3）3x2+2x+1=0
(2) x1=-2, x2=9 (3) 无解
二.探究新知：
用配方法求解方程：
①系化1得： ①系化1
②移项得： ②移项
③配方得：. ③配方
④变形得： ④变形
⑤直接开平方得： （） ⑤直接开平方
⑥求解得：或 或⑥求解
⑦定解得： 或⑦定解
小结1：对于一元二次方程，当时，它的求根公式为：
_ __，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
三.典例与练习：
例1．用公式法解下列方程
（1） （2）
解：∵ =49+72=121 ∴ ∵ =0∴
∴x1=9,x2=-2
练习1．你能解一元二次方程吗？
解：∵ =-8<0∴原方程无解.
2．对于一元二次方程，当，它的根的情况是怎样的？无解
小结2：一元二次方程的根的情况可由 的符号来判定，
我们把它叫做一元二次方程的根的判别式，用“_ _”表示．
当时，方程有 两个不相等的实数根 ；当时，方程有两个相等的实数根 ；
当时，方程 无实数根 ．
例2．不解方程，判断下列方程的根的情况
（1） （2） （3）
解：(1), (2), (3)
∵ =9>0∴程有两个不相等的实数根. =-32<0∴方程无实数根. ∵ =0∴方程有两个相等的实数根
练习3．先判断下列方程根的情况，若有根再用公式法求根：
（1） （2）
解：（1） (2) x1=x2=
（3） （4）
(3)∵ =-11<0∴无解 （4）
四.课堂小结：1.一元二次方程求根公式: （）.
2.根的判别式: >0方程有两个不相等的实数根； <0方程无实数根； =0方程有两个相等的实数根.
五.分层过关：
1．方程化为一般形式是__，a=3，b=-7，c=-8，方程的根x=_________________.
2．方程的解表示正确的是（ B ）
A． B． C ． D．
3．不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1） （2） （3）
（1）∵ =141>0∴方程有两个不等实根；（2）∵ =0∴方程有两个相等实根；（3）∵ =-7<0∴方程无实根
4．用公式法解下列方程：
（1） （2） （3） （4）
（1） (2)x1=2 (3) t1=t2= (4) =-175<0 方程无实根
5.准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，(如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，求小路的宽度．
解：设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，
由题意得：（30+4x+24+4x）x=80
整理得：4x2+27x-40=0
解得：x1=-8(舍去)x2=1.25.答：小路的宽度为1.25米
6.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_____.
7.（2018·北京期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2=0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含k的式子表示）；（3）如果此方程的根刚好是某个等边三角形的边长，求k的值．
解：（1）依题意，得.∵，
∴此方程总有两个实数根.
（2）由求根公式，得.∴
（3）∵此方程的根刚好是某个等边三角形的边长，∴k-1=2.∴k=3.
思考题：观察下列方程：①；②；③；
④；⑤；…
上面每一个方程的二次项系数都是2，各个方程的解都不同，但每个方程的值均为1．
（1）请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同．
（2）对于一般形式的一元二次方程（a≠0，≥0），能否作出一个新方程，使与相等？若能，请写出所作的新的方程（，需用a，b，c表示），并说明理由；若不能，也请说明理由．
解（1）答案不惟一，如；
（2）能，所作的新方程为．
通过观察可以发现．
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