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（总课时13）§2.3用公式法求解一元二次方程 第二时
【学习目标】能利用一元二次方程解决简单实际问题．
【学习重难点】在实际问题中找相等关系，并能列方程、求解．
【导学过程】
一.知识回顾
1．如图，某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块
面积为18m2的地毯，设四周未铺设地毯的条形区域的宽度均为xm，则可列方程
为：__________________________．
2.如图，在一块长22m，宽17m矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，
剩余部分栽种花草，使得剩余部分的面积为300m2，设道路宽xm，则可列方程为：
_________________________．
3.用公式法解下列方程：（1） （2）
二.探究新知
在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小明和小颖的设计方案．
图3 图4 图5 图6
小明的设计方案如图1：其中花园四周小路的宽度相等；设花园四周小路的宽度为xm．可列方程____，可得到小路的宽为2m或12m．
小亮的设计方案如图2：其中花园中每个角上的扇形都相同，扇形半径为xm，可列方程 .
小颖的设计方案如图3：小路的宽度相等，设小路宽度为xm,可列方程：________ .
（1）你认为小明的结果对吗？请说明理由；_________________________________.
（2）请你帮助小亮求出图中的；___________________________________________.
（3）请你帮小颖求出图中的x;____________________________________________________.
（4）你还有其他的设计方案吗？请在图4中画出你所设计的草图(标上相关数据)．
三.典例与练习：
例1.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长25m)，另外三边用木栏围成，木栏共长40m．
（1）鸡场的面积能达到150m2吗？（2）鸡场的面积能达到200m2吗？（3）鸡场的面积能达到250m2吗？
练习：1.将一条长为56cm2的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形;设第一个正方形边长为xcm.
要使这两个正方形的面积之和等于100cm2，该怎么剪？可列方程：____________________________ .
要使这两个正方形的面积之和等于196cm2，该怎么剪？可列方程：____________________________ .
（3）这两个正方形的面积之和可能等于200cm2吗？可列方程：____________________________________ .
例2.将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）
A．7m B．8m C．9m D．10m
练习：2.如图7是一张长9cm，宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的
正方形，可制成底面积是12cm的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，
则可列出关于x的方程为______________．
四.课堂小结：
1.用列方程的方法解决简单的面积问题；2.会找出问题中的相等关系.
五.分层过关
1.用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（ ）
A．20 B． 40 C． 100 D． 120
2.如图8，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的
矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，
则人行通道的宽度为___________米
3．学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教学楼后墙，另三边利用总长为35米的铁围栏围成，求自行车棚垂直于教学楼后墙的一边的长．
4．如图9是宽为20米，长为32米的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，且互相垂直），把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的面积为570平方米，问：道路宽为多少米？
5．已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，
方程有整数解．（直接写出三个）
思考题：如图10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s．那么运动几秒时，它们相距15cm？△PCQ的面积能等于60平方厘米吗？为什么？
图2
图1
图7
图8
图9
图10
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（总课时13）§2.3用公式法求解一元二次方程 (2)
一.选择题：
1．如图1在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ B）
A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0 C.x2-130x-1400=0 D.x2-65x-350=0
2．图2欧几里得的几何《原本》记载，形如的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90 ，，AC=b，再在斜边AB上截取.则该方程的一个正根是（B）A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长
如图3，是两条互相垂直的街道，且A到B,C的距离都是7km,现甲从B地走向A地，乙从A地走向C地，若两人同时出发且速度都是4km/h，则两人之间的距离为5km时，是甲出发后（ D）
A．1h B．0.75h C．1.2h或0.75h D．1h或0.75h
4．如图4，折叠菱形纸片ABCD，使得A′D′对应边过点C，若∠B＝60°，AB＝2，当A′E⊥AB时，AE的长是（ B ）A.2 B.2 C. D.1+
5．如图5，将图甲表示的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图乙表示的矩形．若a=1，则b等于（ B ）
A． B． C． D．
二.填空题6．如图，某校要在长为32m，宽为20m的长方形操场上修筑宽度相同的道路（图中阴影部分），在余下的空白部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，设道路宽为x米，可列出方程(32-x)(20-x)=540．
7．有一间会议室，它的地板长为20m，宽为15m，现准备在会议室地板中间铺一块地毯，要求四周未铺地毯的部分宽度相同，而且地毯的面积是会议室地板面积的一半，若设四周未铺地毯的部分宽度为xm，则铺地毯部分的长是：(20-2x)m，宽是(15-2x)m，铺地毯部分的面积为(20-2x)(15-2x)m2，可列方程(20-2x)(15-2x)=150．
8．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，那么方程的根的情况是：有两个不相等的实数根．
9．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，则△ABC的周长为_10_．
三.解答题：10．已知关于x的方程.(1)用含m的代数式表示这个方程的实数根.
(2)若Rt△ABC的两边a,b恰好是这个方程的两根，另一边长c=5，求m的值.
解(1)=1∴∴，.(2)当c=5为斜边时，，，(舍去)当边长为m+1斜边时综上：或
11．用一张长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距墙角8m.（1）梯子底端距墙角有多少米；（2）若梯子顶端下滑1m，则梯子的底端水平滑动多少米？解：（1）由题意可得：梯子底端距墙角有：=6（m）．故答案为：6；（2）设梯子的底端水平滑动x米，根据题意可得：（x+6）2+72=102，解得：x1=，x2=-6-（负数舍去）．答：梯子的底端水平滑动（-6+）米．
12．在 ABC中，∠C=90 ，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿边CD向点B以2cm/s的速度移动．（1）如果点P,Q同时出发，几秒后，可使△PCQ的面积为？（2）点P,Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形APQB的面积等于△ABC的面积的 ？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．解：（1）设x秒后，可使△PCQ的面积为8cm2．由题意，得(6-x)x=8．解得x1=2，x2=4．所以，2秒或4秒时，△PCQ的面积为8cm2．
（2）不存在．理由如下：设y秒时，四边形APQB的面积等于△ABC的面积的0.25，则△PCQ的面积是△ABC的面积的0.75．由题意，得(6-y)y=18，即y2-6y+18=0．∵ =-36<0，方程没有实数根．∴不存在某一时刻使四边形APQB的面积等于△ABC面积的0.25．
四.提高题：13．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为刹车距离．在一段限速为的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对时，同时刹车，但还是相撞了，事故现场测得甲车的刹车距离为12m，乙车的刹车距离为10m，已知甲车的刹车距离S甲（m）与车速x(km/h)之间的关系是S甲=0.1x+0.01x2，乙车的刹车距离S乙（m）与车速y(km/h)之间的关系是S乙=0.05y+0.005y2，请你从两车的速度方面分析事故原因．
解∵甲车的刹车距离为，∴，
解得，（舍去），∴甲车的车速为，而，∴甲车没有超速．∵乙车的刹车距离为，∴，解得，（舍去），∴乙车的车速为，而，∴乙车超过限速．∴从两车的速度方面分析，两车相撞的原因是乙车超速行驶．
图2
图4
图3
图1
图2
图6
图5
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（总课时13）§2.3用公式法求解一元二次方程 (2)
一.选择题：1．如图1在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0 C.x2-130x-1400=0 D.x2-65x-350=0
2．图2欧几里得的几何《原本》记载，形如的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90 ，，AC=b，再在斜边AB上截取.则该方程的一个正根是（ ）A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长
如图3，是两条互相垂直的街道，且A到B,C的距离都是7km,现甲从B地走向A地，乙从A地走向C地，若两人同时出发且速度都是4km/h，则两人之间的距离为5km时，是甲出发后（ ）
A．1h B．0.75h C．1.2h或0.75h D．1h或0.75h
4．如图4，折叠菱形纸片ABCD，使得A′D′对应边过点C，若∠B＝60°，AB＝2，当A′E⊥AB时，AE的长是（ ）A.2 B.2 C. D.1+
5．如图5，将图甲表示的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图乙表示的矩形．若a=1，则b等于（ ）
A． B． C． D．
二.填空题6．如图，某校要在长为32m，宽为20m的长方形操场上修筑宽度相同的道路（图中阴影部分），在余下的空白部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，设道路宽为x米，可列出方程_____________________．
7．有一间会议室，它的地板长为20m，宽为15m，现准备在会议室地板中间铺一块地毯，要求四周未铺地毯的部分宽度相同，而且地毯的面积是会议室地板面积的一半，若设四周未铺地毯的部分宽度为xm，则铺地毯部分的长是：________，宽是_________，铺地毯部分的面积为______，可列方程__________．
8．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，那么方程的根的情况是:_ ．
9．已知关于x的方程 x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，则△ABC的周长为_____．
三.解答题：10．已知关于x的方程.
(1)用含m的代数式表示这个方程的实数根.
(2)若Rt△ABC的两边a,b恰好是这个方程的两根，另一边长c=5，求m的值.
11．用一张长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距墙角8m.（1）梯子底端距墙角有多少米；（2）若梯子顶端下滑1m，则梯子的底端水平滑动多少米？
12．在 ABC中，∠C=90 ，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿边CD向点B以2cm/s的速度移动．（1）如果点P,Q同时出发，几秒后，可使△PCQ的面积为？（2）点P,Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形APQB的面积等于△ABC的面积的？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
四.提高题：13．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为刹车距离．在一段限速为的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对时，同时刹车，但还是相撞了，事故现场测得甲车的刹车距离为12m，乙车的刹车距离为10m，已知甲车的刹车距离与车速之间的关系是，乙车的刹车距离与车速之间的关系是，请你从两车的速度方面分析事故原因．
图3
图1
图2
图4
图2
图6
图5
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（总课时13）§2.3用公式法求解一元二次方程 （2）
【学习目标】能利用一元二次方程解决简单实际问题．
【学习重难点】在实际问题中找相等关系，并能列方程、求解．
【导学过程】
一.知识回顾
1．如图1，某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块
面积为18m2的地毯，设四周未铺设地毯的条形区域的宽度均为xm，则可列方程
为：(8-2x)(5-2x)=18．
2.如图2，在一块长22m，宽17m矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，
剩余部分栽种花草，使得剩余部分的面积为300m2，设道路宽xm，则可列方程为：
(22-x)(17-x)=300．
3.用公式法解下列方程：（1） （2）
(1) x1=2, x2=5 (2)
二.探究新知：
在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小明和小颖的设计方案．
图3 图4 图5 图6
小明的设计方案如图1：其中花园四周小路的宽度相等；设花园四周小路的宽度为xm．可列方程
（16-2x)（12-2x）=0.5×16×12.解得：小路的宽为2m或12m．
小亮的设计方案如图2：其中花园中每个角上的扇形都相同，扇形半径为m，可列方程.
小颖的设计方案如图3：小路的宽度相等，设小路宽度为xm,可列方程： .
（1）你认为小明的结果对吗？请说明理由；小明的结果不对.因为矩形的宽是12m所以小路的宽不能是12m.
（2）请你帮助小亮求出图中的x；_.
（3）请你帮小颖求出图中的x;x1=4,x2=24(不合题意，舍去）.
（4）你还有其他的设计方案吗？请在图4中画出你所设计的草图(标上相关数据)．
三.典例与练习：
例1.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长25m)，另外三边用木栏围成，木栏共长40m．
（1）鸡场的面积能达到150m2吗？（2）鸡场的面积能达到200m2吗？（3）鸡场的面积能达到250m2吗？
解：(1)设：宽为xm,则长为（40-2x）m由题得：x(40-2x)=150,解得：x1=15,x2=5(舍去)另边为40-30=10（m）（2）由题得：x(40-2x)=200，解得：x1=x2=10.
(3).设x(40-2x)=250即:x2-20x+125=0∵ =-100<0方程无解，∴不能达到250m2
练习：1.将一条长为56的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形;设第一个正方形边长为xcm.
要使这两个正方形的面积之和等于100cm2，该怎么剪？可列方程：x2+(14-x)2=100,x1=6,x2=8.
要使这两个正方形的面积之和等于196cm2，该怎么剪？可列方程：x2+(14-x)2=196,x1=0,x2=14.不能..
（3）这两个正方形的面积之和可能等于200cm2吗？可列方程：∵0例2.将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ A ）
A．7m B．8m C．9m D．10m
练习2.如图7是一张长9cm，宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，
则可列出关于的方程为(9-2x)(5-2x)=12．
四.课堂小结：
1.用列方程的方法解决简单的面积问题；2.会找出问题中的相等关系.
五.分层过关:1.用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（ D ）
A．20 B． 40 C． 100 D． 120
2.如图8，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为_2_米
3.学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教学楼后墙，另三边利用总长为35米的铁围栏围成，求自行车棚垂直于教学楼后墙的一边的长．
解：设与教学楼后墙垂直的一边的长为xm,由题得：x(35-2x)=150解得：x=7.5或x=10,当x=7.5时，35-2x=20>18不合题意，舍去；∴自行车棚垂直于教学楼后墙的一边的长为10米.
4．如图9是宽为20米，长为32米的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路
（两条纵向，一条横向，且互相垂直），把耕地分成六块大小相等的试验地，
要使试验地的面积为570平方米，问：道路宽为多少米？
解：设道路宽为x米,(20-x)(32-2x)=570解：x=1或x=35(舍去)
∴道路宽为1米
5．已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个）
解：（1）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）=4p2+9＞0，
∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，∵方程有整数解，
∴为整数即可，∴p可取0，2，﹣2时，方程有整数解．
思考题：如图10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s．那么
运动几秒时，它们相距15cm？△PCQ的面积能等于60平方厘米吗？为什么？
解：设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，依题意，得：t2+（21﹣t）2＝152，
解得：t1＝9，t2＝12，∴运动9秒或12秒时，P，Q两点相距12厘米．
△PCQ的面积不能等于60平方厘米，
理由如下：设运动x秒时，△PCQ的面积等于
60平方厘米，依题意，得：0.5x（21﹣x）＝60，整理，得：x2﹣21x+120＝0，
∵△＝﹣39＜0，∴原方程无解，即△PCQ的面积不能等于60平方厘米．
图1
图2
图7
图8
图9
图10
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