高中数学人教A版（2019）必修1第一章第一节集合的概念章节综合测试卷(解析+答案)

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第一章第一节 集合的概念
一、选择题
1．（2023高一上·成都开学考） 下列各组对象不能构成集合的是（　　）
A．上课迟到的学生 B．2023年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于π的正整数
2．下列各组对象的全体能构成集合的有（　　）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．下列各组对象不能构成集合的是（　　）
A．所有直角三角形
B．抛物线上的所有点
C．某中学高一年级开设的所有课程
D．充分接近的所有实数
4．下列与集合表示同一集合的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知，，若且，则（　　）
A． B． C． D．
6．集合，用列举法可以表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2023高一下·通州月考）已知且，若集合，则（　　）
A． B．
C． D．
8．（2023·江门模拟）已知集合，，则集合B中所有元素之和为（　　）
A．0 B．1 C．－1 D．
9．已知集合，则下列四个元素中属于的元素的个数是（　　）
；；；
A．4 B．3 C．2 D．1
10．已知a，，若满足 ，则称a，b “心有灵犀”．则a，b “心有灵犀”的情形的种数为 （　　）
A．9 B．16 C．20 D．28
11．（2023高一上·钦州期末）定义集合运算：.设，，则集合中的所有元素之和为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（2023高一下·富锦月考）由实数x，-x，|x|，-，所组成的集合，最多含元素个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
13．（2022高一上·盐城期中）下列命题中的真命题是（　　）
A．
B．集合中最小的数是1
C．的解集可表示为
D．
14．（2022高一上·辽宁月考）集合，若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
15．（2022高一上·河南期中）设集合，若，且，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
16．（2022高一上·泗洪期中）已知，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、解答题
17．用列举法表示下列集合：
（1）{x|x是14的正约数}；
（2）{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2}}；
（3）{(x，y)|x＋y＝2，x－2y＝4}；
（4）{x|x＝(－1)n，n∈N}；
（5）{(x，y)|3x＋2y＝16，x∈N，y∈N}.
18．集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求：
（1）A中至少有几个元素？
（2）若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？
（3）请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.
19．用列举法表示下列集合：
（1）满足的x值组成的集合；
（2）方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合；
（3）不大于15的正奇数组成的集合；
（4）不大于10的正偶数组成的集合．
20．已知集合，，若.
（1）求实数的值；
（2）如果集合是集合的列举表示法，求实数的值.
21．已知集合S满足：若，则.请解答下列问题：
（1）若，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素.
（2）证明：若，则.
（3）在集合S中，元素能否只有一个 若能，把它求出来；若不能，请说明理由.
22．（2023高一上·密云月考）已知集合，规定：集合中元素的个数为，且．若，则称集合是集合的衍生和集．
（1）当，时，分别写出集合，的衍生和集；
（2）当时，求集合的衍生和集的元素个数的最大值和最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：因为 “2023年高考数学难题”没有评判标准，不满足集合的确定性，所以不能构成集合.
故答案为：B.
【分析】根据集合的确定性分析判断.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：(1)正方形的全体，对象是确定的，因此能构成集合；
（2）高一数学书中所有的难题 ，不同的人对难题的标准是不同的，因此对象是不确定的，不能构成集合；
（3）平方后等于负数的数 ，对象是确定的，因此能构成集合；
（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生 ，对象是确定的，因此能构成集合；
（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体 ，对象是确定的，因此能构成集合；
因此， 各组对象的全体能构成集合的有 4个.
故答案为：C.
【分析】根据集合的确定性进行判断即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A. 所有直角三角形 ，对象是确定的，可以构成集合，故A不符合题意；
B. 抛物线上的所有点 ，对象是确定的，可以构成集合，故B不符合题意；
C. 某中学高一年级开设的所有课程 ，对象是确定的，可以构成集合，故C不符合题意；
D. 充分接近的所有实数 ，无法确定充分接近的标准，对象是不确定的，不可以构成集合，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据集合的确定性进行判断即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：由 ，解得x=2023或x=1，所以 = ，C正确， 选项 A 不是集合， 选项 B表示点集， 选项D是两条直线构成的集合.
故答案为：C.
【分析】用描述法表示集合，注意区分数集和点集，以及集合中的代表元素.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据交集的定义即可得出答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：因为 ，则，
可得，
又因为，可得
所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得且，运算求解即可.
7．【答案】C
【解析】【解答】∵
故选：C
【分析】由元素与集合关系判断可得出答案。
8．【答案】C
【解析】【解答】根据条件分别令，解得，
又，所以，，
所以集合B中所有元素之和是，
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，进而得出集合B，从而得出集合B中所有元素之和。
9．【答案】C
【解析】【解答】解： ，由于 为无理数，因此 ；
；
；
．
则上述四个元素中属于 的元素的个数是2．
故答案为：C．
【分析】根据为无理数，可得 ；化简 ；化简得到 ；化简 ，即可求解.
10．【答案】D
【解析】【解答】由题意知当a为0时， 只能取0，1；当a为 9 时，b 只能取8，9；当a为其他数时，b 都可以取三个数．故共有 28 种情形．
故答案为：D
【分析】根据“心有灵犀”的定义，分，为其它数三种情况讨论，即可求解.
11．【答案】A
【解析】【解答】当时，；当时，；
当时，；当时，；
所以，所以中所有元素之和为0，
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合集合运算的定义，进而得出集合中的所有元素，再结合求和法得出 集合中的所有元素之和 。
12．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ，
∴当x=0时，集合元素最多有1个；
当x>0时，|x|=x ，-|x|=-x，所以集合元素最多有2个；
当x<0时，|x|=-x ，-|x|=x，所以集合元素最多有2个；
故选：A
【分析】根据集合元素的互异性，讨论x=0 、x>0 、x<0情况下已知元素为不同元素的个数，即可知集合元素最多有几个.
13．【答案】A
【解析】【解答】显然成立，A符合题意；
集合中最小的数是0，B不符合题意；
根据集合元素的互异性可知C不符合题意；
当或时，显然不成立，D不符合题意.
故答案为：A
【分析】直接利用集合中元素的性质，常见的集合，方程的解法，逐项进行判断，可得答案.
14．【答案】C
【解析】【解答】因为，所以，解得。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，进而得出实数m的取值范围。
15．【答案】B
【解析】【解答】因为，，所以，所以或，
因为，所以或，所以，所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】由，得到或，由，得到，所以.
16．【答案】D
【解析】【解答】对于A，令，得，则，A不符合题意，
对于B，令，得，则，B不符合题意，
对于C，令，得，则，C不符合题意，
对于D，令，得，则，D符合题意，
故答案为：D
【分析】根据已知条件，结合元素与几何关系逐项进行判断，可得答案.
17．【答案】（1）{1，2，7，14}
（2）{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}
（3）
（4）{－1，1}
（5）{(0，8)，(2，5)，(4，2)}
【解析】【分析】根据列举法概念
(1)列举出14的所有正约数，再用集合表示；
(2)x和y都只能出1和2中选一个，再用集合列举出所有选取方案；
(3)联立方程x＋y＝2和x－2y＝4求出其交点，再用集合表示；
(4)分别计算n取奇数和偶数时的值，再用集合表示；
(5)列举出满足x∈N，y∈N方程3x＋2y＝16的解，再用集合表示.
18．【答案】（1）解：因为，由①知，，而，则，而，则，
所以集合A中至少有3个元素.
（2）解：因为，由①知，，而，则，而，则，
所以集合A中至少含有的元素是.
（3）解：令，由①知，，而，则，而，则，
所以集合A中至少含有的其它元素是.
【解析】【分析】（1）根据，则，以及，即可求出，，则集合A中至少有3个元素；
（2）根据，则，以及，即可求出，，则集合A中至少有3个元素；
（3）令，根据，则，将a=4代入，即可求出其他元素.
19．【答案】（1）解：因为满足的x值组成有1，2，3，4，5，6，7，
所以满足的x值组成的集合为{1，2，3，4，5，6，7}．
（2）解：因为方程x2＋x＋1＝0无解，所以方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合为．
（3）解：因为不大于15的正奇数有，1，3，5，7，9，11，13，15，
所以不大于15的正奇数组成的集合为{1，3，5，7，9，11，13，15}．
（4）解：因为不大于10的正偶数有2，4，6，8，10，
所以不大于10的正偶数组成的集合为{2，4，6，8，10}．
【解析】【分析】（1）根据，求出x的值，即可求出答案；
（2）根据方程x2＋x＋1＝0无解，可知方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合为；
（3）列举出不大于15的正奇数即可；
（4）列举出不大于10的正偶数即可.
20．【答案】（1）解：∵，∴或者
得或，
验证当时，集合，集合内两个元素相同，故舍去
∴
（2）解：由上得，故集合中，方程的两根为1、-3.
由一元二次方程根与系数的关系，得.
【解析】【分析】（1）根据，可得或者，可求出a的值，再验证互异性即可；
（2） 根据条件知A=B，可知方程的两根为1、-3，即可求出p，q的值．
21．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，所以，循环.
所以集合S中另外的两个元素为和.
（2）解：由题意，可知且，
由，得，
即，
所以若，则.
（3）解：集合S中的元素不可能只有一个.
理由如下：令，
即.
因为，所以此方程无实数解，所以.
因此集合S中不可能只有一个元素.
【解析】【分析】（1）由，可知，，即求出了集合S中另外的两个元素；
（2）由，可知，即可证；
（3）利用反证法证明，首先令，得到，方程无实数解，即可证明集合S中不可能只有一个元素.
22．【答案】（1）解：由衍生和集的定义知：集合的衍生和集；集合的衍生和集.
（2）解：当时，设集合，且；
，
集合的衍生和集的元素个数的最小值为；
若集合中任意两个元素的和不相等，则衍生和集的元素个数取得最大值，最大值为；
最大值为，最小值为.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合衍生和集的定义，进而分别写出集合，的衍生和集。
（2）利用已知条件结合衍生和集的定义，再结合数列的单调性，从而得出集合的衍生和集的元素个数的最大值和最小值。
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